Giáo trình các tập hợp số - Phần 2

các tập hợp số

55

Chủ đề 2

Số tự nhiên

Mục tiêu

A. Kiến thức

Trang bị cho người học những kiến thức về:

– Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp.

– Xây dựng tập các số tự nhiên bằng lí thuyết tập hợp.

– Xây dựng các phép toán cộng và nhân trên tập các số tự nhiên bằng phép toán trên các bản số.

– Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên.

– Nguyên lí quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp.

– Biểu diễn số tự nhiên và các dấu hiệu chia hết.

B. Kĩ năng

– Giải toán trong tập các số tự nhiên.

– Vận dụng vào việc giảng dạy Toán ở các lớp bậc Tiểu học.

C. Thái độ

Đây là một chủ đề mang tính chất lí thuyết nhiều do vậy người học cần "thoát li" khỏi những

định hình có sẵn về các số thông thường. Đồng thời người học cần thấy được ý nghĩa của việc

"xây dựng lại" tập số tự nhiên, trên cơ sở đó giúp cho họ giảng dạy tốt hơn môn Toán ở các

lớp dưới của bậc Tiểu học.

D. Giới thiệu chủ đề 2

STT Tên tiểu chủ đề Trang

1 Bản số của tập hợp 57

2 Số tự nhiên 65

3 Lí thuyết chia hết trong tập các số tự nhiên 73

4 Hệ ghi số 87

5 Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học một số

vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học

99

Mối liên hệ giữa các tiểu chủ đề

Toàn bộ 4 tiểu chủ đề đầu tiên cung cấp đầy đủ và trọn vẹn các kiến thức cơ bản về số tự nhiên.

các tập hợp số

56

Trên cơ sở nắm vững được các tiểu chủ đề 1– 4, tiểu chủ đề 5 hướng dẫn cho người học biết

vận dụng các kiến thức vào giảng dạy số tự nhiên ở các lớp Tiểu học.

Lí thuyết số tự nhiên đóng một vai trò cơ bản trong Toán học. Khi chưa có lí thuyết tập hợp

thì nó được coi là điểm xuất phát của toàn bộ Toán học.

Ta có thể xây dựng số tự nhiên bằng việc đưa ra một hệ tiêu đề (Hệ tiêu đề Peano). Song cũng

có thể xuất phát từ lí thuyết tập hợp.

Ngày nay, xuất phát từ lí thuyết tập hợp ta có thể dựng được toàn bộ lí thuyết số tự nhiên. ý

cơ bản mà từ xưa đến nay người ta vẫn thường dạy cho các trẻ em là: số tự nhiên dùng để

"đếm" các tập hợp "hữu hạn"; và hai tập hợp hữu hạn có cùng một số phần tử, nếu tồn tại một

song ánh từ tập này lên tập kia. Vì vậy, ta hãy bắt đầu bằng việc nghiên cứu những tập hợp

sao cho tồn tại một song ánh từ tập hợp này lên tập hợp kia. Điều này sẽ đưa ta tới khái niệm

bản số, và từ đó tới khái niệm số tự nhiên.

Để xây dựng lí thuyết số tự nhiên, ta phải vận dụng một số định lí mà cách chứng minh vượt

ra khỏi yêu cầu của giáo trình này. Vì vậy, ta sẽ công nhận chúng (định lí Căngto –

Becxtainơ) hoặc phát biểu chúng dưới dạng tiên đề (tiên đề về tập hợp số tự nhiên, tiên đề quy

nạp).

các tập hợp số

57

B C

x x'

A

Tiểu chủ đề 2.1. Bản số của tập hợp

Thông tin cơ bản

2.1.1. Tập hợp tương đương

2.1.1.1. Định nghĩa

Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng A tương đương với B, kí hiệu là A ~ B, nếu tồn tại một

song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.

Ví dụ 1.1:

1) Cho A = {a, b, c}; B = {α, β, γ}.

Khi đó A ~ B vì có song ánh

f: A → B, a a α; b a β; c a γ.

2) Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm của cạnh

AB tương đương với tập các điểm của cạnh AC.

Thật vậy:

Đặt [AB] là tập các điểm của cạnh AB;

[AC] là tập các điểm của cạnh AC.

Ta có song ánh f: [AB] → [AC]

xác định bởi f(A) = A; f(B) = C và nếu x ∈ [AB] mà

x ≠ A, x ≠ B thì f(x) = x', trong đó x' ∈ [AC] mà xx' //

BC.

3) Tập các điểm của đoạn thẳng AB tương đương với tập các điểm của nửa đường tròn đường

kính AB.

Đặt AB là tập các điểm của nửa đường tròn đường kính AB. [AB] là tập hợp các điểm của

đoạn thẳng AB.

ánh xạ g: AB → [AB] xác định bởi với mọi x ∈ AB, g(x) = x' là hình chiếu vuông góc của x

trên cạnh AB, là một song ánh.

Tính chất 1.1:

1) Với mỗi tập hợp A ánh xạ đồng nhất idA: A → A là một song ánh, nên ta có A ~ A.

2) Cho hai tập hợp A và B, nếu A ~ B tức là có một song ánh f: A → B. Khi đó, ánh xạ ngược

f

–1: B → A cũng là một song ánh nên suy ra B ~ A.

các tập hợp số

58

3) Cho ba tập hợp A, B, C, nếu A ~ B và B ~ C, tức là ta có các song ánh f: A → B và g: B → C.

Khi đó, gf: A → C cũng là một song ánh, suy ra A ~ C.

Vậy quan hệ ~ có ba tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Do tính chất đối xứng của quan

hệ ~ nên nếu A ~ B (hoặc B ~ A) thì ta cũng nói hai tập A và B tương đương với nhau.

2.1.1.2. Định lí Cantor

Định lí 1.1. Với hai tập hợp A và B bất kì, bao giờ cũng xảy ra một trong hai trường hợp sau:

1) Có một đơn ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.

2) Có một đơn ánh từ tập hợp B đến tập hợp A.

Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì có một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.

Định lí này được Cantor dự đoán ngay từ những nghiên cứu đầu tiên của ông về tập hợp,

nhưng ông không chứng minh được. Phần thứ hai được Bestanh chứng minh vào năm 1897.

Mãi đến năm 1904, Zermelo mới chứng minh được phần thứ nhất.

Nhận xét. Cho hai tập hợp A và B. Nếu có một đơn ánh f từ tập A đến tập B thì ta có một song

ánh từ A đến f(A) và khi đó A tương đương với f(A) là một bộ phận của B. Và ngược lại, nếu

A tương đương với một bộ phận B' của B thì ta có một song ánh g: A → B' và g có thể kéo

dài thành một đơn ánh g' từ A đến B:

g': A → B

a a g(a).

Vì vậy, định lí Cantor còn có thể phát biểu cách khác là:

Với hai tập hợp A và B bất kì, bao giờ cũng xảy ra một trong hai trường hợp sau:

1) A tương đương với một tập con của B.

2) B tương đương với một tập con của A.

Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì A tương đương với B.

2.1.1.3. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn

Định nghĩa 1.1. Tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu A không tương đương với bất kì

tập con thực sự nào của A.

Một tập không phải là tập hợp hữu hạn được gọi là tập hợp vô hạn. Nói cách khác, tập hợp A

được gọi là một tập hợp vô hạn nếu có một tập con thực sự của A mà tương đương với A.

Ví dụ 1.2:

1) Tập rỗng (∅ ) là một tập hợp hữu hạn, vì ∅ không có một tập con thực sự nào.

2) Tập {x} là một tập hữu hạn, vì {x} chỉ có một tập con thực sự là tập rỗng ∅ , mà ∅ không

tương đương với {x}.

các tập hợp số

59

3) Tập các điểm trên đoạn thẳng AB (A ≠ B) là một tập vô hạn. Thật vậy, gọi C là trung điểm

của AB khi đó [AC] ⊂ [AB] và [AC] ≠ [AB], đồng thời có thể chỉ ra rằng [AC] ~ [AB].

Định lí 1.2. Tập hợp tương đương với tập hữu hạn là một tập hữu hạn.

Chứng minh:

Giả sử A là một tập hợp hữu hạn và tập hợp B tương đương với tập hợp A. Nếu B không là

tập hữu hạn thì B tương đương với một tập con thực sự B' của B.

Vì A ~ B nên có song ánh f: B → A. Khi đó f(B') là tập con thực sự của A. Thật vậy, vì B' ≠ B

nên tồn tại b ∈ B và b ∉ B'. Khi đó f(b) ∈ A và f(b) ∉ f(B'). Vì A và B tương đương với nhau, B

và B' tương đương với nhau, B' và f(B') tương đương với nhau nên A và f(B') tương đương với

nhau. Vậy ta có A tương đương với tập con thực sự f(B') của A. Trái với giả thiết A là tập hợp

hữu hạn.

Vậy B là tập hữu hạn.

Định lí 1.3. Tập con của một tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn.

Chứng minh:

Giả sử A là một tập hợp hữu hạn và B là một tập con của A. Nếu B không là tập hợp hữu hạn

thì có tập con thực sự B' của B, tương đương với B. Khi đó ta có song ánh g: B → B'.

Đặt A' = (A \ B) ∪ B'. Vì B' là tập con thực sự của B nên A' là tập con thực sự của A.

Ta có ánh xạ f được xác định như sau:

f: A → A'

a, a A\B a f (a) g(a), a B

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

∈ = ∈

a

Do g là song ánh nên f cũng là song ánh. Suy ra A ~ A', trái với giả thiết A là tập hữu hạn.

Vậy B là tập hữu hạn.

2.1.2. Bản số

2.1.2.1. Khái niệm về bản số

Để mở rộng khái niệm "số" phần tử của một tập hữu hạn, Cantor đã đưa ra khái niệm bản số

của một tập hợp để đặc trưng cho “số lượng” các phần tử của tập hợp đó.

Mỗi tập hợp có một bản số. Bản số của tập hợp A kí hiệu là |A| hoặc cardA; bản số của hai tập

hợp A và B là bằng nhau, |A| = |B|, khi và chỉ khi A và B tương đương với nhau, nghĩa là có

một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.

Ví dụ 1.3:

|∅ | ≠ |{x}|;

các tập hợp số

60

|{x, y}| ≠ |{x, y, z}|.

Ta đặt |∅ | = 0 và |{x}| = 1.

Rõ ràng 0 ≠ 1 vì tập rỗng (∅ ) và tập gồm một phần tử {x} không tương đương với nhau.

2.1.2.2. Quan hệ thứ tự giữa các bản số

Giả sử a và b là hai bản số. Khi đó, tồn tại các tập hợp A và B sao cho a = |A| và b = |B|.

Định nghĩa 1.2. Bản số a được gọi là bé hơn hay bằng bản số b, kí hiệu là a ≤ b, nếu và chỉ

nếu tồn tại một đơn ánh f từ A đến B.

Điều này nghĩa là A tương đương với một tập con của B.

Định nghĩa trên đây không phụ thuộc vào việc chọn các tập A, B sao cho a = |A| và b = |B|.

Thật vậy, nếu |A| = |A'| = a và |B| = |B'| = b

thì tồn tại các song ánh g: A → A' và h: B → B'.

Nếu f là đơn ánh từ A đến B thì f' = hfg–1 cũng là một đơn ánh từ A' đến B' và ngược lại.

A B ⎯⎯f

→

g h

A' B' ⎯⎯f '

→

Tính chất 1.2:

Rõ ràng quan hệ ≤ có các tính chất sau:

1) Với mọi bản số a, a ≤ a.

2) Với mọi bản số a, b, c nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c (do hợp thành của hai đơn ánh là một đơn ánh).

3) Với hai bản số a và b khi đó hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a. Nếu đồng thời có a ≤ b và b ≤ a thì a = b

(dựa vào định lí Cantor).

Như vậy, quan hệ ≤ giữa các bản số có các tính chất phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng.

2.1.2.3. Phép cộng các bản số

Định lí 1.4. Cho A, A', B và B' là những tập hợp sao cho A ~ A', B ~ B', A ∩ B =∅ và A' ∩ B' = ∅

khi đó A ∪ B ~ A' ∪ B'.

Chứng minh:

Giả sử f: A → A' và g: B → B' là hai song ánh, khi đó ta có ánh xạ h: A ∪ B → A' ∪ B' được

xác định bởi