Giáo trình chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học

G

TRẦN DIÊN HIẼN

.0000026382

GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐÊ

BỒI DUÕNG HỌC

TOÁN TIỂU HÓC

I NGUYÊN

ÍOC LIEU

NH À X U Ấ T BẢN ĐẠI H Ọ C s ư PHẠM

PGS.TS. TRẦN DIÊN HIEN

GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỂ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

l í ~ I’ TOÁN TIEU HỌC

(Tái bản lần tliứ năm)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

SPI

U N I V E R S IT Y OF EDUCATION PU B L ISH IN G HOUSE

GIAO TRlNH CHUVÊN ĐỂ: BỐI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC

Tác giá: PGS.TS. TRẤN DIÊN HIỂN

Dơn vị: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Sách được xuát bảin theo chi đao biẻn soạn của Trường Đại học Sư phạm Hầ NỘI

phục vụ đầ-o Mo cù rthôn giáo dục tiếu học các trường dại học sư phạm

Má sách quốc tế: ISBN 978-304-54-0543-7

Bản quyén xuáf bàn thuộc vé Nhà xuất bán Đại học Sư phạm.

Mọi hlnh thửc sao chép hay phát hành mà không có sự cho phép bâng văn bản

của Nhà \uât bán Đại học Sư phạm đéu lằ vi phạm pháp luật.

Chúng tôi luôn mong muốn nhận đươc những ý kiến đóng góp của quý vị độc già

đề sách ngày càng hoàn ĩhiện hơn. Mọi góp ý vé sách, liên hệ vé bàn thào và dịch vụ bàn quyên

xin vui lòng gùi vế đìa chi email: kehoach@nxbdhíp.edu. vn

Mã SỐ: 01.01. 52/1095. ĐH 2014

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu............................................................................................................................ 5

Chương 1. CÁC BÀI TOÁN VỂ s ố VÀ CHỮ s ố ......................................................................7

A. Nội dung bài giảng...................................................................................................... 7

I. Những kiến thức cần lưu ý ..................................................................................... 7

II. Một số dạng toán điển hinh..................................................................................7

Bài tập tự luyện............................................................................................................... 20

B. Hướng dẫn tự học chương 1 .................................................................................... 23

Chương 2. CÁC BÀI TOÁN VỂ DÃY s ố .................................................................................25

A. Nội dung bài giảng....................................................................................................25

Bài tập tự luyện............................................................................................................... 37

B. Hướng dẫn tự học chương 2 .....................................................................................41

Chương 3. CÁC BÀI TOÁN VỂ ĐIỂN s ố VÀO PHÉP TÍNH................................................43

A. Nội dung bài giảng....................................................................................................43

Bài tập tự lu y ệ n .............................................................................................................. 58

B. Hướng dẫn tự học chương 3 .................................................................................... 64

Chương 4. CÁC BÀI TOÁN VỂ CHIA HẾT..............................................................................65

A. Nội dung bài giảng....................................................................................................65

I. Những kiến thức cần lưu ý ................................................................................... 65

II. MỌt 5)0 dạng loãn điển (linh................................................................................65

Bài tập tự luyện............................................................................................................... 74

B. Hướng dẫn tự học chương 4 .................................................................................... 76

C hương 5. CÁC BÀI TOÁN VỂ PHÂN s ố VÀ s ố THẬP PHÂN......................................... 77

A. Nội dung bài giảng .....................................................................................................77

I. Phân số ....................................................................................................................77

II. SỐ thập p h ân .........................................................................................................90

Bài tập tự luyện............................................................................................................106

B. Hướng dẫn tự học chương 5 ...................................................................................113

3

Chương 6. MỘT s ố DẠNG TOÁN CÓ LỜI VĂN ĐlỂN HÌNH.............................................. 115

A. Nội dung bài giảng....................................................................................................115

I. Các bài toán về tính tuổi.......................................................................................115

II. Các bài toán về ti lệ ............................................................................................. 127

III. Toán về trung bình cộng.....................................................................................130

Bài toán tự luyện.......................................................................................................... 133

B. Hướng dẫn tự học chương 6 .....................................................................................136

Chương 7. CÁC BÀI TOÁN VỂ CHUYỂN ĐỘNG...................................................................138

A. Nội dung bài giảng....................................................................................................138

I. Những kiến thức cần lưu ý ....................................................................................138

II. Một số dạng toán điển hình................................................................................ 139

Bài tập tự luyện...............................................................................................................156

B. Hướng dẫn tự học chương 7 .....................................................................................160

Chương 8. CÁC BÀI TOÁN VỂ SUY LUẬN LÔGIC............................................................... 161

A. Nội dung bài giảng.................................................................................................... 161

Bài tập tự luyện...............................................................................................................167

* B. Hướng dẫn tự học chương 8 .....................................................................................172

Chương 9. CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC....................................................... 173

A. Nội dụ/ig bài giảng....................................................................................................173

Bài tập tự luyện...............................................................................................................196

B. Hướng dẫn tự học chương 9 .....................................................................................201

Chương 10. CÁC BÀI TOÁN VUI VÀ TOÁN c ổ ở TIỂU HỌC........................................... 203

A. Nội dung bài giảng....................................................................................................203

Bài tập tự luyện...............................................................................................................210

B. Hướng dẫn tự học chương 10.................................................................................. 216

Phẩn thứ hai. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP Tự LU Y ỆN........................................... 217

4

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình chuyên đề “Bổi dưỡng ÌĨỌC sinh giỏi toán tiểu h ọ c” được biên

soạn theo chương trình đào tạo cừ nhân giáo dục tiểu học hệ chính quy, hệ vừa học

vừa làm và hệ từ xa.

Giáo (rình gồm 10 chương:

Trong 5 chương đầu, tác giả trình bày các bài toán vể số, so sánh số, các phép

tính về số tự nhiên, phân số và sỏ thập phân; các bài toán về dãy số và chia hết.

Trong 5 chương cuối, tác giá trình bày về các bài toán có lời văn (gồm các

dạng toán có vãn điên hình, toán vể chuyển động đều), toán suy luận về lôgic và

toán có nội dung hình học.

Sau mỗi chương là hệ thống bài tập tự luyện, nhằm giúp cho người học

củng cô' kĩ năng giải các dạng toán đã học.

Phđn cuối cùa giáo trình là hướng dẫn giải các bài tập tự luyện.

Nội dung mỗi chương được chia thành hai phần:

- Phần thứ nhất: Nội dung bài giảng.

- Phán thứ hai: Hướng dẫn học viên một sò vấn đề về nội dung cũng như

phương pháp tự học lí thuyết và vận dụng lí thuyết đê giải các dạng bài tập.

Giáo trình được biên soạn để dùng chung cho cả ba hệ đào tạo: chính quy, vừa

học vừa làm và hệ từ xa nôn khi sử dụng cần lựa chọn những nội dung và hình thức

tổ chức dạy học phù hợp cho từng loại dối tượng đã được xác định trong chương

trình đào tạo cùa hệ đào tạo dó.

Tác giả chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc dê nội dung và hình

thức cùa giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn.

TÁC GIẢ

5-

CHƯƠNG 1

CÁC BÀI TOÁN VẾ SỖ VÀ CHỮ sô

A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG

I. NHÙNG KIẾN THỨC CAN LUU Ý

1. Có mười chữ sô lù 0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Klii viết một sô' tự nhiên ta sử

dụng mười chữ số trên. Chữ s ố đầu tiên k ể từ bên trái của một sô tự nhiên plidi

khác 0.

2. Phân tích cấu tạo một s ố tự nliiên:

ab = 10xa + b

abc = axlO O + bxlO + c = abxlO + c = axlOO + bc

abed = ax 1000 + bx ÌOO + CX 10 + d

= abcx 10 + d = ax 1000 + bed =...

3. Quy tắc so sánh liai số tự nlúên

a) Trong lìai số tự nhiên, s ố lĩào có s ố chữ sô nhiều hơn sẽ lớii hơn.

b) Nếu hai sô' có s ố chữ s ố bàng nhau thì sô' nào có chữ số đầu tiên k ể từ trái

sang phải lớn hơn sẽ lớti hơn.

4. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0 ,2 ,4 , 6 hoặc 8 là s ố chẵn.

Số chẵn có tận cùng bâng 0, 2, 4, 6 hoặc 8.

5. Số tự nhiên có tận cùng bằng 1 ,3 ,5 , 7 hoặc 9 lù các số lẻ.

Sô'lẻ có tận cùng bằng 1 ,3 ,5 ,7 hoặc 9.

6. Hai scứự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.

Hui s ố tự nhiên hơn (kém) nhau 1 đơn vị lù hai số tự nhiên liên tiếp.

7. Hai s ố chán liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.

Hui s ố chẵn hơn (kém) nhau 2 đơri vị lù hai sô'chẵn liên tiếp.

8. hai sô lè liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.

Hai s ố lẻ hơn kém nhau 2 đơn vị là hai sô lè liên tiếp.

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐIEN h ìn h

Dạig 1. Viết sỏ tự nhiên từ những chữ sô cho trước

Ví iụ 1.1. Cho bốn chữ số 0, 1,2, 3.

a) Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?

b) Tìm số lớn nhất, số nhó nhất có .bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ

số đã clo.

7

c) Tim số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có bốn chữ sô khác nhau viết điợc từ

bốn chữ sô' đã cho.

Giải:

a) Cách 1 (Sơ đổ hình cây).

Chọn số 1 làm chữ số hàng nghìn ta được các số:

Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy: từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 só có chữ số

hàng nghìn bằng 1 thỏa mãn các điều kiện của đề bài.

Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy số các số thỏa mãn điều

kiện của đề bài là:

6 x 3 = 1 8 (số).

Cách 2. Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng

đơn vị như sau:

- Có 3 cách chọn chữ sô' hàng nghìn cùa số thỏa mãn điều kiện cùa đề bài (vì

số 0 không thể đứng ờ vị trí hàng nghìn).

- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ sô hàng

nghìn đã chọn).

- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là hai chữ số còn lại khác chữ sỏ hàng

nghìn và hàng trăm).

- Có 1 cách chọn chư so hang đơn V Ị (đó là chữ sò còn lại khác chữ só hàng

nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị).

Vậy số các sỏ' viết được là:

3x3x2x1 = 18 (số).

b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phài có chữ

số hàng nghìn là số lớn nhất trong các chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn cùa

số phái tìm là 3.

- Chữ số hàng trăm phái là số lớn nhát trong ba chữ sô còn lại. Váy chữ số

hàng trăm bằng 2.

8

- Chữ số hàng chục phải là sỏ lớn nhất trons các chữ số còn lại. Vậy chữ sỏ

hàngchục là 1.

Nậy sỏ phái tìm là: 3210.

lưcmg tự như trên ta tìm được sô bé nhất tlióa mãn điều kiện của để bài là:

1023

c) Số lé lớn nhất thoa mãn điều kiện của để bài phái có chữ sô hàng nghìn là

sô lứi nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ sỏ hàng nghìn của sỏ phái tìm bằng 3.

- Sô phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 3 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị

phải >ằng 1.

- Chữ sô hàng trăm phủi là số lớn nhất trong hai số còn lại nên chữ số hàng

trăm 3ằng 2.

vậy, sô phải tìm là 3201.

lương tự, số chẵn nhỏ nhất cần tìm là: 1032.

\í dụ 1.2. Cho 5 chữ số 0, 1,2, 3, 4. Tìr năm chữ số đã cho:

í) Có thể viết được bao nhiêu sô có bốn chữ số?

I) Có thê viết được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà chữ sô hàng trăm

bằng2?

(im :

íl Có 4 cách chọn chữ sô hàng nghìn của số thòa mãn điều kiện của đề bài (vì

chữ S3 0 khôn? thê đứng ớ vị trí hàng nghìn).

Mỗi chữ số hàng trâm, hàng chục, hàng đơn vị đểu có 5 cách chọn. Vậy số

các fđ có bôn chữ số viết được từ 5 chữ số đã cho là:

4x5x5x5 = 500 (số).

1) Số cần tìm có chữ số hàng trăm bằng 2. Vây ta phái xác định các chữ số

h à n g n g h ìn , h à n g c h u c và h à n g đ ơ n vị n ữ a.

- Có 4 cách chọn chữ sô hàng nghìn;

- Có 5 cách chọn chữ số hàng chục;

- Sô cần tìm là số chẵn nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

'ậ y số các số thóa mãn điều kiện của đề bài là:

4 X 5 X 3 = 60 (số).

Tí dụ 1.3. Viết liên tiếp 15 số ]ẻ đẩu tiên đế được một số tự nhiên. Hãy xoá đi

15 clữ số cùa số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự cúa các chữ số

còn hi để được:

a) Sô' lớn nhất;

b) Sô' nhỏ nhất;

Giải:

Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29.

Để sau khi xoá 15 chữ sô' ta nhận được số lốn nhất thì chữ sô' giữ lại đầu tiên

kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy là I,

3, 5, 7.

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29.

Ta phải xoá tiếp 15 - 4 = 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi

xoá ta nhận được sô' lớn nhất thì chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải là chữ

sô' 9. Vậy ta phải xoá tiếp những chữ sô' viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11

13 15 17 1.

9 X y f / 9 21 23 25 27 29

Số còn lại là:

9 9 21 23 25 27 29.

Ta phải xoá tiếp 11 - 9 = 2 chữ số từ sô' còn lại để được số lớn nhất. Chữ số

thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2. Để được sô' lớn nhất sau khi xoá 2 chữ sô ra

phải xoá sô' 12 hoặc 21, tức là 99 X 23 25 27 29 hoặc 99 2/ 23 25 27 29. Sô'

còn lại là: 99 23 25 27 29.

Vậy sô' lớn nhất cần tìm là:

9 923 252 729.

b ) L ộ p lu ân tư ơ n g tự c âu a. Sô' cđ n tìm là 1 111 111 122.

Dạng 2. Các bài toán giải bằng phàn tích cấu tạo sô

Loại 1. Viết thêm một số chữ sô' vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa một số

tự nhiên.

Ví dụ 1.4. Khi viết thêm số 12 vào bên trái một sô' tự nhiên có hai chữ số thì

số đó tăng gấp 26 lần. Tìm sổ có hai chữ số đó.

• Giải:

Gọi sô' cần tìm là ab . Viết thêm sô' 12 vào bên trái ta được số 12ab . Theo bài

ra ta có:

10

12ab = ab X 26

] 200 + ab = ab X 26

Cách I:

abx 26 - a b = 1200

a b x (2 6 -l) = 1200

ă b X 25 = 1200

ãb = 1200:25

ab = 4.8

Thử lại: 1248 : 48 = 26.

Vậy số cần tìm là 48.

Cách 2. Sau khi phân tích bước 1 và 2 trong cách 1, ta có sơ đồ sau:

ab t:,_- J

1 phần 1200

12ab k —

26 phẫn

Số cần tìm là:

1200 : ( 2 6 - 1 ) = 48.

V í dụ 1.5. Khi viết thêm chữ sô' 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số

thì số đó tăng thêm 4106 đơn vị. Tim sổ có ba chữ số đó.

Giải:

Cácli 1. Gọi sô' cần tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số

abc2. Theo bài ra ta có:

abc2 = abcx 10 + 2

abc2 = abc + 4106

abc X 10 + 2 = abc + 4106

abc X 10 - abc = 4106 - 2

ãbcx (10-1) = 4104

abcx9 = 4104

V abc = 4104 :9

abc = 456.

Thử lại : 4562 - 4 5 6 = 4106.

Vậy số cần tìm là 456.

Cách 2. Khi viết thêm chữ sô' 2 vào bên phái một số tự nhiên thì số đó lăng

gấp 10 lần và 2 đơn vị. Ta có sơ đồ sau:

Sô' cần tìm: t-----d

1 phần

Sô mới: k H

Sô' cần tìm là:

(4 1 0 6 -2 ) : ( 1 0 - 1) = 456.

Ví dụ 1.6. Tìm một sô' có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa

chữ sô' hàng chục và hàng đơn vị thì số đó tãng gấp 10 lần. Khi viết thêm chữ số 1

vào bên trái số vừa nhận được thì số đó tăng gấp 3 lần.

Giải:

Gọi số cần tìm là ab . Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa ta được số aOb. Theo

bài ra ta có:

abx 10 = aOb.

Suy ra b = 0. Sô cẩn tìm có dạng aO. Viết thêm số 1 vào bên trái 3Ố aOO ta

được sô' laOO. Theo bài ra ta có:

ĩãõõ = 3 X ãõõ.

Tương tự ví dụ 1.1 ta tìm được a = 5. Vậy sô' phải tìm là 50.

Loại 2. Xoá đi một sô chữ sô của một số tự nhiên

Ví dụ 1.7. Khi xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị cùa một sô tự nhiên có

4 chữ sô' thì sô' đó giám đi 4455 đơn vị. Tìm sô’ có bốn chữ sô' đó.

Giải:

Cách 1. Gọi sô' cần tìm là abcd. Xoá đi chữ sô' hàng chục và hàng đơn vị ta

được sô' ab . Theo bài ra ta có:

a b cd -ab = 4455 *

ab X 100 + cd - ab = 4455

cd + ã b x l0 0 - ã b = 4455

cd + ãbx (100-1) = 4455

4 10 6

10 phần

12

cd + ab X 99 = 4455

cd = 45 X 99 - ab X 99

cd = (4 5 -a b )x 9 9

Ti nhận xét tích cúa 99 với một sô tự nhiên là sỏ tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho

nên 4) - ab phải bằng 0 hoặc 1.

-N ếu 45 - ab = 0 thì ab = 45 và cd = 00.

-N ếu 45 - ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99.

Sí cần tìm là 4500 hoặc 4499.

Cícli 2. Ta viết lại phép tính như sau:

4455

+ ab

abcd

7i nhận xét:

-N ếu phép cộng hàng chục không nhớ thì ab = 44 /à

abed = 4455 +44 = 4499.

-N ếu phép cộng hàng chục có nhớ thì ab = 45 và

S c d = 4455 + 55 = 4500.

Gc số cần tìm là 4499 hoặc 4500.

V dụ 1.8. Khi xoá đi chữ số hàng trâm cùa một số có ba chữ sô' thì sô' đó giảm

đi 7 1ji. Tim số có ba chữ số đó.

Gài:

Cọi sft' cẩn tìm là a h c X o á đi chfr s ố h à n g trăm ta (tirợr số' ho

tír li 1. Theo để bài ta có:

a00 + bc = 7x bc

aOO = 7 X bc - bc

ãõõ = ( 7 - l)xbc

a00 = 6xbc.

Tr đó suy ra a < 6 và a chia hết cho 3. Vậy a = 3.

liay vào ta tính được bc = 50. Số cần tìm là 350.

13