Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M 

TR†N THÀ MAI

IU KI›N C†N V€ Õ CHO NGHI›M CÕA

B€I TON C…N BŒNG VECTÌ QUA

D×ÎI VI PH…N SUY RËNG

LUŠN N TIN Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2020

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

TR†N THÀ MAI

IU KI›N C†N V€ Õ CHO NGHI›M CÕA

B€I TON C…N BŒNG VECTÌ QUA

D×ÎI VI PH…N SUY RËNG

Ng nh: To¡n Gi£i t½ch

M¢ sè: 9460102

LUŠN N TIN Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS. é V«n L÷u

Th¡i Nguy¶n - 2020

Möc löc

Líi cam oan ii

Líi c£m ìn iii

Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t iv

Mð ¦u 1

1 Ki¸n thùc cì sð 9

1.1 B i to¡n c¥n b¬ng vectì v  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng . . . . . 9

1.2 Mët sè d÷îi vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Ph²p væ h÷îng hâa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 H m lçi suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi

ph¥n MichelPenot 30

2.1 i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig àa

ph÷ìng v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng . . . . . . . 31

2.1.1 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa

ph֓ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v 

b i to¡n tèi ÷u vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng 50

i

3.1 i·u ki»n c¦n Fritz John cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u

cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì . . . . . . . 51

3.2 i·u ki»n tèi ÷u kiºu KarushKuhnTucker cho nghi»m

húu hi»u y¸u cõa b i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì . . . 56

4 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng qua

d÷îi vi ph¥n suy rëng 63

4.1 B i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc . . . . . . . 64

4.2 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng . . . 67

4.3 èi ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

K¸t luªn chung 90

Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n 92

T i li»u tham kh£o 93

Líi cam oan

Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. é V«n L÷u.

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh cõa ri¶ng tæi. C¡c k¸t qu£ ÷a v o

luªn ¡n ·u ÷ñc sü çng þ cõa çng t¡c gi£ GS.TS. é V«n L÷u. C¡c

k¸t qu£ cõa luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng

tr¼nh khoa håc n o kh¡c. C¡c t i li»u tham kh£o ÷ñc tr½ch d¨n trung

thüc.

T¡c gi£

Tr¦n Thà Mai

ii

Líi c£m ìn

Luªn ¡n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc

Th¡i Nguy¶n v  ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa GS.TS é

V«n L÷u. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c

nh§t tîi ng÷íi th¦y cõa m¼nh. Th¦y ¢ tªn t¼nh d¼u d­t, h÷îng d¨n v 

luæn ëng vi¶n, kh½ch l» t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu.

T¡c gi£ công xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc

S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n, còng c¡c

th¦y, c¡c cæ tham gia gi£ng d¤y ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi håc

tªp v  nghi¶n cùu. B¶n c¤nh â, t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng c£m ìn

tîi Ban gi¡m hi»u, Khoa Khoa håc Cì b£n v  Bë mæn To¡n cõa tr÷íng

¤i håc Kinh t¸ v  Qu£n trà Kinh doanh - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢

luæn t¤o i·u ki»n thuªn lñi º tæi câ thº håc tªp v  ho n th nh luªn

¡n cõa m¼nh.

Cuèi còng, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng

nghi»p v  c¡c anh chà em nghi¶n cùu sinh ¢ luæn ëng vi¶n, gióp ï tæi

trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn ¡n.

T¡c gi£

Tr¦n Thà Mai

iii

Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t

X

∗ Khæng gian tæpæ èi ng¨u cõa khæng gian X

Q

∗ Nân éi ng¨u cõa nân Q

Q

# Tüa ph¦n trong cõa Q

∗

hx

∗

, xi Gi¡ trà cõa x

∗ ∈ X

∗

t¤i x ∈ X

(CQ) i·u ki»n ch½nh quy

(MF CQ) i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz

(SMF CQ) i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz m¤nh hìn

f

0

(x; v) ¤o h m Clarke cõa f t¤i x theo ph÷ìng v

∂

C

f(x) D÷îi vi ph¥n Clarke cõa f t¤i x

∇f(x) ¤o h m Fr²chet cõa f t¤i x

∇Gf(x) ¤o h m G¥teaux cõa f t¤i x

f

−

d

(x, υ) ¤o h m d÷îi Dini cõa h m f theo ph÷ìng υ

f

+

d

(x, υ) ¤o h m tr¶n Dini cõa h m f theo ph÷ìng υ

f

♦

(x; υ) ¤o h m MichelPenot cõa h m f theo ph÷ìng υ

∂

MP f(x) D÷îi vi ph¥n MichelPenot cõa f t¤i x

∂

∗

f(x) D÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n cõa h m f t¤i x

∂∗f(x) D÷îi vi ph¥n suy rëng d÷îi cõa h m f t¤i x

∂f(x) D÷îi vi ph¥n suy rëng cõa h m f t¤i x

∂Cf(x) D÷îi vi ph¥n cõa h m lçi f t¤i x

iv

NC(x) Nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x ∈ C

T(C; x) Nân ti¸p tuy¸n cõa C t¤i x

(VEP) B i to¡n c¥n b¬ng vectì khæng r ng buëc

(CVEP) B i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc

(CVVI) B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì câ r ng buëc

(CVOP) B i to¡n tèi ÷u vectì câ r ng buëc

(CIOP) B i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc

(DCIOP1) B i to¡n èi ng¨u kiºu MondWeir

(DCIOP2) B i to¡n èi ng¨u kiºu Wolfe

L(X, Y ) Khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y

R

n

+ Orthant d֓ng trong R

n

R

n

++ Ph¦n trong cõa R

n

+

T Tªp t§t c£ c¡c kho£ng âng v  bà ch°n trong R

LU Lower-upper

domF Mi·n húu hi»u cõa F

t.÷., t÷ìng ùng

intC Ph¦n trong cõa tªp C

∀ Vîi måi

∃ Tçn t¤i

conv(A) Bao lçi cõa tªp A

conv(A) Bao lçi âng y¸u* cõa tªp A

cl(A) Tªp âng y¸u* cõa tªp A

cone(A) Nân sinh bði tªp A

Mð ¦u

Do nhu c¦u cõa kinh t¸ kÿ thuªt v  íi sèng con ng÷íi, lþ thuy¸t c¡c

b i to¡n cüc trà ¢ ph¡t triºn tø nhúng giai o¤n sîm nh§t cõa to¡n håc.

Ba lîp b i to¡n cüc trà ÷ñc nghi¶n cùu bao gçm: Lîp c¡c b i to¡n cõa

ph²p t½nh bi¸n ph¥n cê iºn; Lîp c¡c b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v  lîp

c¡c b i to¡n tèi ÷u (quy ho¤ch to¡n håc). Nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u

cho c¡c b i to¡n cõa ph²p t½nh bi¸n ph¥n cê iºn ¢ cho ta c¡c k¸t qu£

mæ t£ d÷îi d¤ng c¡c ph÷ìng tr¼nh Euler. Khi nghi¶n cùu c¡c b i to¡n

i·u khiºn tèi ÷u v  c¡c b i to¡n tèi ÷u ¢ mang l¤i c¡c k¸t qu£ d¤ng

nguy¶n lþ cüc ¤i Pontriagin v  quy t­c nh¥n tû Lagrange. Lþ thuy¸t

c¡c i·u ki»n tèi ÷u d÷îi ngæn ngú gi£i t½ch h m cõa A. Ya. Dubovitsky

v  A. A. Milyutin ra íi n«m 1965, nâ bao h m ÷ñc c¡c k¸t qu£ câ

d¤ng l  ph÷ìng tr¼nh Euler, nguy¶n lþ cüc ¤i Pontriagin v  quy t­c

nh¥n tû Lagrange.

Lþ thuy¸t tèi ÷u hâa ¢ ph¡t triºn tø c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng câ

r ng buëc ¸n c¡c b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëc, tø b i to¡n tèi ÷u ìn

möc ti¶u ¸n b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u, tø b i to¡n tèi ÷u trìn ¸n c¡c

b i to¡n tèi ÷u khæng trìn. Cuèn s¡ch "Optimization and Nonsmooth

Analysis" cõa F. H. Clarke [11] ¡nh d§u mët b÷îc ph¡t triºn ð mët giai

o¤n mîi cõa gi£i t½ch khæng trìn v  tèi ÷u khæng trìn.

Do nhu c¦u cõa kinh t¸ v  khoa håc kÿ thuªt, b i to¡n b§t ¯ng thùc

bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t bði G. Stampacchia v  cëng sü v o nhúng

n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸ k XX. Mæ h¼nh b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

1

vectì h§p d¨n bði nhúng ¡p döng cõa nâ trong tèi ÷u vectì v  c¡c b i

to¡n c¥n b¬ng m¤ng giao thæng ([18]). B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

trong khæng gian væ h¤n chi·u v  c¡c ùng döng cõa nâ ÷ñc tr¼nh b y

trong cuèn s¡ch "An Introdution to Variational Inequalities and Their

Applications" cõa D. Kinderlehrer v  G. Stampachia [35].

B i to¡n c¥n b¬ng (equilibrium problem) ÷ñc E. Blum v  W. Oettli

[10] ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1994, v  nhanh châng h§p d¨n nhi·u

nh  to¡n håc nghi¶n cùu do ph¤m vi ùng döng rëng lîn cõa nâ. B i to¡n

c¥n b¬ng vectì âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch phi tuy¸n,

nâ cho ta mët mæ h¼nh to¡n håc hñp nh§t bao gçm nhi·u b i to¡n kh¡c

nhau nh÷: B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì; B i to¡n tèi ÷u

vectì; B i to¡n iºm b§t ëng; B i to¡n bò vectì; B i to¡n c¥n b¬ng

Nash vectì,.... C¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì bao

gçm: i·u ki»n tèi ÷u; Sü tçn t¤i nghi»m; Thuªt to¡n; T½nh ch§t tªp

nghi»m; T½nh ên ành nghi»m; ë nh¤y nghi»m,. . .

Trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u nghi¶n cùu trong gi£i t½ch khæng

trìn ¢ tªp trung ph¡t triºn c¡c lo¤i d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau. C¡c d÷îi

vi ph¥n l  nhúng cæng cö tèt º nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i

to¡n tèi ÷u vîi c¡c h m khæng trìn. C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i

to¡n tèi ÷u vîi c¡c dú li»u khæng trìn ¢ v  ang ph¡t triºn m¤nh m³

qua ngæn ngú d÷îi vi ph¥n h m lçi, c¡c d÷îi vi ph¥n F.H.Clarke [11],

P. Michel v  J.P. Penot [50], B.S. Mordukhovich [51], J.S. Treiman [64]

v  d÷îi vi ph¥n suy rëng trong [31]. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng

(convexificator) l  mët cæng cö tèt º thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u khæng

trìn. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng lçi, compact l¦n ¦u ti¶n ÷ñc

÷a ra bði V.F. Demyanov [14]. Jeyakumar v  Luc ¢ ÷a ra kh¡i ni»m

d÷îi vi ph¥n suy rëng âng, khæng lçi cho h m væ h÷îng trong [31] v 

Jacobian x§p x¿ cho h m vectì trong [32]. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy

rëng l  têng qu¡t hâa mët sè kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n ¢ bi¸t nh÷ c¡c

d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich, Treiman,. . . . Mët sè

2