Đề thi số 2 xác suất thống kê- ĐHQGHN

§¹i häc quèc gia hµ néi

Trêng ®¹i häc c«ng nghÖ

m«n Thi: x¸c suÊt-thèng kª-QTNN

(5 ®¬n vÞ häc tr×nh)

C¸c líp: K50 CA vµ CC

§Ò sè 1

(120 phót)

1) Cho A vµ B lµ 2 sù kiÖn. Sö dông ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo tiªn ®Ò, lÇn lît

chøng minh:

a) C«ng thøc céng x¸c suÊt.

b) P A B P A P B ( ∪ ≤ + ) ( ) ( ) .

c) P A B P A P B ( ∩ ≥ − − ) 1 . ( ) ( )

2) X¸c suÊt ®Ó truy nhËp vµo mét trang web t¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã lµ 0,7.

Gäi X lµ sè lÇn thö ®Ó truy nhËp thµnh c«ng vµo trang web. Ký hiÖu hµm x¸c

suÊt p x P X x ( ) = = { } .

a) TÝnh hµm x¸c suÊt p(x) víi x=1, 2, 3, 4.

b) TÝnh hµm ph©n phèi F x P X x X ( ) = ≤ { } víi x=2 vµ víi x=4.

c) TÝnh P X { 2 5 < < } vµ P X { 3 4 . ≤ ≤ }

3) Hµm mËt ®é x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn Laplace cã d¹ng sau:

( , exp , ) ( )

2

f x x x R θ

θ θ = − ∀ ∈

a) X¸c ®Þnh íc lîng hîp lý cùc ®¹i ˆθ cña θ.

b) TÝnh ˆθ víi mÉu cì 5 nh sau ( ) 1 2 3 4 5 x x x x x , , , , = ( − − 2,1; 2,7;1,7;2,6;0,9) .

4) Gi¶ sö X lµ thêi gian l¾p r¸p mét thiÕt bÞ míi t¹i mét ph©n xëng l¾p r¸p cña

mét nhµ m¸y lín. X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã ( )

2 D X = σ ®· biÕt, cô thÓ σ = 3,6

nhng E X( ) = µ cha biÕt. Qua ®iÒu tra 121 c«ng nh©n l¾p r¸p cïng thiÕt bÞ

míi, ngêi qu¶n lý tÝnh ®îc thêi gian l¾p r¸p trung b×nh thiÕt bÞ trªn lµ X = 16,2

phót. Víi møc ý nghÜa α = 5% h·y kiÓm ®Þnh:

a) Gi¶ thuyÕt :" 15" Ho µ = so víi ®èi thuyÕt 1 H :" 15". µ ≠

b) Gi¶ thuyÕt :" 15" Ho µ = so víi ®èi thuyÕt 1 H :" 15". µ >

Cho biÕt z0,025 =1,96 vµ z0,050 =1,65.

5) Cho qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn X t cos at ( ) ( ) = +ω trong ®ã ω ph©n phèi ®Òu trong

kho¶ng ( ) − , π π , a lµ h»ng sè, t R ∈

a) TÝnh hµm trung b×nh ( ) m t X vµ hµm tù t¬ng quan ( ) R t s X

, .

b) Rót ra kÕt luËn vÒ qu¸ tr×nh X(t).

§¸p ¸n vµ thang ®iÓm