Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

        

TRẦN THỊ YẾN LY

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2012

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

        

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm

Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại

Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012

Có

thể tìm hiểu luân văn t ̣ ai:̣

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải

tích. Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởi nhà toán học người

Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đa thức vào năm 1691. Xuất phát từ nhu

cầu muốn tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn đề

quan trọng trong chương trình THPT, đặc biệt là dành cho khối chuyên toán,

chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình và

phương trình hàm liên quan để tiến hành nghiên cứu. Vấn đề này vẫn mang

tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo

tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về Các định lý giá trị trung bình và các

phương trình hàm liên quan đến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ đặc

sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bình

Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và các

phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý giá

trị trung bình, nhưng ở đây chỉ đề cập đến phương trình hàm có liên quan.

3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là định lý giá trị trung bình và phương

trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị trung

bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và

các phương trình hàm liên quan đến chúng.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan

đến các định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan đến chúng.

2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả

đang nghiên cứu.

5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến

Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng

một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về định lý giá trị trung

bình và phương trình hàm.

2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số định lý, cũng như đưa ra một số ví dụ

minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.

6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài

liệu tham khảo.

- Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính.

- Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm

liên quan.

- Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm

liên quan.

CHƯƠNG 1

HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH

Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài

liêụ [2] , [5], [6].

Mục đích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan đến hàm

cộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre,

người đã nỗ lực đầu tiên xác định nghiệm của phương trình hàm Cauchy

f x y f x f y ( ) ( ) ( )   

với mọi

x y, ¡

, Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộng

tính. Hàm cộng tính cũng đã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987),

Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều

phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể được biểu diễn theo các hàm cộng

tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bày

ở đây chỉ liên quan đến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng của

chúng. Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác có

liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính.

1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.1.1. Một hàm

f :¡ ¡ 

, trong đó

¡

là tập các số thực, được gọi

là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy.

f x y f x f y ( ) ( ) ( )    (1.1)

với mọi

x y, ¡

. Phương trình (1.1) được đề cập đầu tiên bởi A. M. Legendre

(1791) và C.F. Gaus(1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người đầu tiên tìm ra

nghiệm liên tục tổng quát.

Định nghĩa 1.1.2. Một hàm

f :¡ ¡ 

được gọi là một hàm tuyến tính nếu nó

có dạng

f x mx x ( ) ,     ¡ 

trong đó m là một hằng số bất kì.

Định lý 1.1.1. Cho

f :¡ ¡ 

là một hàm cộng tính liên tục. Khi đó f là tuyến

tính, nghĩa là, f(x)=mx với m là một hằng số tùy ý.

Định nghĩa 1.1.3. Một hàm

f :¡ ¡ 

được gọi là khả tích địa phương nếu nó

khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn .

Chú ý 1.1.2. Mọi hàm cộng tính khả tích địa phương đều là tuyến tính

Định nghĩa 1.1.4. Một hàm

f :¡ ¡ 

được gọi là thuần nhất hữu tỉ nếu

f rx rf x     , (1.2)

với mọi

x R 

và mọi số hữu tỉ r.

Định lý 1.1.2. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một điểm thì nó liên tục khắp nơi.

1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN

Trong phần trước, chúng ta đã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến

tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm điều kiện liên tục về liên tục tại một điểm, các

hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng

tính gián đoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọi

hàm cộng tính là liên tục và không đưa ra được một ví dụ về hàm cộng tính gián

đoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người đầu tiên thành

công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián đoạn.

Bây giờ chúng ta bắt đầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến (không

tuyến tính).

Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị của một hàm

f :¡ ¡ 

là tập hợp

G x y x y f x     , / ,  ¡  .

Dễ dàng thấy rằng đồ thị G của một hàm

f :¡ ¡  là một tập con của mặt phẳng

2

¡ .

Định lý 1.2.1. Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến tính

f :¡ ¡ 

là trù

mật khắp nơi trong mặt phẳng

2

¡ .

Định nghĩa 1.2.2. Cho S là một tập các số thực và B là một tập con của S. Khi

đó B được gọi là một cơ sở Hamel đối với S nếu mỗi phần tử của S là một tổ

hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) duy nhất của B.

Định lý 1.2.2. Cho B là một cơ sở Hamel đối với

¡

. Nếu hai hàm cộng tính có

cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau.

Định lý 1.2.3. Cho B là 1 cơ sở Hamel đối với

¡ . Cho

g B: ¡ là một hàm

tùy ý xác định trên B . Khi đó tồn tại một hàm cộng tính

f :¡ ¡ 

sao cho

f b g b     

với mọi

b B  .

1.3. TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH

Chúng ta đã thấy rằng đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù

mật trong mặt phẳng . Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một điểm (x,y) sao cho

y f x   

. Chúng ta cũng đã nhận thấy rằng một hàm cộng tính

f

trở thành

tuyến tính khi áp đặt tính liên tục trên

f

. Chúng ta có thể làm yếu điều kiện

liên tục về liên tục tại một điểm. Trong đoạn này, chúng ta trình bày một số

điều kiện chính qui nhẹ khác mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính.

Định lý 1.3.1. Nếu một hàm cộng tính f hoặc bị chặn từ một phía hoặc đơn

điệu thì

f

là tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1: Một hàm

f :¡ ¡ 

được gọi là nhân tính nếu

f xy f x f y x y ( ) ( ) ( ), ,   ¡ .

Định lý 1.3.2 : Nếu một hàm cộng tính f cũng là nhân tính thì f là tuyến tính

1.4. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC

Trong mục này, đầu tiên chúng ta trình bày một số kết quả liên quan đến

hàm cộng tính trên mặt phẳng

2

¡

và sau đó nghiên cứu hàm cộng tính giá trị

phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt đầu mục này với kết quả sau đây.

Định lý 1.4.1. Nếu

2

f :¡ ¡ 

là cộng tính trên mặt phẳng

2

¡

thì tồn tại các

hàm cộng tính

1 2 A A, :¡ ¡ 

sao cho

1 2 1 1 2 2 f x x A x A x ( , ) ( ) ( )   (1.3)

với mọi

1 2 x x, ¡ .

Định lý 1.4.2. Nếu

2

f :¡ ¡ 

là một hàm cộng tính liên tục trên mặt phẳng

2

¡

thì tồn tại các hằng số

1 2 c c,

sao cho

f x x c x c x  1 2 1 1 2 2 ,    (1.4)

với mọi

1 2 x x, ¡ .

Bổ đề 1.4.1. Nếu một hàm cộng tính

2

f :¡ ¡ 

liên tục theo từng biến thì nó

là hàm liên tục.

Định lý 1.4.3. Nếu

:

n

f ¡ ¡ 

là một hàm cộng tính liên tục trên

n

¡

thì tồn

tại các hằng số

1 2 , ,..., n

c c c

sao cho

1 2 1 1 2 2 ( , ,..., ) ... n n n f x x x c x c x c x     (1.5)

với mọi

1 2 , ,..., n

x x x ¡ .

Chú ý 1.4.1. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta khảo sát hàm cộng tính

có giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt đầu với một giới thiệu ngắn

gọn về hệ số phức. Các số có dạng

a b  1

, trong đó a và b là những số thực,

được gọi là các số phức. Vào đầu thế kỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm việc với

số phức trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba. Vào thế kỉ 18, các hàm

liên quan đến số phức được tìm thấy bởi Euler. Trong một thời gian dài, các số

phức ít được quan tâm và nói chung không được xét đến như các số chính thống

cho đến giữa thế kỉ 19. Descartes loại bỏ các nghiệm phức của phương trình và

đặt tên chúng là ảo. Euler cũng cảm thấy các số phức “tồn tại chỉ trong tưởng

tượng” và xem các nghiệm phức của một phương trình chỉ hữu ích trong việc

chứng tỏ rằng các phương trình này thực sự vô nghiệm. Gauss đưa ra một biểu

diễn hình học đối với số phức và nhận ra rằng thật là không đúng nếu cho rằng

“có một bí mật mờ mịt nào đó trong các số này”. Ngày nay, các số phức được

chấp nhận rộng rãi theo công trình của Gaus. Định nghĩa hình thức về số phức

được cho bởi William Hamilton.

Hệ số phức

£

là tập hợp các cặp thứ tự các số thực ( x,y) với phép cộng

và phép nhân xác định bởi

( , ) ( , ) ( , ) x y u v x u y v    

( , )( , ) ( , ) x y u v xu yv xv yu   

với mọi

x y u v , , , ¡ .

Đồng nhất số thực x với cặp

( ,0) x

và kí hiệu i là số thuần ảo (0,1), ta có

thể viết lại biểu thức sau

( , ) ( ,0) (0,1)( ,0) x y x y  

thành

( , ) x y x iy  

. Nếu ta kí hiệu vế trái của biểu diễn này là

z

thì ta có

z x iy  

. Số thực

x

được gọi là phần thực của z, kí hiệu là Rez. Tương tự, số

thực y được gọi là phần ảo của z và kí hiệu là Imz. Nếu z là một số phức có

dạng

x iy 

thì số phức

x iy  được gọi là liên hợp của z và kí hiệu là

z .

Một hàm bất kì

f :£ £ 

có thể được viết thành:

f z f z if z     1 2    , (1.6)

trong đó

1

f :£ ¡ 

và

2

f :£ ¡ 

được cho bởi

1

f z( ) 

Re

f z( ) ,

2

f z( ) 

Im

f z( ). (1.7)

Nếu

f

cộng tính thì theo (1.6) và (1.7), ta có:

f z z Re f z z 1 1 2 1 2       =Re f z f z    1 2      

= Re f z Re f z  1 2    = f z f z 1 1 1 2     .

Tương tự,

f z z Im f z z 2 1 2 1 2        = Im f z f z    1 2      

= Im f z Im f z  1 2    = f z f z 2 1 2 2     .

Định lý 1.4.4. Nếu

f :£ £ 

là cộng tính thì tồn tại các hàm cộng tính

:

kj f ¡ ¡  k j , 1,2  

sao cho

f z f Rez f Im z if Re z if Im z       11 12 21 22        .

Định lý 1.4.5. Nếu

f :£ £  là một hàm cộng tính liên tục thì tồn tại các

hằng số phức

1

c

và

2

c

sao cho

  1 2 f z c z c z   (1.8)

Trong đó

z

kí hiệu số phức liên hợp với

z.

Lưu ý rằng không như các hàm cộng tính liên tục giá trị thực trên

¡

, các

hàm cộng tính liên tục giá trị phức trên

£

là không tuyến tính. Tính tuyến tính

có thể được khôi phục nếu ta giả sử điều kiện chính quy mạnh hơn như là tính

giải tích thay vì tính liên tục.

Định nghĩa 1. 4.1. Một hàm

f :£ £ 

được gọi là giải tích nếu f khả vi trên

£ .

Định lý 1.4.6. Nếu

f :£ £ 

là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại một

hằng số phức c sao cho

f z cz    , nghĩa là

f

tuyến tính.

1.5. HÀM SONG CỘNG TÍNH

Định nghĩa 1.5.1. Một hàm

2

f :¡ ¡ 

được gọi là song cộng tính nếu nó

cộng tính theo từng biến, nghĩa là

f x y z f x z f y z     , , ,     , f x y z f x y f x z  , , ,         (1.9)

với mọi

x y z , , ¡ .

Ví dụ duy nhất về hàm cộng tính dễ dàng thấy được là một bội của tích

các biến độc lập. Vì vậy nếu m là một hằng và ta định nghĩa

f

bởi

f x y mxy  ,   , x y, ¡

thì

f

là song cộng tính.

Định lý 1.1.5. Mỗi hàm song cộng tính liên tục

2

f :¡ ¡ 

có dạng

f x y mxy  ,  

với mọi

x y, ¡

và hằng số m tùy ý nào đó trong

¡ .

Định lý 1.5.2. Mỗi hàm cộng tính

2

f :¡ ¡ 

có thể được biểu diển dưới dạng

 

1 1

,

n m

kj k j

k j

f x y r s 

 

  , (1.10)

trong đó

1

n

k k

k

x r b



 ,

1

m

j j

j

y s b



 ,

,

k j r s

là hữu tỉ, trong khi

j b

là các phần tử của một cơ sở Hamel B và

kj

tùy ý

phụ thuộc vào

j b

và

k b .

CHƯƠNG 2

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài

liệu [1], [2], [3], [5].

Mục đích của chương này là nhằm trình bày định lý giá trị trung bình của

phép tính vi phân cùng với một số ứng dụng của nó và bàn đến nhiều phương

trình hàm được thúc đẩy việc sử dụng định lý giá trị trung bình. Tất cả các

phương trình hàm đề cập trong chương này được sử dụng theo đa thức đặc

trưng. Ớ đây, chúng ta cũng khảo sát định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai

phân và đưa ra một số ứng dụng trong việc xác định trung bình hàm. Cuối

cùng, chúng ta chứng minh định lý giá trị trung bình của Cauchy và chỉ ra các

phương trình hàm khác nhau có thể là động lực sử dụng định lý tổng quát này.

2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE

Một trong các định lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là định lý

giá trị trung bình Lagrange. Định lý này được khám phá đầu tiên bởi Joseph

Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc ứng dụng định lý Rolle

vào một hàm bổ trợ thích hợp được cho bởi Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy

nhiên, phát biểu đầu tiên của định lý này xuất hiện trong bài báo của nhà vật lý

học nổi tiếng André-Marie Ampère (1775-1836). Như đã biết nhiều kết quả của

giải tích thực cổ điển là một hệ quả của định lý giá trị trung bình. Chứng minh

của định lý Rolle dựa vào hai kết quả đơn giản sau đây.

Mệnh đề 2.1.1. Nếu một hàm khả vi

f : ¡ ¡ 

đạt cực trị tại một điểm c

thuộc khoảng mở (a,b) thì

f c ' 0    .

Mệnh đề 2.1.2. Một hàm liên tục

f : ¡ ¡ 

đạt cực trị trên một khoảng đóng

và bị chặn bất kỳ

a b, .

Chúng ta bắt đầu định lý Rolle như sau:

Định lý 2.1.1. Nếu

f

liên tục trên

 x x 1 2 , 

, khả vi trên

 x x 1 2 , 

và

f x f x  1 2    

, thì tồn tại một điểm

  x x 1 2 , 

mà sao cho

f ' 0   .

Định lý 2.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực

f

khả vi trên khoảng I và với mọi cặp

1 2 x x 

trong I , tồn tại một điểm



phụ thuộc

1

x

và

2

x

sao cho

   

  

1 2

1 2

1 2

' ,

f x f x f x x

x x









. (2.1)

2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Định lý giá trị trung bình có giải thích hình học như sau. Tiếp tuyến với đồ

thị của hàm

f

tại

1 2 ( , ) x x

song song với cát tuyến nối các điểm

 x f x 1 1 ,  

và

 x f x 2 2 ,  .

Trong mục này, chúng ta thiết lập một số kết quả về phép tính vi phân và

tích phân sử dụng định lý giá trị trung bình Lagrange.

Bổ đề 2.2.1. Nếu

f x ' 0   

với mọi

x

trong khoảng

a b, 

thì

f

là hằng trên

a b, .

Bồ đề 2.2.2. Nếu

f x g x ' '     

với mọi

x a b  , 

thì

f v g à

sai khác một

hằng số trên

a b, .

Bồ đề 2.2.3. Nếu

f x ' 0   

(< 0) , với mọi

x a b  , 

thì hàm

f

tăng ( giảm )

thực sự trên

a b, .

Bồ đề 2.2.4. Nếu

f x '' 0   

, với mọi

x a b  , 

thì

f

là lõm trên khoảng

a b, .

Định lý cơ bản của phép tính phát biểu rằng nếu

f

là một hàm liên tục

trên

a b, 

và

F

là một nguyên hàm của

f

trên

a b, 

thì

     

b

a

f t dt F b F a   

. (2.2)

Định lý này cũng có thể được thiết lập bằng cách đưa vào định lý giá trị trung

bình

Ngoài những ứng dụng lý thuyết, định lý giá trị trung bình còn có những ứng

dụng khác. Các ví dụ sau đây minh họa một số ứng dụng khác của định lý giá

trị trung bình.

Ví dụ 2.2.1. Định lý giá trị trung bình có thể được dùng để chứng minh bất

đẳng thức Bernoullis: Nếu

x 1

thì

1 1 

n

   x nx

, với mọi

n¡ .

Ví dụ 2.2.2. Định giá trị trung bình có thể được sử dụng trong việc chứng minh

bất đẳng thức

x x  1 ln , x  0 (2.3)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x 1.

Ví dụ 2.2.3. Định lý giá trị trung bình có thể được sử dụng trong việc thiết lập

bất đẳng thức sau đây

 

1

a a b b 1

   



      

, (2.5)

với

0 1   

và a,b là hai số thực dương .

Ví dụ 2.2.4 . Định lý giá trị trung bình có thể được dùng để chứng tỏ

 

1 1

x



x

là hàm tăng, trong khi

 

1

1 1

x

x



 là một hàm giảm với

x  0

Ví dụ 2.2.5. Định lý giá trị trung bình có thể được dùng trong việc để thiết lập

công thức

1

0 1

b b

x dx















(2.6)

với

   0 à 0 v b

Ví dụ 2.2.6. Cho

f

là một hàm xác định trên

a b, 

và giả sử

f c ' 

tồn tại với

c a b  , 

nào đó. Cho g khả vi trên khoảng chứa

f c h ( ) 

với h đủ nhỏ và giả

sử

g '

liên tục tại

f c . Khi đó

g f o khả vi tại c và

g f c g f c f c o ' ' '        .

Ví dụ 2.2.7. Định lý giá trị trung bình cũng có thể được dùng trong việc giới

thiệu một họ vô hạn các trung bình, như là trung bình Stolarsky.

Định nghĩa

f x x  





, trong đó

 là một tham số thực. Áp dụng định lý

giá trị trung bình đối với

f

trên khoảng

 x y, 

. Tồn tại một điểm



với

x y   

( phụ thuộc vào

x y v , à 

) sao cho

  

   

' ,

f x f y f x y

x y









  

1

1

,

( )

x y

x y

x y

  





          

.

Lưu ý rằng ta sử dụng

  x y, 

thay vì



để nhấn mạnh sự phụ thuộc của



vào x, y và



.Từ điều này, ta có được một họ vô hạn các trung bình bằng cách

thay đổi tham số



.Các trung bình này được biết là trung bình Stolarsky .

Nếu

  1

, thì ta có trung bình hình học:

1  ( , ) ; x y x y  

Nếu

  2 thì ta có trung bình số học :

2  , 

2

x y

 x y





;

Nếu

  0

, thì ta có trung bình lôgarit :

 

0

lim ,

ln ln

x y

x y

x y















;

Nếu

 1

, thì ta có trung bình identric :

  

1

1

1

lim ,

y y x

x

y

x y

e x











 

    

.

Dể dàng mở rộng định nghĩa về trung bình số học và trung bình hình học

đối với n số thực dương, lần lượt là

 

1 2

1 2

...

, ,...

n

n

x x x A x x x

n

  

 ,  1 2 1 2 , ,... , ,... 

n G x x x x x x n n

 .

2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Trong mục này, chúng ta minh họa một phương trình hàm xuất hiện từ

định lý giá trị trung bình và trình bày một nghiên cứu có hệ thống về phương

trình hàm này và các suy rộng khác nhau của nó.

Định nghĩa 2.3.1. Với các số thực phân biệt

1 2 , ,..., n

x x x , tỉ sai phân của hàm

f :¡ ¡ 

được định nghĩa là

f x f x  1 2    ,

 

 1 2 1 2 3   

1 2

1

, ,..., , ,...,

, ,...,

n n

n

n

f x x x f x x x

f x x x

x x

 





, với

n  2 .

Định lý 2.3.1. Các hàm

f , h :¡ ¡  thỏa mãn phương trình hàm