Dưới vi phân của hàm lipshitz trong không gian banach

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN MỘNG KHANG

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LIPSCHITZ

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2018

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN MỘNG KHANG

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LIPSCHITZ

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Đà Nẵng - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu tổng quan của

tôi, các kết quả trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu có

nguồn gốc rõ ràng dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng.

Vì vậy tôi xin khẳng định đề tài luận văn: Dưới vi phân của hàm Lipschitz

trong không gian Banach không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài luận văn

nào.

Đà Nẵng, tháng 3 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Mộng Khang

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới

thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng, đã tận tình hướng dẫn

tôi trong suốt quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn

này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô

giáo của Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tận tình dạy bảo tôi trong

suốt thời gian học tập của khóa học. Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn

đến các anh chị trong lớp cao học giải tích K32 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi

trong quá trình học tập.

Tác giả

Nguyễn Mộng Khang

MỤC LỤC

Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

Chương 1. Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Các phép toán trên dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Nón tiếp xúc và Nón pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Chương 2. Gradient suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Quan hệ với các khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Các phép tính trên Gradient suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Nón tiếp xúc và Nón pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển vượt bậc của toán học ứng dụng, nhiều bài toán

thực tế liên quan đến lý thuyết tối ưu, hệ phương trình đòi hỏi các công

cụ mới của giải tích không trơn khi mà các công cụ của giải tích cổ điển

và giải tích lồi không đáp ứng được. Gradient suy rộng, hay Dưới vi phân

theo nghĩa Clarke, là một công cụ khá mạnh để xấp xỉ hàm Lipschitz mà

được dùng rộng rãi trong gần bốn thập kỷ qua. Đây là một khái niệm mở

rộng thực sự của đạo hàm thông thường (trong trường hợp trơn) và dưới

vi phân hàm lồi (trong trường hợp lồi). Ngoài ra công cụ này dễ dùng vì

có thể tính toán được, đặc biệt trong trường hợp hữu hạn chiều. Với sự

xuất hiện của công cụ này, các khái niệm hình học như nón tiếp xúc, nón

pháp tuyến cũng được mở rộng. Ngoài ra các điều kiện cực trị mới cho

bài toán tối ưu không trơn cũng được thiết lập. Qua việc nghiên cứu khái

niệm Dưới vi phân của hàm Lipschitz cùng các ứng dụng của nó, em hy

vọng rằng, ngoài việc rèn luyện thêm các kỹ năng về toán, em sẽ tự trang

bị cho mình một công cụ mới thay thế cho các khái niệm vi phân cổ điển

và dưới vi phân hàm lồi để giải quyết nhiều bài toán thực tế ngày càng

phức tạp. Vì vậy, được sự đồng ý hướng dẫn của PGS. Huỳnh Thế Phùng,

em chọn đề tài “Dưới vi phân của hàm Lipshitz trong không gian Banach”

cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

+ Mục tiêu: Nghiên cứu lý thuyết vi phân Clarke cho hàm Lipschitz.

Từ đó tiến hành nghiên cứu các ứng dụng của chúng trong khảo sát các

khái niệm hình học và các bài toán tối ưu.

+ Nội dung: Trình bày khái niệm đạo hàm theo hướng suy rộng của

hàm Lipschitz, dưới vi phân Clarke, các tính chất và quy tắc tính toán,

mối quan hệ với các khái niệm vi phân đã có như đạo hàm Gâteaux, đạo

2

hàm Fréchet, dưới vi phân hàm lồi. Khảo sát nón tiếp xúc và nón pháp sử

dụng dưới vi phân của hàm khoảng cách. Ứng dụng trong tối ưu hóa.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giải tích không trơn trong không gian Banach, phép tính xấp xỉ trong

không gian Banach.

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh

điển và các bài báo, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan. Tham khảo,

trao đổi với cán bộ hướng dẫn. Tham khảo một số bài báo đã đăng trên

các tạp chí khoa học. Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các phép

tính vi phân xấp xỉ trong không gian Banach.

Bổ sung các ví dụ, hình ảnh và các chứng minh chi tiết.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Dưới vi phân hàm lồi.

Trong chương này, luận văn trình bày một số định nghĩa và định lý của

giải tích hàm có liên quan đến luận văn. Trình bày một số kiến thức cơ

bản của giải tích lồi, mà chủ yếu là nhắc lại khái niệm hàm lồi và dưới vi

phân hàm lồi cùng các kết quả quan trọng trong lĩnh vực này.

Chương 2: Gradient suy rộng.

Trong chương này, luận văn sẽ đưa ra khái niệm gradient suy rộng cùng

các tính chất của đạo hàm.

3

CHƯƠNG 1

DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI

Chương này chủ yếu nhắc lại khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng

một số kết quả quan trọng mà sẽ được sử dụng trong các chương sau khi

xây dựng dưới vi phân cho hàm Lipschitz và dưới vi phân xấp xỉ trong

không gian Banach. Ta luôn giả thiết X là không gian Banach trên trường

số thực và f : X → R là hàm nhận giá trị thực mở rộng. Giả thiết chủ

yếu được sử dụng ở đây là f lồi, chính thường

Nội dung chương này viết dựa trên các tài liệu [1], [2].

1.1. Hàm lồi

Cho hàm f : X → R = [−∞, +∞], ta kí hiệu epi f và dom f lần lượt

là trên đồ thị và miền hữu hiệu của hàm f; Tức là

epi f : = {(x, γ) ∈ X × R|γ ≥ f(x)} ;

dom f : = {x ∈ X|f(x) < +∞} .

f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và f

−1

(−∞) = ∅. f được gọi

là lồi nếu epi f là tập lồi trong X × R và được gọi là lõm nếu −f lồi.

Với mỗi số thực α, ta nói tập mức dưới của hàm f tương ứng với mức

α là tập hợp sau:

C(f; α) := {x ∈ X|f(x) ≤ α} .

Mệnh đề 1.1. Nếu f lồi thì dom f lồi.

Mệnh đề 1.2. Nếu f lồi thì C(f; α) lồi với mọi α ∈ R.

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ C(f; α) ta có (x, α),(y, α) ∈ epi f. Vì vậy,

nếu λ ∈ (0, 1) thì (λx + (1 − λ)y, α) = λ(x, α) + (1 − λ)(y, α) ∈ epi f. Từ

đó, λx + (1 − λ)y ∈ C(f; α), nên C(f; α) lồi.

Tuy nhiên, điều ngược lại của mệnh đề trên là không đúng, chẳng hạn

4

hàm f(x) =arctanx, x ∈ R, không lồi nhưng mọi tập mức dưới của nó

đều lồi.

Mệnh đề 1.3. Cho f : X → (−∞, +∞]. Lúc đó, f lồi khi và chỉ khi

f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y); ∀ x, y ∈ X, ∀ λ ∈ (0, 1).

Chứng minh. Điều kiện cần được chứng minh tương tự như Mệnh đề 1.2

nếu để ý rằng (x, f(x)),(y, f(y)) ∈ epi f với mọi x, y ∈ dom f. Để chứng

minh điều kiện đủ ta lấy (x, β),(y, γ) ∈ epi f và λ ∈ (0, 1). Lúc đó

f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) ≤ λβ + (1 − λ)γ,

hay λ(x, β) + (1 − λ)(y, γ) = (λx + (1 − λ)y, λβ + (1 − λ)γ) ∈ epi f. Vậy

epi f lồi, hay f lồi.

Mệnh đề 1.4 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : X → (−∞, +∞]. Lúc

đó, f lồi khi và chỉ khi, với mọi bộ vec-tơ 

x

1

, x2

, ..., xm

⊂ X và bộ số

{λ1, λ2, ..., λm} ⊂ [0, +∞) thỏa mãn

X

m

i=1

λi = 1,

ta có

f

X

m

i=1

λix

i

!

≤

X

m

i=1

λif

￾

x

i

.

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện cần. Rõ

ràng mệnh đề đúng với m ≤ 2. Giả sử mệnh đề đúng với m = k ≥ 2. Cho

các điểm x

1

, x2

, ..., xk+1 ∈ X và các số λ1, ..., λk+1 > 0 sao cho Pk+1

i=1 λi =

1. Đặt λ =

Pk

i=1 λi

, suy ra λk+1 = 1 − λ. Áp dụng Bất đẳng thức Jensen

lần đầu cho m = 2 và lần sau cho m = k ta nhận được

f

X

k+1

i=1

λix

i

!

≤ λf

1

λ

X

k

i=1

λix

i

!

+ λk+1f(x

k+1) ≤

X

k+1

i=1

λif(x

i

).

Vậy khẳng định đúng với m = k + 1 và mệnh đề đã được chứng minh.

Định lí 1.5. Cho f lồi chính thường, các phát biểu sau là tương đương.

a) f liên tục tại một điểm x ∈ X;

b) f bị chặn trên trong một tập lồi mở khác rỗng nào đó

5

c) int(dom)f 6= ∅ và f Lipschitz địa phương trên int(dom f)

Hệ quả 1.1.

a) Nếu f : R

n → (−∞, +∞] lồi thì f liên tục trên int(dom f).

b) Nếu f : R

n → R lồi thì f Lipschitz địa phương trên R

n

.

1.2. Dưới vi phân

Cho hàm f : X → R và x0 ∈ X sao cho f(x0) ∈ R. Với mỗi vectơ

v ∈ X, ta định nghĩa đạo hàm của f tại x0 theo hướng v là giới hạn sau,

nếu nó tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn:

f

0

(x0; v) := lim

λ→0+

f(x0 + λv) − f(x0)

λ

.

Dễ chứng minh được rằng, nếu f khả vi tại x0 thì f sẽ có đạo hàm theo

mọi hướng tại điểm đó. Hơn nữa,

f

0

(x0; v) = hf

0

(x0); vi; ∀v ∈ X.

Từ định nghĩa ta thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặc không,

tuỳ theo từng trường hợp. Tuy vậy, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của nó

theo mọi hướng luôn luôn tồn tại. Điều đó được khẳng định trong định lí

sau đây

Định lí 1.6. Giả sử f là hàm lồi trên X và x0 ∈ X sao cho f(x0) ∈ R.

Với mỗi v ∈ X, ta có

a) Hàm số sau

ϕv(λ) := f(x0 + λv) − f(x0)

λ

; λ ∈ (0; +∞)

không giảm trên khoảng (0, +∞).

b) Đạo hàm của f theo hướng v tồn tại và

f

0

(x0; v) = inf

λ>0

ϕv(λ)

Bây giờ ta giả thiết f : X → R là một hàm lồi và f(x0) ∈ R. Phiếm

hàm x

∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient của hàm f tại x0 nếu

f(x) ≥ f(x0) + hx

∗

, x − x0i; ∀x ∈ X.

6

Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm affine

φ(x) := f(x0) + hx

∗

, x − x0i; x ∈ X

có đồ thị là một siêu phẳng nằm dưới epi f và tựa vào epi f tại điểm

(x0, f(x0)). Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới

vi phân của f tại điểm đó và được kí hiệu là ∂f(x0). Vậy,

∂f(x0) = {x

∗ ∈ X

∗

|f(x) − f(x0) ≥ hx

∗

, x − x0i; ∀x ∈ X} .

∂f(x0) có thể là tập rỗng, tập khác rỗng, hữu hạn hoặc vô hạn. Khi ∂f(x0)

khác rỗng ta nói f khả dưới vi phân tại x0. Ta cũng quy ước ∂f(x0) = ∅

với mọi x0 ∈/ domf. Để minh hoạ, ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 1.1. Cho f, g : R → R bởi

f(x) := |x| và g(x) := (

−

√

x nếu x ≥ 0,

+∞ nếu x < 0.

Lúc đó,

∂f(x) = (

{−1} ; x < 0,

[−1, 1] ; x = 0,

{1} ; x > 0.

và ∂g(x) = (

∅; x ≤ 0, n

−

1

2

√

x

o

; x > 0.

Ví dụ 1.2. Cho h(x) := kxk ; x ∈ (R

n

, k.k2

). Lúc đó,

∂h(x) = (

B0

(0; 1); x = 0, n

x

kxk

o

; x 6= 0.

Mệnh đề 1.7. Nếu f lồi liên tục tại điểm x0 thì ∂f(x0) là tập khác rỗng,

lồi, compact yếu*, và có mối quan hệ với đạo hàm theo hướng như sau:

∂f(x0) = {x

∗

| hx

∗

, vi ≤ f

0

(x0; v) : ∀v ∈ X} . (1.1)

f

0

(x0; v) = max {hx

∗

, vi |x

∗ ∈ ∂f(x0)} ; ∀v ∈ X. (1.2)

Mệnh đề 1.8. Nếu f lồi và khả vi tại x0 thì ∂f(x0) = {f

0

(x0)} .

Định lí 1.9. Nếu f : U → R là một hàm lồi trên tập lồi, mở U, thì ∂f là

một ánh xạ đa trị đơn điệu, tức là

hx

∗

2 − x

∗

1

, x2 − x1i ≥ 0, ∀x1, x2 ∈ U : ∀x

∗

1 ∈ ∂f(x1), x∗

2 ∈ ∂f(x2).

Hệ quả 1.2. Nếu f : U → R là hàm lồi khả vi trên một tập lồi, mở

7

U ⊂ X, thì f

0

là ánh xạ đơn điệu, tức là

hf

0

(x2) − f

0

(x1), x2 − x1i ≥ 0, ∀x1, x2 ∈ U.

Chứng minh. f lồi, từ Mệnh đề 1.8 ta có f

0

(x) ∈ ∂f(x), theo Định lí 1.9,

với mọi x1, x2 ∈ U, x∗

1 ∈ ∂f(x1), x∗

2 ∈ ∂f(x2), ta có

f(x2) − f(x1) ≥ hx2 − x1, x∗

1

i; f(x1) − f(x2) ≥ hx1 − x2, x∗

2

i.

Cộng vế theo vế của hai bất đẳng thức trên ta được hệ quả cần chứng

minh.

Hệ quả 1.3. Cho f : U ⊂ R

n → R là hàm khả vi trên một tập lồi mở U.

Lúc đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi ∇f là ánh xạ đơn điệu, tức là

h∇f(x2) − ∇f(x1), x2 − x1i ≥ 0, ∀x1, x2 ∈ U.

Nếu hơn nữa, f khả vi cấp 2, thì f lồi khi và chỉ khi ∇2

f(x) là nửa xác

định dương với mọi x ∈ U.

Mệnh đề 1.10. Cho f là hàm lồi trên X. Lúc đó, x0 là điểm cực tiểu của

f khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(x0).

1.3. Các phép toán trên dưới vi phân

Mệnh đề 1.11. Cho f là hàm lồi và λ > 0. Lúc đó, λf là hàm lồi và

∂(λf)(x) = λ∂f(x); ∀x ∈ dom f.

Định lí 1.12. Cho f1, ..., fm là các hàm lồi chính thường. Đặt

f =

X

m

i=1

fi và M =

\

m

i=1

dom fi

.

a) Với mọi x ∈ M, ta có ∂f(x) ⊃ ∂f1(x) + ∂f2(x) + ... + ∂fm(x).

b) Nếu tồn tại x1 ∈ M tại đó có ít nhất m - 1 hàm fi

liên tục thì

∂f(x) = ∂f1(x) + ∂f2(x) + ... + ∂fm(x); ∀x ∈ M.

Hệ quả 1.4. Giả sử fi

lồi chính thường và λi > 0, 1 ≤ i ≤ m, tồn tại

x1 ∈ M tại đó có ít nhất m - 1 hàm fi

liên tục. Lúc đó,

∂(λ1f1 + ... + λmfm)(x) = λ1∂f1(x) + ... + λm∂fm(x); ∀x ∈ M.