Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Giáo trình các tập hợp số - Phần 3
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
CÁC TẬP HỢP SỐ
113
Chủ đề 3
TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC
MỤC TIÊU
A. KIẾN THỨC
Cung cấp cho người học những kiến thức về:
– Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm;
– Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân;
– Cơ sở toán học của nội dung dạy phân số và số thập phân ở Tiểu học;
– Xây dựng tập số hữu tỉ và tập số thực.
B. KĨ NĂNG
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
– Giải toán trong tập số hữu tỉ không âm và số thập phân không âm;
– Giải toán về phân số và số thập phân ở Tiểu học.
C. THÁI ĐỘ
Chủ động tìm tòi khám phá và phát hiện những cơ sở toán học của việc dạy học phân số và số
thập phân ở Tiểu học
D. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ 3
STT Tên tiểu chủ đề Trang
1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114
2 Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm 120
3 Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm 129
4 Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình
môn Toán ở Tiểu học
133
5 Tập số thập phân không âm 142
6 Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 152
7 Tập số hữu tỉ 164
8 Tập số thực 171
CÁC TẬP HỢP SỐ
114
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM
THÔNG TIN CƠ BẢN
Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán:
– Tìm thương của phép chia:
a) 25 : 6;
b) 3 : 5;
c) 17 : 7;
. . .
– Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm hoặc 25cm.
– Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g hoặc 1245g.
Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán trên đều không có lời giải. Do đòi hỏi, nhu
cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời
giải cho các bài toán trên (theo một nghĩa nào đấy).
Vì vậy, đặt ra cho chúng ta nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới,
để trong tập hợp số mới nhận được này, chúng ta sẽ tìm được lời giải của các bài toán thuộc
các dạng nêu trên.
Khi tính toán, chúng ta thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán trên phân số,
số thập phân. Chẳng hạn:
– Tính chất giao hoán
a + b = b + a và a × b = b × a.
– Tính chất kết hợp
(a + b) + c = a + (b + c); (a × b) × c = a × (b × c).
– Tính chất phân phối
a × (b + c) = a × b + a × c; a × (b – c) = a × b – a × c.
– Tính chất của số 0
a + 0 = a.
– Tính chất của số 1
a × 1 = a.
v.v…
Những tính chất, quy tắc thực hành tính toán trên đây học sinh thường tiếp nhận bằng hình
thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh được một cách chặt chẽ. Giáo viên thường minh
hoạ tính đúng đắn của chúng thông qua một số ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, thông qua bài toán:
CÁC TẬP HỢP SỐ
115
Tính rồi so sánh kết quả (xem [1], trang 65).
a b c (a + b) x c a x c + b x c
2,4 3,8 1,2
6,5 2,7 0,8
8,2 1,8 14,7
Từ bài toán này, giáo viên rút ra cho học sinh quy tắc: Muốn nhân một tổng với một số, ta có
thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng kết quả lại
hay:
(a + b) × c = a × c + b × c.
Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được cơ sở lí luận của
những quy tắc đó.
Tuy nhiên, với giáo sinh, những người sẽ ra giảng dạy ở phổ thông sau này, việc nắm được cơ
sở lí luận của những vấn đề nêu trên là điều thiết thực và bổ ích.
Vì hai lí do nêu trên, chúng ta cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập
hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự
nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) đều thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng đều
biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân đều được chứng
minh chặt chẽ.
Ta sẽ sử dụng kí hiệu N (hoặc N*
) để chỉ tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên khác 0).
– Cho phân số 1
2
. Từ phổ thông ta biết:
1
2
=
2
4
=
3
6
=
4
8
= …
Như vậy, các phân số bằng phân số 1
2
tạo thành một lớp { 1
2
;
2
4
;
3
6
;
4
8
;…}.
– Tương tự, cho phân số 3
4
. Ta cũng có:
3 6 9 12
4 8 12 16 == = = …
Như vậy, các phân số bằng phân số 3
4
cũng tạo thành một lớp { 3
4
;
6
8
;
9
12 ;
12
16 ;...}.
Bằng cách này, ta phân chia các phân số thành các lớp mà mỗi lớp gồm những phân số bằng
nhau.
CÁC TẬP HỢP SỐ
116
Ý tưởng trên đây được thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau:
Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), trong đó a ∈ N và b ∈ N*
ta gọi là một phân số không âm (hay để
cho gọn, ta sẽ gọi là phân số).
Tập tất cả các phân số kí hiệu là P. Như vậy: P = N × N*
.
Để cho tiện, ta sẽ sử dụng kí hiệu
a
b
để chỉ phân số (a; b), trong đó a là tử số, b là mẫu số của
phân số đó. Như vậy: P = { a
b
với a ∈ N và b ∈ N*
}.
Trên tập P, ta định nghĩa quan hệ hai ngôi “e” như sau: với a
b
;
c
d
∈ P, ta nói phân số a
b
tương đương với phân số c
d
, kí hiệu
a
b
e
c
d
, khi và chỉ khi: ad = bc.
Ví dụ:
a) 1
2
e
6
12
vì 1 × 12 = 2 × 6 (= 12);
b) 9
12
e
15
20
vì 9 × 20 = 12 × 15 (= 180);
c) 6
12
ỗ 9
12
vì 6 × 12 ≠ 12 × 9.
Từ định nghĩa ta có:
– Rõ ràng là a
b
e
a
b hay quan hệ hai ngôi e có tính chất phản xạ (1).
– Nếu
a
b
e
c
d
thì ad = bc. Suy ra cb = da. Vậy
c
d
e
a
b
.
Từ đó suy ra quan hệ e có tính chất đối xứng (2).
– Giả sử a
b
e
c
d
và c
d
e
m
n
. Từ định nghĩa ta có: ad = bc và cn = dm. Nhân hai vế của đẳng
thức thứ nhất với n ta có: adn = bcn.
Từ đó suy ra: adn = bdm hay an = bm. Thành thử a
b
e
m
n .
Kết quả trên cho ta thấy quan hệ hai ngôi e có tính chất bắc cầu (3).
Từ (1); (2); (3) ta suy ra e là một quan hệ tương đương xác định trên tập các phân số P.
CÁC TẬP HỢP SỐ
117
Áp dụng định lí về tập thương (xem [2]), ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương
e và nhận được tập thương P/e.
Ta sẽ gọi tập thương P/e là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là Q+. Mỗi phần tử của tập
Q+ ta gọi là một số hữu tỉ không âm (để cho gọn, ta sẽ gọi là số hữu tỉ).
– Giả sử r ∈ Q+. Như vậy r xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số a
b
nào đó, tức là r = C( a
b
) hay r = { m
n
∈ P và m
n
e
a
b
}. Một phân số thuộc lớp C( a
b
) ta gọi là
một đại diện của số hữu tỉ r.
Mặt khác, ta lại thấy:
a
b
e
c
d
khi và chỉ khi phân số a
b
bằng phân số c
d
(theo nghĩa ta vẫn
hiểu ở trường phổ thông). Thành thử, mỗi số hữu tỉ r = C( a
b
) là một lớp những phân số bằng
phân số a
b
cho trước. Chẳng hạn:
C( 1
2
) = { 1
2
;
2
4
;
3
6
;
4
8
;. . . . }; C( 3
4
) = { 3
4
;
6
8
;
9
12 ;
12
16 ;…}.
Để cho gọn, ta sẽ dùng kí hiệu
a
b
để chỉ số hữu tỉ r = C( a
b ). Chẳng hạn, ta kí hiệu
1
2
để chỉ
số hữu tỉ r = C( 1
2
), 7
8
để chỉ số hữu tỉ r = C( 7
8
).
– Giả sử hai phân số tối giản
p
q
và p'
q'
đều là đại diện của số hữu tỉ r. Suy ra, p
q
e
p'
q' hay pq’ =
qp’, trong đó UCLN(p, q) = UCLN(p’, q’) = 1.
Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = 1 nên p | p’. Mặt khác, p’ | qp’ nên p’ | pq’, mà
UCLN(p’, q’) = 1 nên p’ | p. Từ đó, ta suy ra p = p’ và q = q’.
Vậy mỗi số hữu tỉ không âm có duy nhất một phân số đại diện là phân số tối giản. Khi nói đến
phân số đại diện của một số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản nói trên.
– Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng một phân số
1
a , vì vậy, mỗi số tự nhiên a cũng
xác định duy nhất một số hữu tỉ r có phân số đại diện là
1
a . Thành thử, tập số tự nhiên N có
thể coi là bộ phận của tập số hữu tỉ Q+.
Ta quy ước: số hữu tỉ xác định bởi C( 1
0 ) là 0 và xác định bởi C( 1
1
) là 1.
CÁC TẬP HỢP SỐ
118
HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ
KHÔNG ÂM
NHIỆM VỤ
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới
đây. Trên lớp giáo viên tổ chức cho sinh viên trình bày rồi tổng kết chung cho cả lớp.
NHIỆM VỤ 1:
Nêu các hạn chế trong thực hành phép chia các số tự nhiên.
NHIỆM VỤ 2:
Nêu các hạn chế của tập số tự nhiên trong việc biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng.
NHIỆM VỤ 3:
Nêu những khó khăn trong việc chứng minh các tính chất, quy tắc thực hành các phép tính,
thực hành so sánh các số thập phân và so sánh các phân số ở trường phổ thông.
ĐÁNH GIÁ
Nêu các lí do phải mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ không âm.
HOẠT ĐỘNG 2.
TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM Q+ TỪ TẬP SỐ TỰ
NHIÊN N.
NHIỆM VỤ
NHIỆM VỤ 1:
Đọc tài liệu để hiểu các khái niệm về phân số không âm.
NHIỆM VỤ 2:
Vẽ lược đồ biểu diễn quá trình xây dựng tập số hữu tỉ không âm Q+.
NHIỆM VỤ 3:
Đọc tài liệu để hiểu:
+ Khái niệm về số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ;