Dãy Lucas, đa thức Lucas và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ TRỌNG BÌNH

DÃY LUCAS, ĐA THỨC LUCAS VÀ

ỨNG DỤNG.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ TRỌNG BÌNH

DÃY LUCAS, ĐA THỨC LUCAS VÀ

ỨNG DỤNG.

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS. LÊ THANH BÍNH

Bình Định - Năm 2022

0

Lời cảm ơn

Trước khi đi vào nội dung của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn

chân thành tới toàn thể giáo viên của trường Đại Học Quy Nhơn, phòng

sau Đào Tạo Trường Đại Học Quy Nhơn. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm

ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K23, và đặc biệt là sự định hướng dẫn

dắt quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của thầy TS.

Lê Thanh Bính đối với đề tài khóa luận này.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi những lời cảm ơn đến những người

bạn, đặc biệt là những người thân trong gia đình đã luôn giúp đỡ tôi hết

mình, luôn động viên, cổ vũ tinh thần và tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi

có thể hoàn thành được khoá luận tốt nghiệp này.

Với sự nỗ lực hết sức của bản thân đã cố gắng hoàn thành luận văn với

nội dung đầy đủ, sâu sắc, có hướng mở. Tuy nhiên trong quá trình viết

báo cáo này mặc dù đã được chỉnh sửa nhiều lần nhưng không thể tránh

khỏi việc thiếu sót và gây cho người đọc cảm giác khó hiểu. Tuy nhiên do

sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ Luận văn Thạc sĩ, nên chắc chắn

rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi

xin chân thành cảm ơn nếu nhận được sự góp ý từ các quý thầy cô, bạn

bè và các đọc giả để có thể chỉnh sửa luận văn được tốt hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!.

Quy Nhơn, ngày ... tháng ... năm 2022

Học viên thực hiện

Lê Trọng Bình

1

Mục lục

1 DÃY LUCAS 6

1.1 Định nghĩa dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Định nghĩa dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Số Lucas chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Công thức tổng quát của số Lucas . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Tỷ số vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2 Công thức tổng quát của số Lucas . . . . . . . . . . 12

1.6 Một số hệ thức của dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1 Các hệ thức về tổng hữu hạn của dãy Lucas . . . . 16

1.6.2 Một số đẳng thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas . . . . 20

1.8 Ước nguyên tố của số Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.9 Các tính chất số học của dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . 26

1.10 Tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci với dãy Lucas . 27

1.11 Dãy Lucas trong tự nhiên và các ứng dụng . . . . . . . . . 28

1.11.1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên . . . . . . . . 28

1.11.2 Ứng dụng của dãy Lucas trong Phổ thông . . . . . 32

2 ĐA THỨC LUCAS 37

2.1 Đa thức Fibonacci và đa thức Lucas . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Hàm sinh của đa thức Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Công thức khai triển và công thức truy hồi . . . . . . . . . 39

2.4 Một số đẳng thức liên hệ giữa đa thức Fibonacci và đa thức

Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 Đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và phép chia đa thức. . . 47

2.6 Một số tính chất số học của đa thức Lucas . . . . . . . . . 47

MỤC LỤC 2

2.7 Hai đa thức gn(x) và hn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8 Mối liên hệ giữa hai đa thức gn(x) và hn(x) và đa thức

Fibonacci, đa thức Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.9 Nghiệm của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và một số kết

quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.10 Điều kiện để đa thức Lucas bất khả quy . . . . . . . . . . . 56

2.11 Một số bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

Một số kí hiệu

N Tập các số tự nhiên

Z Tập các số nguyên

R Tập các số thực

Q Tập các số hữu tỷ

C

k

n Tổ hợp chập k của n

(a, b) Ước số của số a và b

gcd(a, b) Ước số chung lớn nhất của số a và số b

a|b Số a là ước của số b

a

.

.

.b Số a chia hết cho số b

A ∧ B A và B

Fn≡21≡2Ln Fn và Ln cùng là các số lẻ

Fn≡20≡2Ln Fn và Ln cùng là các số chẵn

[x] Phần nguyên của a

bxc Phần nguyên bé nhất

dxe Phần nguyên lớn nhất

Q[x] Vành đa thức hữu tỉ