Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp adams - bashforth và milne-simpson để giải số phương trình vi phân thường.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN − − − ? − − −

HUỲNH THỊ NHƯ HUỆ

DỰ BÁO VÀ HIỆU CHỈNH

VỚI CẶP PHƯƠNG PHÁP

ADAMS - BASHFORTH VÀ

MILNE - SIMPSON ĐỂ GIẢI SỐ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Sư phạm Toán.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2014

Mục lục

Lời nói đầu 5

1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số trong bài toán

Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy . . . . . . . . . 9

1.3 Định lý tồn tại nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Phương pháp số tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Cấp chính xác của phương pháp số . . . . . . . . . . 13

1.4.2 Sự hội tụ của phương pháp số . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Tính phù hợp của phương pháp số . . . . . . . . . . 15

1.5 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến . . . . . 19

1.6 Đa thức nội suy Newton lùi tới các mốc cách đều . . . . . . 19

1.7 Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7.1 Dạng chính tắc của phương trình Riccati . . . . . . 21

1.7.2 Một số tính chất của phương trình Riccati . . . . . . 22

1.7.3 Dạng đặc biệt của phương trình Riccati . . . . . . . 22

1.8 Phương pháp Runge - Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Xây dựng các phương pháp Adams hiển và phương pháp

Milne - Simpson 27

− 2 −

2.1 Phương pháp tuyến tính k bước . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Tính phù hợp của phương pháp tuyến tính k bước . 28

2.1.2 Tính zero ổn định của phương pháp tuyến tính k bước 30

2.1.3 Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước . . . 30

2.1.4 Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước 31

2.2 Công thức Adams - Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Xây dựng công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Một vài phương pháp Adams - Bashforth . . . . . . 35

2.2.3 Các phương pháp Adams - Bashforth bậc cao . . . . 42

2.3 Phương pháp Milne - Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2 Đa thức đặc trưng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3 Cấp chính xác và sự hội tụ của phương pháp Milne

- Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp Adams - Bash￾forth và Milne – Simpson 54

3.1 Dự báo bằng phương pháp Adams - Bashforth hai bước,

hiệu chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson hai bước . . 54

3.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.3 Áp dụng thuật toán trên giải bài tập . . . . . . . . . 56

3.2 Dự báo bằng phương pháp Adams - Bashforth ba bước, hiệu

chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson hai bước . . . . . 68

3.2.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.3 Áp dụng thuật toán trên giải một số bài toán . . . . 70

3.3 Dự báo bằng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước và

hiệu chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson 4 bước . . . 81

3.3.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

− 3 −

3.3.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.3 Áp dụng thuật toán trên giải bài tập . . . . . . . . . 83

Phụ lục 93

Kết luận 104

Tài liệu tham khảo 105

− 4 −

Lời nói đầu

Nhiều hệ thống vật lý phức tạp được biểu diễn bởi phương trình vi phân

và những phương trình vi phân này thường không thể tìm được nghiệm

giải tích. Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng các giá trị thu được

bằng việc giải gần đúng của các hệ phương trình vi phân theo các phương

pháp.

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, giải số phương trình

vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học

và các nhà nghiên cứu ứng dụng.

Trong phương pháp số giải phương trình vi phân người ta thường cố

gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định

và tính chính xác cao. Để làm được điều này người ta thường kết hợp các

phương pháp tuyến tính đa bước để nhận được các phương pháp mới hội

tụ và độ chính xác cao hơn.

Trong khóa luận này tôi đã sử dụng cặp phương pháp Adams - Bash￾forth và Minle - Simpson làm một cặp phương pháp dự báo - hiệu chỉnh

để giải số phương trình vi phân nhằm tăng độ chính xác cho nghiệm.

Bố cục của khóa luận gồm 3 chương và 1 phụ lục:

1. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản về giải số phương trình

− 5 −

vi phân và kiến thức chuẩn bị có liên quan.

2. Chương 2 trình bày cặp phương pháp tuyến tính sử dụng làm cặp

phương pháp dự báo và hiệu chỉnh là Adams - Bashforth và Milne –

Simpson .

3. Chương 3 nêu các thuật toán dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương

pháp Adams - Bashforth và Milne – Simpson để giải số phương trình

vi phân.

Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết ở đây tôi đã lập trình và tính toán

trên Maple vào một số ví dụ cụ thể. Các kết quả được cho trong các bảng

một cách chi tiết cùng với đồ thị của các nghiệm.

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Thành người

đã giới thiệu đề tài và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa

luận.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất Tú, người hướng dẫn tận

tình giúp đỡ tôi cài đặt và làm quen với phần mềm Maple. Cuối cùng tôi

xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa, các thầy cô trong khoa Toán

cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ tôi trong 4 năm

học qua. Chính thầy cô đã xây dựng cho tôi những kiến thức nền tảng và

những kiến thức chuyên môn để tôi có thể hoàn thành luận văn này cũng

như công việc sau này.

Do thời gian thực hiện không nhiều và kiến thức còn hạn chế nên không

tránh những sai sót khi thực hiện khóa luận tôi mong nhận được sự góp ý

của thầy cô để tôi có thể hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!

− 6 −

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 4 năm 2012

Sinh viên

Huỳnh Thị Như Huệ

− 7 −

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1. Phương trình có dạng F(x, y, y0

, ....., y(n)

) = 0 được gọi

là phương trình vi phân cấp n. Trong đó y = y(x) là hàm cần phải tìm.

Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân nếu ta

như ta thay y = ϕ(x), y

0 = ϕ

0

(x)....y(n) = ϕ

(n)

(x) thì ta nhận được đẳng

thức

F(x, ϕ(x), ϕ

0

(x), ...., ϕ(n)

(x)) = 0

.

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số

trong bài toán Cauchy

1.2.1 Bài toán

Trong khóa luận này, ta chỉ đề cập đến phương pháp số để giải các bài

toán tìm giá trị ban đầu. Phương trình vi phân cấp cao hay hệ phương

trình vi phân cấp cao luôn có thể viết được dưới dạng hệ phương trình vi

phân cấp một và ta luôn luôn giả sử điều đó đã được thực hiện.

Bài toán giá trị ban đầu hay còn gọi là bài toán Cauchy đối với hệ phương

trình vi phân cấp một có dạng:







y

0 = f(x, y)

y(a) = η

(1.1)

Với f : [a, b] × R

m → R

m

y : [a, b] → R

m

η = (y1(a), y2(a), ...., yn(a)).

1.2.2 Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy

Tất cả các phương pháp số mà chúng ta đề cập trong khóa luận đều sử

dụng để tìm nghiệm y(x) của bài toán Cauchy (1.1) trên một tập rời rạc

của [a, b].

Chia [a, b] thành tập các điểm {xi}

N

i=0 cho bởi







xi = a + ih

i = 0, N

h =

b − a

N

Tham số h được gọi độ dài của bước nhảy. Giả sử y(x) là nghiệm của hệ

phương trình (1.1)

Gọi yn là xấp xỉ của y(xn). Ký hiệu:

yn ≈ y(xn)

Mục đích của ta là tìm một phương pháp hữu hiệu để tính dãy giá trị

{yn}

N

n=0 là xấp xỉ của nghiệm y(x) trên tập rời rạc {xn}

N

n=0.

Phương pháp số để giải bài toán (1.1) là một hệ sai phân của k + 1 giá

trị xấp xỉ {yn+1−i}

k

i=0 của {y(xn+1−i)}

k

i=0 để từ đó ta có thể tính tuần tự

− 9 −

các giá trị {yn}

N

n=0 nếu biết k giá trị ban đầu và k được gọi là số bước của

phương pháp.

Ví dụ 1.1. Phương pháp Euler hiển:







yn+1 = yn + hf(xn, yn)

y(x0) = y0

Áp dụng cho bài toán:







y

0 = f(x, y) = x

2 − y

2

y(0) = 0

với x ∈ [0, 1], h = 0, 05

Ta được kết quả như sau:

y1 = y0 + 0, 05f(x0, y0) = 0 + 0, 05.0 = 0

y2 = y1 + 0, 05f(x1, y1) = 0 + 0, 05(x

2

1 − y

2

1

) = 0, 05.0, 052 = 0, 000125

y3 = y2+0, 05f(x2, y2) = 0, 000125+0, 05.(0, 1

2−0, 0001252

) = 0, 000625

y4 = y3+0, 05f(x3, y3) = 0, 000625+0, 05.(0, 152−0, 0006252

) = 0, 00175

y5 = y4 + 0, 05f(x4, y4) = 0, 00175 + 0, 05.(0, 2

2 − 0, 001752

) = 0, 00375.

Ví dụ 1.2. Phương pháp Euler ẩn: yn+1 = yn + hf(xn+1, yn+1)

Áp dụng cho bài toán:







y

0 = f(x, y) = x − y

y(0) = 1

với x ∈ [0, 10], h = 0, 5

Ta có kết quả như sau:

y1 = y0 + hf(x1, y1) = 1 + 0, 5(0, 5 − y1)

⇔ y1 =

5

6

= 0, 833333

y2 = y1 + hf(x2, y2) = 5

6

+ 0, 5(1 − y2)

⇔ y2 =

8

9

= 0, 88889

y3 = y2 + hf(x3, y3) = 8

9

+ 0, 5(1, 5 − y3)

− 10 −

⇔ y3 =

59

54

= 1, 09259

y4 = y3 + hf(x4, y4) = 59

54

+ 0, 5(2 − y4)

⇔ y4 =

113

81

= 1, 39506

y5 = y4 + hf(x5, y5) = 113

81

+ 0, 5(2, 5 − y5)

⇔ y5 =

857

486

= 1, 76337.

1.3 Định lý tồn tại nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f(x, y) xác định trên miền D ⊂ R

2

. Ta

nói f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số

dương L ( gọi là hằng số Lipschitz) sao cho

kf(x, y1) − f(x, y2)k ≤ L ky1 − y2k , ∀(x, y1),(x, y2) ∈ D.

Nhận xét 1.1. Điều kiện Lipschitz là yếu hơn so với điều kiện giới nội

của đạo hàm riêng ∂f

∂y trên D.

Thật vậy, giả sử ∂f

∂y liên tục và

∂f

∂y

≤ L. Khi đó áp dụng định lý

Lagrange cho hàm f(x, y) theo biến y ta được

f (x, y1) − f (x, y2) = (y1 − y2)

∂f

∂y [x, y1 + θ (y2 − y1)]

Từ đó suy ra điều kiện Lipschitz.

Định lý 1.1. (Xem [10]) Giả sử hàm số f(x,y) trong bài toán Cauchy liên

tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trên hình chữ nhật

D =

(

(x, y) ∈ R

2

|x − x0| ≤ a; |y − y0| ≤ b

)

− 11 −