Siêu thị PDFTải ngay đi em, trời tối mất

Thư viện tri thức trực tuyến

Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật

© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam

Dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông
PREMIUM
Số trang
88
Kích thước
845.5 KB
Định dạng
PDF
Lượt xem
1228

Dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông

Nội dung xem thử

Mô tả chi tiết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ THÀNH ĐẠT

DẠY HỌC GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN



ôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS.

Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã bỏ nh iều thời gian và

công sức để giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan

trọng của bộ môn didactic Toán, giúp chúng tôi có đủ hành trang để tiếp thu bộ môn didactic Toán

này.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

− Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học Trường ĐHSP

Thành phố Hồ Chí Minh.

− Ban chủ nhiệm và các giảng viên Khoa Toán Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh.

− Tất cả những học viên cùng khóa đã giúp đỡ tôi học tập và nghiên cứu về bộ môn

didactic Toán trong suốt khóa học.

− Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ Toán Trường THPT Bù Đăng đã tạo nhiều

điều kiện và giúp đỡ tôi có thời gian học tập và tiến hành nghiên cứu thực hành giảng dạy

giới hạn hữu hạn của hàm số của giáo viên.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung,

người đã nhiệt tình hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này.

Cuối cùng, tôi xin được chia sẻ niềm hạnh phúc đến những người thân yêu trong gia đình,

những người đã và luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập.

TÔI XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN

Lê Thành Đạt

T

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BT : Bài tập

CLHN : Chỉnh lí hợp nhất

CT : Chương trình

GD & ĐT : Giáo dục và Đào tạo

GV : Giáo viên

HS : Học sinh

THPT : Trung học phổ thông

SGK : Sách giáo khoa

SGK. M : Sách giáo khoa Mỹ

SGK 11.CB : Sách giáo khoa 11 cơ bản

SGK 11.CLHN : Sách giáo khoa 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000

SGK 11.NC : Sách giáo khoa 11 nâng cao

SGK 12.CB : Sách giáo khoa 12 cơ bản

SGK 12.NC : Sách giáo khoa 12 nâng cao

VD : Ví dụ

ĐẶT VẤN ĐỀ



I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong lời tựa của tác phẩm “Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse.

Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck” (Nhóm AHA, 1999), một câu hỏi được đặt ra : “ Giải

tích toán học là gì? ”. Theo các tác giả của Group AHA :

“Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong

đó phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) và Hình học (bài

toán tiếp tuyến, tiệm cận, diệ n tích và thể tích). Đồng thời được nhìn nhận theo hai

hướng : có thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), có thể nhìn rất xa (qua việc

nghiên cứu các hành vi tiệm cận). Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn [ …]. Như

vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực”

Khẳng định này cũng được thể hiện một cách khá rõ ràng ở chương trình toán học phổ thông

Việt Nam với vai trò là công cụ để nghiên cứu các khái niệm c ơ sở của Giải tích như : khái niệm

hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm đường tiệm cận …

Trong chương trình hiện hành hoàn toàn vắng mặt ngôn ngữ (ε δ ; ) khi định nghĩa giới hạn

của dãy số và giới hạn của hàm số. Bên cạnh đó chúng tôi ghi nhận sự có mặt của những hoạt động

và kiểu bài toán xấp xỉ khi nghiên cứu khái niệm giới hạn trong bộ sách giáo khoa cơ bản, đồng thời

máy tính bỏ túi được chương trình hiện hành sử dụng một cách chính thức để tính các giá trị gần

đúng.

Trong luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả đã xây dựng một đồ án

didactic với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm xấp xỉ và trong môi

trường máy tính bỏ túi với giả thuyết công việc :

“Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghĩa của khái niệm giới hạn theo nghĩa topo

có mặt một cách hình thức trong định nghĩa bằng (ε δ ; ): quan điểm xấp xỉ được xuất

hiện nhờ các thực nghiệm số.” (trang 33)

Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên và học sinh chắc chắn gặp nhiều khó

khăn khi tổ chức dạy và học khái niệm giới hạn thông qua các bài toán xấp xỉ có mặt trong chương

trình hiện hành, vì đây là một trong những điểm mới so với các chương trình trước đó.

Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới câu hỏi khởi đầu sau :

- Nếu không sử dụng ngôn ngữ (ε δ ; ) để định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, thì

việc giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số được thể chế hiện hành tổ chức thực hiện

như thế nào ?

- Những bài toán xấp xỉ nào được xuất hiện trong các sách giáo khoa hiện hành khi xây dựng

và trình bày khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ? Những khó khăn và thuận lợi nào giáo viên và

học sinh có thể gặp phải khi làm việc trên những bài toán này ?

Các nội dung liên quan đến tri thức giới hạn hàm số được chương trình hiện hành sắp xếp

trình bày một cách rõ ràng với hai chủ đề riêng biệt : “giới hạn hữu hạn của hàm số - giới hạn vô

cực của hàm số” thông qua các hoạt động cụ thể để xây dựng và hình thành các khái niệm.

Trong giới hạn về thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ và để nghiên cứu có thể

hoàn thành tốt, chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu của mình vào khái niệm giới hạn hữu hạn của

hàm số.

II. Khung lí thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán. Cụ thể, điểm tựa lý

thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học. Sau đây chúng tôi trình bày tóm

tắt những khái niệm lý thuyết cơ bản mà chúng tôi sử dụng cho nghiên cứu của mình trong luận văn.

Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân hay với một thể chế.

Một số yếu tố của thuyết nhân học – Những thuật ngữ cơ bản

Quan hệ của cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O) là tập hợp những tác

động qua lại mà X có thể có với O như: thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ về nó, nói về nó, … R(X, O)

chỉ rõ cách thức mà X biết về O, và tùy theo thời gian và hoàn cảnh mà mối quan hệ R(X, O) này có

thể thay đổi.

“Theo thời gian, hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển : những đối tượng

trước đây không tồn tại đối với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một số khác ngừng tồn tại, đối

với những đối tượng khác thì quan hệ các nhân của X thay đổi. Trong sự tiến triển này,

cái bất biến là cá nhân, cái thay đổi là con người” (Chavallard 1992)

Theo quan điểm này, việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối

quan hệ của X đối với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc

bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người.

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất

một thể chế I, từ đó dẫn đến việc thiết lập hay biến đổi mối quan hệ R(X, O) phải được đặt trong

một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X, như vậy giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định gọi

là quan hệ thể chế với đối tượng O, ký hiệu là R(I, O). Quan hệ này là một ràng buộc (thể chế) đối

với quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I và nó phụ

thuộc vào vị trí mà cá nhân chiếm trong thể chể I.

Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để chỉ tập hợp

các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào,

tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I. Trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi

dưới các ràng buộc của R(I, O).

Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần

Tổ chức toán học

[T, , , τ θ Θ] trong đó : T là

một kiểu nhiệm vụ phải giải quyết, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ cho phép

giải thích kỹ thuật τ , Θ là lý thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ của công nghệ θ .

Một praxéologie mà trong đó T là kiểu nhiệm vụ toán học được gọi là một tổ chức toán học

(organisation mathématique), ký hiệu là OM. Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối

quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua nghiên cứu các tổ

chức toán học gắn liền với O.

“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp

những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện,

nhờ vào những kỹ thuật xác định” (Bosch. M và Chevallard Y., 1999).

Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền

với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại

trong O, bởi vì :

“ Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc

đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời),

dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên ”.

Tổ chức didactic là một praxéologie, trong đó kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nó là kiểu nhiệm

vụ thuộc loại nghiên cứu. Cụ thể hơn, một tổ chức didactic là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu

“nghiên cứu tác phẩm O như thế nào ?”.

Tổ chức didactic

Theo Chevallard, để phân tích thực hành của giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai

câu hỏi :

• Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp học cụ

thể ?

• Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức didactic mà một giáo viên đã triển khai để

truyền bá một tổ chức toán học cụ thể trong một lớp học cụ thể?

Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên chính

là khái niệm các thời điểm nghiên cứu. Theo ông, dù không phải là mọi tổ chức toán học đều được

tổ chức nghiên cứu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có một số những thời điểm nghiên cứu nhất

thiết phải có mặt cho dù dưới những hình thức rất khác nhau. Cụ thể, ông cho rằng một tình huống

học tập nói chung bao gồm 6 thời điểm nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm didactic

(moment didactique).

Thời điểm thứ nhất : là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM được diễn ra dưới

hình thức thông báo hoặc dưới hình thức giải quyết một kiểu nhiệm vụ cụ thể. Đó chính là mục tiêu

đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O.

Sự gặp gỡ như vậy có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, có một cách gặp (hay

« gặp lại ») hầu như không thể tránh khỏi là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu

thành nên O (trừ khi người ta chưa thực sự quan tâm đến việc nghiên cứu O). Sự « gặp gỡ lần đầu

tiên » với kiểu nhiệm vụ Ti

• Cái gì được gặp trong lần gặp đầu tiên với tổ chức toán học liên quan đến O?

có thể xảy ra qua nhiều lần tùy vào môi trường toán học và didactic tạo

ra sự gặp gỡ này, cụ thể : người ta có thể khám phá lại một kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại

một người mà người ta nghĩ rằng mình đã biết rõ. Có hai câu hỏi cần xem xét trong thời điểm này :

• Lần gặp đầu tiên có thể xảy ra dưới những hình thức nào?

Thời điểm thứ hai : là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti và xây dựng nên một kỹ thuật τi

Thời điểm thứ ba : là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết [θ/Θ] liên quan đến

cho

phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này được diễn ra dưới các hình thức: giáo viên thông báo kỹ thuật và

học sinh giải quyết nhiệm vụ, học sinh tự xây dựng kỹ thuật để giải quyết nhiệm vụ, … Như thế,

nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến

hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng. Kỹ thuật này lại là phương tiện và công cụ để

giải quyết mọi bài toán “cùng kiểu”.

i τ , nghĩa là tạo ra những yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập.

Thời điểm thứ tư : là thời điểm làm việc với kỹ thuật.

Thời điểm này là thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu quả nhất,

có khả năng vận hành tốt nhất trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ liên quan, điều này nói chung

thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là

thời điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật bằng cách cho học sinh làm việc với một số nhiệm vụ

khác nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này, để làm được điều này đòi hỏi phải xét một tập hợp thích đáng

cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ.

Thời điểm thứ năm : là thời điểm thể chế hóa.

Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng các kiểu bài toán liên quan đến

kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật được ưu tiên giải, các yếu tố công nghệ - lý thuyết của kỹ thuật đó,

… Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố của tổ chức toán học đã tham gia vào quá trình xây

dựng này với những yếu tố của tổ chức toán học thực sự muốn nhắm đến.

Thời điểm thứ sáu : là thời điểm đánh giá. Thời điểm này có mục đích xem xét tầm ảnh hưởng

của các kỹ thuật liên quan với kiểu nhiệm vụ : kỹ thuật nào có thể giải quyết được phần lớn cá c

nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên ? Kỹ thuật nào dễ sử dụng ?

Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa. Trong thực tế, việc dạy học phải

đi đến một thời điểm mà ở đó người ta phải « điểm lại tình hình» : cái gì đã học được, cái gì có

giá trị,…

Sáu thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T

δ : dạy

một tổ chức toán học như thế nào ?

Phân tích một tổ chức didactic có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên

cứu trên đã được thực hiện (hay không được thực hiện). Trong đó ba thời điểm đầu tương ứng

với giai đoạn nghiên cứu bài học của học sinh.

Đánh giá các kiểu nhiệm vụ : việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn

Đánh giá một tổ chức toán học

• Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nêu rõ chưa, đặc biệt đã được thể hiện

qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và sẵn có để sử dụng chưa ? Hay ngược lại, chúng chỉ

được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu?

• Tiêu chuẩn về lý do tồn tại : lý do tồn tại của cá c kiểu nhiệm vụ Ti đã được nói rõ chưa ?

Hay ngược lại, chúng dường như không có lý do gì để tồn tại ?

• Tiêu chuẩn thỏa đáng : những kiểu nhiệm vụ được xem xét có thỏa đáng với nhu cầu toán

học của học sinh trong hiện tại và trong tương lai hay không ? Hay ngược lại, dường như

chúng rất biệt lập với các nhu cầu toán học của học sinh ?

Đánh giá kỹ thuật : Kỹ thuật được đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ Ti đã thực sự được xây

dựng chưa, hay chỉ mới là phác thảo ? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu không ? Nó có giải quyết

Tải ngay đi em, còn do dự, trời tối mất!