Dưới vi phân bậc hai và các điều kiện tối ưu cho lớp các bài toán tối ưu trơn C1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

NGUYỄN THỊ NHINH

DƢỚI VI PHÂN BẬC HAI VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU

CHO LỚP CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU TRƠN C

1

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Dƣơng Thị Việt An

THÁI NGUYÊN - 2020

Mục lục

Mở đầu 4

Lời cảm ơn 7

1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Tính khả vi và khả vi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Nón pháp tuyến và Dưới vi phân bậc nhất . . . . . . . . 10

1.2.1 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Đối đạo hàm và Dưới vi phân bậc hai . . . . . . . . . . 14

1.4 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Điều kiện cần tối ưu cho lớp các bài toán tối ưu trơn C

1 20

2.1 Điều kiện cần tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Điều kiện đủ tối ưu cho lớp các bài toán tối ưu trơn C

1 29

3.1 Điều kiện đủ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận 34

1

Danh mục ký hiệu

R trường số thực

R tập số thực suy rộng

R

+ tập số thực không âm

∅ tập rỗng

∀ x với mọi x

∃ x tồn tại x

M ∩ N giao của hai tập hợp M và N

|x| giá trị tuyệt đối của x

||x|| chuẩn của véctơ x

Bγ(x) hình cầu mở tâm x, bán kính γ > 0

int A phần trong của tập A

xk ↓ x x ¯ k hội tụ đến x¯ và xk > x¯

inf

x∈K

f(x) infimum của tập số thực {f(x) | x ∈ K}

epi f trên đồ thị của hàm f

dom f miền xác định của hàm f

∇f(¯x) đạo hàm Fréchet của f tại x¯

2