dao động

Viết phương trình dao động của vật dao động, của các con lắc lò xo và

con lắc đơn.

* Phương pháp giải:

+ Phương trình dao động của con lắc lò xo: x = Acos(ωt + ϕ).

Trong đó: ω =

m

k

;

K

m

T = 2π ;

con lắc lò xo treo thẳng đứng: ω =

m

k

=

0

g

∆l

;

A =

2

2 0

0













+

ω

v

x =

2 2

2 4

v a

ω ω

+ ; cosϕ =

A

x0

;

(lấy nghiệm "-" khi v0 > 0; lấy nghiệm "+" khi v0 < 0); với x0 và v0 là li

độ và vận tốc tại thời điểm t = 0.

+ Phương trình dao động của con lắc đơn: s = S0cos(ωt + ϕ).

Trong đó: ω =

l

g

;

g

l

T = 2π ; S0 =

2

2 v

s

ω

 

+  ÷   =

2 2

2 4

v a

ω ω

+ ;

cosϕ =

0

s

S

; (lấy nghiệm "-" khi v > 0; lấy nghiệm "+" khi v < 0); với s =

αl (α tính ra rad); v là li độ; vận tốc tại thời điểm t = 0.

+ Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc:

α = α0cos(ωt + ϕ); với s = αl; S0 = α0l (α và α0 tính ra rad).

+ Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì

khoảng cách đó chính là biên độ dao động. Nếu chọn gốc thời gian lúc thả

vật thì: ϕ = 0 nếu kéo vật ra theo chiều dương; ϕ = π nếu kéo vật ra theo

chiều âm.

+ Nếu từ vị trí cân bằng truyền cho vật một vận tốc để nó dao động điều

hòa thì vận tốc đó chính là vận tốc cực đại, khi đó: A = max v

ω

, (con lắc đơn

S0 =

max v

ω

). Chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật thì: ϕ = -

2

π

nếu

chiều truyền vận tốc cùng chiều với chiều dương; ϕ =

2

π

nếu chiều truyền

vận tốc ngược chiều dương.

* Bài tập:

1. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo

khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng theo phương

1

thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm và thả nhẹ

cho vật dao động điều hoà. Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị

trí cân bằng; chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển động; gốc thời gian

là lúc thả vật. Lấy g = 10 m/s2

. Viết phương trình dao động của vật. ĐS: x

= 5cos(20t + π) (cm)

2. Một con lắc lò xo gồm vật năng khối lượng m = 400 g, lò xo khối lượng

không đáng kể, có độ cứng k = 40 N/m. Kéo vật nặng ra cách vị trí cân

bằng 4 cm và thả nhẹ. Chọn chiều dương cùng chiều với chiều kéo, gốc

thời gian lúc thả vật. Viết phương trình dao động của vật nặng.

Đs:x = 4cos20t (cm).

3. Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục

Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là L = 40 cm. Viết phương

trình dao động của con lắc. Chọn gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cân

bằng theo chiều âm. Đs: x = 20cos(10πt +

2

π

) (cm).

4. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng khối lượng m gắn

vào lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m. Chọn trục

toạ độ thẳng đứng, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trên

xuống. Kéo vật nặng xuống phía dưới, cách vị trí cân bằng 5 2 cm và

truyền cho nó vận tốc 20π 2 cm/s theo chiều từ trên xuống thì vật nặng

dao động điều hoà với tần số 2 Hz. Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao

động. Cho g = 10 m/s2

, π

2

= 10. Viết phương trình dao động của vật nặng.

Đs: x = 10cos(4πt -

4

π

) (cm).

5. Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có

khối lượng m = 100 g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí

cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo

xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s

theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục toạ độ Ox theo

phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian

là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10 m/s2

. Viết phương trình dao động

của vật nặng. Đs: x = 4cos(20t +

3

2π

) (cm).

6. Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân

bằng một góc 90

rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s 2

, π

2

= 10.

Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển

động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra

rad.

2

Đs: α = 0,157cos(2,5π + π) (rad).

7. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s2

,

π

2

= 10. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng

tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc v = - 15,7

cm/s. Đs:s = 5 2 cos(πt +

4

π

) (cm).

8. Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân

bằng con lắc được truyền vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa

độ. Lấy g = 9,8 m/s2

. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ

dài. Đs: s = 2cos(7t -

2

π

) (cm)

9. Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một

vận tốc v0 = 40 cm/s theo phương ngang thì con lắc đơn dao động

điều hòa. Biết rằng tại vị trí có li độ góc α = 0,1 3 rad thì nó có vận tốc v

= 20 cm/s. Lấy g = 10 m/s2

. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho

vật, chiều dương cùng chiều với vận tốc ban đầu. Viết phương trình dao

động của con lắc theo li độ dài. ĐS: s = 8cos(5t -

2

π

) (cm).

10. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =

5

π

s. Biết rằng ở

thời điểm ban đầu con lắc ở vị trí biên, có biên độ góc α0 với cosα0 = 0,98.

Lấy g = 10 m/s2

. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc.

Đs: α = 0,2cos10t (rad).

11. Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm, chu kỳ T = 0,5 s.

Chọn gốc thời gian khi vật có li độ 2,5 2 cm đang chuyển động ngược

với chiều dương của trục tọa độ. Phương trình dao động của vật là

A. cm

4

3

x 5 cos 4 t 











= −

π

π B. cm

4

3

x 5 cos 4 t 











= +

π

π

C. cm

4

x 5 cos 4 t 











= −

π

π D. cm

4

x 5 cos 4 t 











= +

π

π

12. Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2 Hz. Khi pha dao động bằng

4

π

− thì gia tốc của vật là a = -8 m/s2

. Lấy 10 2

π = . Biên độ dao động của

vật là

A. 10 2 cm B. 5 2 cm

C. 2 2 cm D. Một giá trị khác

3

13. Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 s. Vật qua vị trí cân bằng

với vận tốc 31,4 cm/s. Tại thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ 5

cm theo chiều âm. Lấy 10 2

π = . Phương trình dao động của vật là

A. cm

3

x 10 cos t 











= +

π

π B. cm

6

x 10 cos t 











= +

π

π

C. cm

6

5

x 10 cos t 











= −

π

π D. cm

6

x 10 cos t 











= −

π

π

* Đáp số và hướng dẫn giải:

1. Ta có: ω =

m

k

= 20 rad/s; A = 2

2

2

2

2

2 0

0

20

0

+ = (−5) +

ω

v

x = 5(cm);

cosϕ =

5

0 − 5

=

A

x

= - 1 = cosπ  ϕ = π. Vậy x = 5cos(20t + π) (cm).

2. Ta có: ω =

m

k

= 10 rad/s; A = 2

2

2

2

2

2 0

0

10

0

+ = 4 +

ω

v

x = 4 (cm);

cosϕ =

4

0 4

=

A

x

= 1 = cos0  ϕ = 0. Vậy x = 4cos20t (cm).

3. Ta có: ω =

T

2π

= 10π rad/s; A =

2

L

= 20 cm; cosϕ =

A

x0

= 0 = cos(±

2

π

);

vì v < 0  ϕ =

2

π

.

Vậy: x = 20cos(10πt +

2

π

) (cm).

4. Ta có: ω = 2πf = 4π rad/s; m = 2 ω

k

= 0,625 kg; A = 2

2

2 0

0

ω

v

x + = 10 cm;

cosϕ =

A

x0

= cos(±

4

π

); vì v > 0 nên ϕ = -

4

π

.

Vậy: x = 10cos(4πt -

4

π

) (cm).

5. Ta có: ω =

0

l

g

∆

= 20 rad/s; A = 2

2

2 0

0

ω

v

x + = 4 cm;

cosϕ =

A

x0

=

4

− 2

= cos(±

3

2π

); vì v < 0 nên ϕ =

3

2π

.

Vậy: x = 4cos(20t +

3

2π

) (cm).

4