Định lý liouville về nguyên hàm của các hàm sơ cấp mà không là hàm sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐỖ XUÂN

ĐỊNH LÝ LIOUVILLE VỀ NGUYÊN HÀM CỦA

CÁC HÀM SƠ CẤP MÀ KHÔNG LÀ HÀM SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào

ngày 15 tháng 12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong tất cả các giáo trình cơ bản về giải tích toán học, người ta nói

rằng các tích phân của các hàm ∫

, ∫

, , ∫

,

∫ , ∫ cos

, ∫

,…không biểu diễn được thành các

hàm sơ cấp, nhưng người ta không chứng minh điều này. Mục tiêu

của luận văn là tìm hiểu các chứng minh về vấn đề trên.

Chứng minh gốc là của Liouville vào năm 1835 sau đó được

R.C Churchill viết lại vào năm 2002, với bài báo có tên “ Theorem

on Integration in terms of elementary functions”

Trong luận văn này chủ yếu tham khảo bài báo trên của R.C

Churchill để cho một chứng minh chi tiết.

2. Mục đích nghiên cứu

Trong bài báo [1], R.C Churchill đã dùng cách tương tự như

chứng minh phương trình bậc 5 không giải được bằng căn thức trong

lý thuyết Galois để chứng minh nguyên hàm ∫

không thể biểu

diễn dưới dạng các hàm sơ cấp. Mục đích của luận văn này là phải

tìm hiểu thêm lý thuyết Galois và chứng minh của R.C Churchill về

Định lý Liouviile.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng

+ Lý thuyết Galois

+ Đại số vi phân

- Phạm vi

Bài báo của R.C Churchill “ Theorem on Integration in terms

of elementary functions”

2

4. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và tìm hiểu các sách, các tài liệu của giảng viên hướng

dẫn, sưu tầm.

- Kiểm tra bài báo [1]

- Nêu những khó khăn, vấn đề khó hiểu với giảng viên hướng

dẫn để được cung cấp thêm kiến thức còn sót.

5. Cấu trúc luận văn dự kiến.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, Luận văn

gồm 6 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Cơ sở đại số vi phân

Chương 3: Mở rộng vành vi phân với không hằng số mới

Chương 4: Mở rộng phép lấy đạo hàm

Chương 5: Vi phân Logarit

Chương 6: Định lý Liouville

3

CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. VÀNH, TRƯỜNG

1.1.1. Đồng cấu vành

a. Định nghĩa Đồng cấu vành

Một đồng cấu vành là một ánh xạ từ một vành X tới vành Y

sao cho:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f a b f a f b

f ab f a f b

+ = +

=

với , . Nếu = thì đồng cấu được gọi là tự đồng cấu của .

b. Định lý

Giả sử là một đồng cấu vành từ X tới Y, khi đó là một

vành con của và là một ideal của .

1.1.2. Định nghĩa Toàn cấu chính tắc

Giả sử A là một ideal của một vành X. Ánh xạ

h : / X X A

x x A

Æ

a +

là một đồng cấu từ vành X tới vành thương / . Đồng cấu này còn

là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.

1.1.3. Miền ideal

a. Miền ideal chính

+ Ideal sinh ra bởi một phần tử gọi là ideal chính.

+ Vành giao hoán có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là

miền nguyên

+ Miền nguyên được gọi là vành chính nếu mọi ideal của nó

được sinh từ một phần tử.

4

b. Định nghĩa

Một ideal ≠ của X là một ideal nguyên tố nếu và chỉ nếu

với , ∈ tích ∈ thì ∈ hoặc ∈ .

Một vành chính là vành mà mỗi ideal đều là ideal chính.

Một miền ideal chính là một miền nguyên mà mỗi ideal đều

là ideal chính.

1.2. NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

1.2.1. Định nghĩa (vành đa thức một biến)

Cho là một vành giao hoán có đơn vị. Ký hiệu [ ] là vành

các đa thức biến hệ tử trong . Một đa thức

( ) = + + ⋯ +

∈ [ ], ∈ ( = 1,.., ), ≠ 0

gọi là đa thức một biến bậc , kí hiệu là deg( ), là hệ số cao

nhất. Khi đó vành chứa trong vành [ ] như một vành con.

1.2.2. Định lý

Giả sử là vành giao hoán , ∈ [ ] là những đa thức một

biến, bậc ≥ 0, và giả sử hệ số cao nhất của là một đơn vị của .

Khi đó tồn tại những đa thức duy nhất , ∈ [ ] thỏa

= +

và < .

1.2.3. Định lý

Nếu là một trường, thì vành đa thức một biến [ ] là vành

ideal chính.

1.2.4. Định nghĩa (đa thức lồi bất khả quy)

Nếu là một trường thì mọi phần tử khác 0 của là một đơn

vị trong , và chúng ta có thể thấy rằng những đơn vị của [ ] đơn

giản là những đơn vị của .

5

Một đa thức ( ) ∈ [ ] được gọi là đa thức bất khả quy nếu

nó có bậc ≥ 1 và không thể viết

( ) = ( )ℎ( ); , ℎ ∈ [ ] (g,h có bậc ≥ 1)

Những phần tử của được gọi là những đa thức hằng.

Một đa thức là lồi nếu hệ số cao nhất là 1.

1.2.5. Định lý

Giả sử là một trường, ∈ [ ] có bậc . Khi đó có nhiều

nhất nghiệm trong , và nếu là một nghiệm của trong thì

− chia hết ( ).

1.3. CÁC ĐỊNH LÝ TRƯỜNG

1.3.1. Định nghĩa (mở rộng hữu hạn)

Giả sử là một trường. Nếu là một trường con của trường

, thì chúng ta nói rằng là một mở rộng của . Kí hiệu / .

Nếu là một mở rộng của , thì nó là một không gian vec tơ

trên . Số chiều của là bậc của trên , được kí hiệu là [ : ].

Một mở rộng của được gọi là mở rộng hữu hạn nếu

[ : ] hữu hạn.

Nếu là mở rộng hữu hạn của và nếu , , … , là cơ

sở của trên thì mọi phần tử của có thể viết dưới dạng

, , … ,

1.3.2. Định lý

Nếu Nếu ⊂ ⊂ thì

[ : ]= [ : ][ :k]

6

1.3.3. Định nghĩa (mở rộng đơn)

Mở rộng trường / được gọi là mở rộng đơn nếu tồn tại

∈ sao cho = ( ). Phần tử được gọi là nguyên thủy của mở

rộng đơn. Chú ý rằng một mở rộng đơn có thể có nhiều phần tử

nguyên thủy khác nhau.

ÿ Ví dụ ℂ = ℝ( ) ⊃ ℝ là một mở rộng đơn.

Kí hiệu [ ] là vành đa thức biến với hệ số thuộc . Thì

= ( ) là trường các thương của miền nguyên [ ]

k[a] = Π{ f (a)| f (x) k x[ ]},

( ) { }

1

k a f (a g) (a) | f (x), g(x) k[x], g a( ) 0 .

-

= Œ ¹

1.3.4. Định nghĩa (mở rộng đại số)

Giả sử là một mở rộng của và . Chúng ta nói rằng,

là một đại số trên nếu có một đa thức khác không ( ) [ ] sao

cho ( ) = 0.

Nếu không là một đại số trên , chúng ta nói rằng là một

siêu việt trên .

Mở rộng của được gọi là đại số nếu mỗi phần tử của là

đại số trên . Ngược lại nếu có một phần tử của là siêu việt trên

thì được gọi là siêu việt trên .

1.3.5. Định lý

Giả sử là một mở rộng của và là đại số trên . Thì

có một đa thức lồi bất khả quy duy nhất ( ) [ ] sao cho

( ) = 0. Và bất kì ( ) [ ] sao cho ( ) = 0 thì ( ) chia hết

( ).

Chú ý ta kí hiệu đa thức này là ( , )

7

1.3.6. Định lý mở rộng hữu hạn

a. Định lý

Mở rộng đơn đại số là mở rộng hữu hạn

b. Định lý

Cho L là mở rộng của K và , , … , ∈ sao cho là đại

số trên K và

là đại số trên ( , , … , ), = 1. . . Khi đó

( , , … , ) là mở rộng hữu hạn trên K.

c. Định lý

Nếu là một mở rộng hữu hạn của thì là một mở rộng

đại số của .

1.3.7. Định lý

Nếu F là một mở rộng của K, và là đại số trên K, thì

( ) = [ ].

1.3.8. Định nghĩa

Giả sử K là một mở rộng của k. Một phần tử a của K, a là một

đại số trên k được gọi là tách được trên k nếu nó là một nghiệm đơn

của Irr ( k,a ).

Mở rộng K được gọi là mở rộng tách được của k nếu nó là đại

số trên k và mỗi phần tử của nó là tách được trên k.

Nếu / là đại số nhưng không tách được thì chúng ta nói

rằng K là mở rộng không tách được trên k.

1.3.9. Định nghĩa (Trường đóng đại số)

Giả sử là một mở rộng của , đặt:

= { ∈ : là đại số trên }

khi đó được gọi là bao đóng đại số tương đối của trong .