Dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ KIM CÚC

DẠY-HỌC GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Ở

TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK: Sách giáo khoa

SGV: Sách giaó viên

SGKHH: Các sách giáo khoa hiện hành

SGVHH: Các sách giáo viên hiện hành

SCL: Sách giaó khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000

CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000

CTHH: Chương trình hiện hành

SGK.C11: Sách giáo khoa đại số và giải tích cơ bản lớp 11

SGK.N11: Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11

SGV.C11: Sách giáo viên đại số và giải tích cơ bản lớp 11

SGV.N11: Sách giáo viên đại số và giải tích nâng cao lớp 11

SGK.C12: Sách giáo khoa giải tích cơ bản lớp 12

SGK.N12: Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12

SGV.C12: Sách giáo viên giải tích cơ bản lớp 12

SGV.N12: Sách giáo viên giải tích nâng cao lớp 12

SGKCB: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ

bản.

SGVCB: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ

bản.

SGKNC: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12

nâng cao.

SGVNC: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12

nâng cao.

SKG Mỹ: Sách giáo khoa Mỹ

KNV: Kiểu nhiệm vụ

NV: Nhiệm vụ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM

đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang đã

tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình.

- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán

trong suốt khóa học.

- Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh

Kiên Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.

Trân trọng cảm ơn:

- PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần

Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất

thú vị về didactic toán, đóng góp cho chúng tôi những chỉ dẫn cần thiết và hiệu quả để thực hiện

việc nghiên cứu.

- GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI đã cho chúng tôi những nhận xét và gợi ý

hữu ích để thực hiện nghiên cứu.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình

hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã

luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.

Nguyễn Thị Kim Cúc

MỞ ĐẦU

I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:

Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất (từ 2000-

2006) cho thấy rằng học sinh chỉ hiểu khái niệm giới hạn như là việc thực hiện các thao tác đại số

trên biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004).

Trong chương trình hiện hành, khái niệm giới hạn được đưa vào chương IV sách giáo khoa

lớp 11 với mục tiêu của chương là “ đưa vào các khái niệm cơ sở của giải tích (giới hạn dãy số, giới

hạn hàm số, hàm số liên tục) qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô

hạn và liên tục”.

Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) thì khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích, những

kĩ thuật đặc trưng của giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ và dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ

dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ  , hay  , N .

Tuy nhiên vì mục đích giảm tải sách giáo viên Toán 11 của chương trình hiện hành nêu chú ý rằng :

“không định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ  , ”.

Các thực nghiệm trong các nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành

Long (2004) đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất và Lê Thành Đạt (2011) đối với chương trình

hiện hành chỉ giới hạn trên khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Như vậy, sự tiến triển của

chương trình (từ chỉnh lý hợp nhất đến hiện hành) và các nghiên cứu riêng biệt trên khái niệm giới

hạn vô cực chưa được quan tâm đúng mức.

Trên cơ sở đó chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu như sau:

- Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các sách giáo khoa hiện hành (SGKHH) có

tiến triển gì so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình

thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục” như thể chế mong muốn

không?

- Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái

niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của

hàm số trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được các sách giáo khoa hiện hành

tính đến như thế nào?

- Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ như hiện nay, khi mà hầu như mỗi

học sinh đều có một máy tính bỏ túi thì vai trò của máy tình bỏ túi có được sách giáo khoa tính đến

trong việc dạy học các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số không, nếu có thì được tính đến như

thế nào?

II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là:

- Lý thuyết nhân học, nhằm:

+ Tổng hợp phân tích các đặc trưng khoa học luận và chướng ngại khoa học luận của

các khái niệm giới hạn trong các luận văn đã có.

+ Tổng hợp các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong SCL.

+ Phân tích các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong các SGK

hiện hành.

- Lý thuyết về học tập - sai lầm, nhằm giải thích các quy tắc hành động sai lầm của học sinh.

- Lí thuyết tình huống để: xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả

thuyết đưa ra trong quá trình nghiên cứu.

III. Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là nhằm làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm

giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành

(2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện

hành. Việc xác định mối quan hệ thể chế bằng cách phân tích các SGK và ảnh hưởng của mối quan

hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu được thực

trạng của việc dạy học khái niệm này để từ đó có cách cải tiến cho phù hợp.

Phương pháp nghiên cứu:

- Tổng hợp các công trình nghiên cứu để rút ra chướng ngại khoa học luận và đặc trưng khoa

học luận của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá

nhân đối với khái niệm giới hạn trong các luận văn đã nghiên cứu.

- Sử dụng những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để

phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan hê

cá nhân đối với khái niệm giới hạn.

- Trên cơ sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích các mối quan hệ thể chế ở trên

chúng tôi xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra trong quá trình

phân tích.

- Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi và quan hệ thể chế đối

với khái niệm giới hạn xây dựng và thực hiện công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo

quan điểm xấp xỉ trong môi trường máy tính bỏ túi.

IV. Tổ chức của luận văn

Phần mở đầu: chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và

phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.

Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ

Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học và quan hệ cá nhân, quan

hệ thể chế từ việc nghiên cứu các công trình sau:

+ Luận án và luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007).

+ Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004).

+ Luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005).

Từ đó đưa ra các kết luận và các câu hỏi nghiên cứu.

Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT

NAM HIỆN HÀNH

Tiến hành phân tích sâu chương trình và SGK toán phổ thông Việt Nam nhằm trả lời các câu

hỏi nghiên cứu về việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn. Đồng thời xem xét sự lựa

chọn khác của một SGK của Mỹ.

Ở phần cuối của chương, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu.

Chương 3: THỰC NGHIỆM

Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu.

Phần kết luận : Tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở

ra từ luận văn.

CHƯƠNG 1:

TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ

Mục tiêu của chương :

Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, ở chương này chúng tôi tổng hợp các kết

quả nghiên cứu đã có về giới hạn trên các phương diện :

- Khoa học luân.

- Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô hạn của chương trình chỉnh lí hợp nhất 2000.

- Các đồ án didactic đã xây dựng.

- Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm

2000.

- Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai

trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

- Và xem xét những khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.

Trên cơ sở đó đặt ra các câu hỏi mới cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi.

1.1. Phương diện khoa học luận

Dựa vào các nghiên cứu đã có của Cornu (1983), luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung

(2004) đã đạt được những kết quả sau:

Tổng kết và đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận về khái niệm vô hạn:

 Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ không làm rõ bản chất của đối

tượng mà nó vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)

 Quan điểm xấp xỉ x: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số”

“ Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa x nhận các

gía trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng

x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại

giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”.

 Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số”

(Bkouche, 1996)

“Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một dãy

các số thập phân (an)” (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2004)

Định nghĩa bằng ngôn ngữ (ε, δ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa của khái niệm

xấp xỉ này (Bkouche, 1996)