Dưới vi phân của hàm lồi trong không gian Banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO VĂN PHƯƠNG

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn 3

Mở đầu 4

Một số kí hiệu 5

1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Dưới vi phân của hàm lồi 23

2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu

lồi 48

3.1 Bài toán tối ưu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Bài toán lồi không có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức . . . . . . . . . . . 49

3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . 53

Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 59

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm -

trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để

tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư của trường Đại học Khoa học,

Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôi

trong suốt quá trình học tập vừa qua.

Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp

đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này.

Hải phòng, ngày 19 tháng 7 năm 2012

Đào Văn Phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

Mở đầu

Giải tích lồi là một bộ phận quan trọng của giải tích toán học, nghiên

cứu về tập lồi và hàm lồi. Trong giải tích lồi, khái niệm dưới vi phân là

một trong những khái niệm cơ bản. Có thể xem dưới vi phân như là một

mở rộng của khái niệm đạo hàm. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã

nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về dưới vi phân của

hàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong các

môn toán ứng dụng.

Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản

nhất về dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach và một số ứng

dụng của nó vào lý thuyết tối ưu.

Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản

về tập lồi và hàm lồi. Chương 2 trình bày dưới vi phân của hàm lồi trên

không gian Banach. Chương 3 trình bày ứng dụng của dưới vi phân vào

việc nghiên cứu bài toán tối ưu lồi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Bảng kí hiệu

R đường thẳng thực

Rn không gian Euclid n - chiều

R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng

f : D → R ánh xạ đi từ D vào R

δ (x|D) hàm chỉ của tập D

E

∗ không gian liên hợp của E

int A phần trong của A

A bao đóng của A

domf miền hữu hiệu của f

epif trên đồ thị của f

f

0

(x) đạo hàm Fréchet của f tại x

f

0

G

(x) đạo hàm Gâteaux của f tại x

f

0

(x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x

∂f(x) dưới vi phân của f tại x

||.|| chuẩn trong không gian Banach

|x| trị tuyệt đối của số x

hx

∗

, xi giá trị của x

∗

tại x

KA nón lồi sinh bởi A

NA(¯x) nón pháp của A tại x¯

affA bao lồi affine của A

coA bao lồi của A

f ≤ g f(x) ≤ g(x) với mọi x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn