Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp nystrom và milne – simpson để giải số phương trình vi phân thường.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN − − − ? − − −

NGUYỄN THỊ THẢO NGUYÊN

DỰ BÁO VÀ HIỆU CHỈNH

VỚI CẶP PHƯƠNG PHÁP

NYSTRO¨M VÀ MILNE - SIMPSON

ĐỂ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Sư phạm Toán.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2012

Mục lục

− 2 −

Lời nói đầu

Giải tích số là một bộ môn toán học chuyên nghiên cứu các phép giải

gần đúng bằng số của các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm. Việc

tìm nghiệm đúng hay nghiệm giải tích của một số phương trình vi phân là

rất khó khăn và lớp các phương trình vi phân tìm được nghiệm giải tích

là rất hẹp. Giải tích số có thể cung cấp các phương pháp giải cho những

bài toán mà không có lời giải giải tích.

Mặc dù có lịch sử phát triển đã hàng trăm năm nhưng phương pháp số

giải phương trình vi phân vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà

toán học và các nhà nghiên cứu toán học ứng dụng. Cho đến nay phương

pháp số giải phương trình vi phân đã có được những thành tựu lớn như

là một khối lượng kiến thức đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo,

và có khá nhiều tên tuổi trong lĩnh vực này như: Euler, Milne - Simpson,

Nystro¨m, J.D.Lambert, Arieh Iserles, Butcher,. . . .

Trong giải tích số, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp

hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ và có cấp chính xác cao. Đề tài này nghiên

cứu phương pháp dự báo – hiệu chỉnh với cặp phương pháp Nystro¨m và

Milne – Simpson với hi vọng làm tăng độ chính xác của nghiệm xấp xỉ của

bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường.

Khóa luận gồm 3 chương:

1. Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ sở giải số phương trình vi

phân.

− 3 −

2. Chương 2: Trình bày các phương pháp số Nystro¨m và Milne – Simpson

để giải số phương trình vi phân thường.

3. Chương 3: Sử dụng các phương pháp số Nystro¨m và Milne – Simpson

để giải số phương trình vi phân thường.

Ở đây em đã lập trình và tính toán trên Maple vào một số ví dụ cụ thể.

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S Nguyễn

Hoàng Thành, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn em

trong suốt quá trình thực hiện đề tài của mình, hướng dẫn cho em cài đặt

và sử dụng Latex và đã giúp em thu được rất nhiều kiến thức bổ ích trong

quá trình hoàn thành luận văn này.

Em xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất Tú đã hướng dẫn, giúp em có

thể sử dụng phần mềm Maple. Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn đến

thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo mọi điều

kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn.

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên

− 4 −

Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1 Phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân là phương trình chứa ẩn là một

hàm số cùng các đạo hàm của nó.

Một phương trình vi phân cấp n thường có dạng

y

(n) = f(x, y, y

0

, ....., y(n−1))

hoặc

F(x, y, y

0

, ....., y(n−1)) = 0

Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y = ϕ(x) sao cho khi

thay y = ϕ(x) vào phương trình vi phân thì ta được đẳng thức đúng.

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số

Trong luận văn này, ta chỉ đề cập đến phương pháp số để giải các bài

toán tìm giá trị ban đầu. Bài toán tìm giá trị ban đầu còn gọi là bài toán

Cauchy là bài toán tìm y(x) sao cho







y

0 = f(x, y)

y(a) = η

(1.1)

với f : [a, b] × R

n → R

n

, y : [a, b] × R

n → R

n

, η = (y1(a), y2(a), ...., yn(a))

1.2.1 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định lý 1.1. (Xem [10]) Cho f : [a, b] × R

n → R

n

là ánh xạ liên tục trên

D = [a, b] × R

n

và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa là tồn

tại L ≥ 0 sao cho

kf(x, y) − f(x, y1)k ≤ L ky − y1k , ∀(x, y),(x, y1) ∈ D. (1.2)

Khi đó bài toán Cauchy (??) tồn tại duy nhất nghiệm y(x) liên tục và khả

vi trên D.

1.2.2 Tiếp cận lời giải số

Tất cả các phương pháp số mà chúng ta đề cập trong khóa luận đều sử

dụng tìm nghiệm y(x) của bài toán Cauchy (??) trên một tập rời rạc của

[a, b]. Đó là chúng ta chia nhỏ [a, b] ra thành N phần bằng nhau bởi các

điểm chia {xi}

N

i=0 được định nghĩa bởi xi = ai + ih, i = 0, N, h =

b − a

N

.

Tham số h được gọi là bước nhảy.

Giả sử y(x) là nghiệm của hệ (??), đặt yn là xấp xỉ của nghiệm y(xn) của

(??) tại xn. Ký hiệu yn ≈ y(xn)

Mục đích của ta là tìm một phương pháp hữu hiệu để tính dãy giá trị xấp

xỉ {yn}

N

n=0 của nghiệm của (??) trên tập rời rạc {xn}

N

n=0.

Định nghĩa 1.2. Nghiệm số là một dãy các xấp xỉ nghiệm đúng của bài

toán (??) trên tập rời rạc trên [a, b].

Định nghĩa 1.3. (Xem [10]) Phương pháp số giải bài toán (??) là một hệ

sai phân của k + 1 giá trị xấp xỉ {yn+i}

k

i=1 của {y(xn+i)}

k

i=1để từ đó ta có

thể tính tuần tự các giá trị {yi}

N

i=0, với k là số bước.

Ví dụ 1.1. Cho







y

0 = f(x, y) = y

2

y(0) = 1

với x ∈ [0,

1

2

], h = 0, 05

Tính y(0, 05) biết

− 6 −