Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————– * ———————

PHẠM THỊ TRANG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

NAVIER-STOKES

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————– * ———————

PHẠM THỊ TRANG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

NAVIER-STOKES

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Cung Thế Anh

HÀ NỘI - 2015

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết

chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi

đưa vào luận án.

NCS. Phạm Thị Trang

2

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin,

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,

chu đáo của PGS.TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và

biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu

tuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa.

Tác giả vô cùng biết ơn PGS.TS. Trần Đình Kế và các thầy cô trong Bộ

môn Giải tích đã cổ vũ động viên và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý

báu trong nghiên cứu khoa học.

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại

học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban

Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Tổ chức, Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng

Hải Dương, đặc biệt là các thầy cô giáo và các anh chị nghiên cứu sinh trong

Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà

Nội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt

quá trình học tập và nghiên cứu.

Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đã

dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác

giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả thành kính dâng

tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngày

đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả.

3

Mục lục

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Một số kí hiệu dùng trong luận án. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . 9

3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA

LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . 18

1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . 21

1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 26

4

1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 26

1.3.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 29

Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT . . . . . . . . . . . 31

2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 33

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 47

2.5. MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU

VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5.1. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút toàn cục . . . . 56

2.5.2. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều . . . . . . 57

2.6. TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.1. Tính bị chặn của tập hút lùi trong (H2

(Ω))2

. . . . . . 60

2.6.2. Tính compact của tập hút lùi trong (H2

(Ω))2

. . . . . . 64

2.7. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT LÙI SINH BỞI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT HAI CHIỀU 68

2.7.1. Tập hút lùi của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều 69

2.7.2. Tính nửa liên tục trên của tập hút lùi sinh bởi hệ Navier￾Stokes-Voigt hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER 90

3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 92

3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP Dσ-HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . . 113

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

1. CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 118

5

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG

LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes,

Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

(xin xem chi tiết ở tr. 19)

V

0 không gian đối ngẫu của không gian V

(·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H

((·, ·)), k · k tích vô hướng và chuẩn trong không gian V

k · k∗ chuẩn trong không gian V

0

h·, ·i đối ngẫu giữa V và V

0

| · |p chuẩn trong không gian L

p

(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞

Id ánh xạ đồng nhất

A, As

, B các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes,

Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

(xin xem chi tiết ở tr. 20, 21)

D(As

) miền xác định của toán tử As

* hội tụ yếu

Y

X

bao đóng của Y trong X

P(X) họ các tập con bị chặn của X

dF (K) số chiều fractal của tập compact K

dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B.

7

MỞ ĐẦU

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu được nghiên cứu vào giữa thế kỉ

XVIII và phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay. Nó được coi

như chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo

hàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế, đặc biệt là các phương

trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng. Lớp phương trình này xuất

hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí,

dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát. Chúng cũng xuất hiện

khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học kĩ thuật như khoa

học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . .

Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng trong cơ học

chất lỏng là hệ Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất,

nhớt, không nén được, được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng,

động lượng và có dạng







∂u

∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = g(x, t),

∇ · u = 0,

ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất

cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và g là hàm ngoại lực.

Hệ phương trình Navier-Stokes đưa ra lần đầu tiên năm 1822, và được bắt

đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu thế kỉ XX với các công trình nền móng

của Leray (1934) và Hopf (1951). Sau gần một thế kỉ phát triển, lí thuyết hệ

phương trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳng

8

hạn, các cuốn chuyên khảo [14, 47, 48] và các bài tổng quan [4, 50]). Tuy

nhiên, vẫn còn rất nhiều câu hỏi mở chưa được giải quyết, trong đó nổi bật là

tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại toàn cục của nghiệm mạnh của hệ

Navier-Stokes ba chiều. Những nỗ lực giải quyết bài toán này đã làm phát sinh

nhiều hướng nghiên cứu mới thú vị. Một trong số đó là nghiên cứu các biến

dạng của hệ phương trình Navier-Stokes. Những hệ như vậy xuất hiện khi mô

tả chuyển động của các chất lưu trong các điều kiện vật lí nhất định, chẳng

hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong một số tài liệu viết là Voight) xuất hiện khi

nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với

số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất hiện khi nghiên

cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai

chiều xuất hiện khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes trong miền mỏng [43], các

α-mô hình trong cơ học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất hiện

khi nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động của chất

lưu với áp suất phụ thuộc độ nhớt [5], . . . Đây là một hướng nghiên cứu mới

và rất thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới

trong những năm gần đây, do ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như

những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Tuy nhiên

theo hiểu biết của chúng tôi, những kết quả đạt được về sự tồn tại và dáng

điệu tiệm cận nghiệm của các hệ trên chủ yếu mới dừng lại ở trường hợp ngoại

lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xét phương trình

là bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây). Việc

phát triển những kết quả này cho trường hợp không ôtônôm và trong miền

không bị chặn là những vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, nhưng khó

vì đòi hỏi những cách tiếp cận và công cụ kĩ thuật mới.

Chúng tôi sẽ chọn vấn đề nghiên cứu này đối với một số hệ phương trình

dạng Navier-Stokes, xuất hiện trong cơ học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứu

cho luận án tiến sĩ của mình.

9

2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Như đã được đề cập đến trong mục trước, lớp hệ phương trình dạng Navier￾Stokes xuất hiện khi cần mô tả chuyển động của chất lỏng dưới những điều

kiện vật lí nhất định. Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp hệ phương

trình này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học

trong những năm gần đây. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán,

ta thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô

cùng vì khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu

thế phát triển của hệ trong tương lai và từ đó có thể đưa ra những đánh giá,

điều chỉnh thích hợp.

Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm

riêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó

là vô hạn chiều, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút. Lí thuyết tập hút

toàn cục cổ điển ra đời vào khoảng những năm 80 của thế kỉ XX. Cho đến nay,

sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục đã được nghiên cứu cho nhiều lớp

phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến ôtônôm và một số lớp phương

trình vi phân hàm (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [2, 13, 49]). Tuy

nhiên, khi phương trình là không ôtônôm, chẳng hạn khi ngoại lực phụ thuộc

vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn là bất biến dương đối với phép tịnh

tiến theo thời gian và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích

hợp. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của những hệ động lực không

ôtônôm, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều [12] hoặc lí thuyết tập

hút lùi [9]; xin xem các cuốn chuyên khảo [10, 13] về những kết quả gần đây

về hai loại tập hút này.

Nỗ lực đầu tiên để mở rộng khái niệm tập hút toàn cục sang trường hợp

không ôtônôm dẫn đến sự ra đời của tập hút đều. Tuy nhiên, lí thuyết tập hút

đều chỉ giải quyết được một lớp nhỏ các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian

(thường phải giả thiết các hàm ngoại lực f là bị chặn tịnh tiến), không đảm

10

bảo tính chất bất biến của tập hút toàn cục, và nói chung tập hút đều không

thỏa mãn nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là thường có số chiều fractal

bằng vô cùng). Hơn nữa, mặc dù biến thời gian xuất hiện tường minh trong

phương trình, tập hút đều không phụ thuộc vào biến thời gian.

Để khắc phục các hạn chế trên, lí thuyết tập hút lùi ra đời. Tập hút lùi

xuất hiện khi ta cố định thời điểm cuối t và xét dáng điệu tiệm cận nghiệm

của hệ khi thời điểm đầu τ → −∞; được định nghĩa là một họ các tập phụ

thuộc vào thời gian, compact, bất biến, hút họ các tập trong một không gian

nhất định (ví dụ họ các tập bị chặn trong không gian pha). Các tính chất này

là sự mở rộng một cách tự nhiên các tính chất của tập hút toàn cục trong

trường hợp ôtônôm. Ta cũng thường chứng minh được tập hút lùi thỏa mãn

nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là có số chiều fractal hữu hạn), một tính

chất rất quan trọng khi nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều. Hơn nữa, so

với các lí thuyết tập hút khác, lí thuyết tập hút lùi ra đời muộn hơn và hiện

nay vẫn đang là vấn đề rất thời sự. Lí thuyết tập hút lùi cũng giải quyết được

cho một lớp rộng hơn các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian so với tập hút

đều, cho phép xử lí các phương trình đạo hàm riêng với đuôi ngẫu nhiên (với

một chút điều chỉnh nhỏ để trở thành lí thuyết tập hút ngẫu nhiên), một lớp

phương trình rất rộng lớn và quan trọng. Xin xem thêm cuốn chuyên khảo gần

đây [10] về ý nghĩa cũng như mối quan hệ giữa tập hút lùi với các loại tập hút

khác như tập hút toàn cục và tập hút đều.

Chính vì vậy, việc nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm của những hệ

phương trình trong cơ học chất lỏng, nói riêng là những hệ phương trình dạng

Navier-Stokes, thông qua việc chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại và các

tính chất của tập hút lùi là một trong những vấn đề thời sự hiện nay, thu hút

được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.

Trong các biến dạng của hệ phương trình Navier-Stokes đã được đề cập

đến ở mục trước, có hai dạng rất được quan tâm trong thời gian gần đây.