Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Trần Đình Kế

PGS. TS. Cung Thế Anh

Hà Nội - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng

dẫn của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Các kết quả

được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố

trong các công trình của các tác giả khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Đắc

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trường

Đại học sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu

đáo của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin

bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy, PGS.TS. Trần

Đình Kế là người Thầy đã giảng dạy tác giả từ những ngày còn học đại học

và sau đó dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu được trình bày trong luận

án này, PGS.TS. Cung Thế Anh đã đem đến cho tác giả những bài giảng

được chuẩn bị chu đáo, đầy cảm hứng và phương pháp làm việc khoa học.

Những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của tập

thể hướng dẫn dành cho tác giả luôn là động lực chính giúp tác giả không

những hoàn thành được luận án mà còn có những định hướng cho nghiên

cứu tiếp theo.

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại

học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc

biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên,

tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại

học Thủy lợi, các đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ

Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp

đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn

yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành

luận án.

Tác giả

3

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG . . . 18

1.3. LÍ THUYẾT NỬA NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG . . . 23

1.4.1. Một số vấn đề về giải tích đa trị . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động . . . . 26

1.5. TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM

ĐA TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chương 2. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC

VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN . . . . . . . . . . 30

2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . 30

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện 44

2.4.2. Hệ phương trình vi phân lưới . . . . . . . . . . . . 45

4

Chương 3. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC

VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN. . . . . . . . . . . . 49

3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . 49

3.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . 51

3.4. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chương 4. TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM

THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 66

4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 66

4.2.1. Độ đo không compact trên BC(R

+

τ

, X) . . . . . . . 67

4.2.2. Sự tồn tại nghiệm phân rã . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.3. Tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường . 79

4.3. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chương 5. TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN

CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH. 86

5.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3. TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG . . . . . . . . 87

5.3.1. Sự tồn tại nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.2. Tính hút của nghiệm tầm thường . . . . . . . . . . 90

5.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN

QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Bao hàm thức tiến hóa là mô hình cho nhiều bài toán khác nhau. Xét

bài toán sau đây trong lí thuyết điều khiển (xem [9])

x

0 = f(x, u), u ∈ U

trong đó u là nhân tố điều khiển. Khi đó, hệ điều khiển và bao hàm thức

x

0

∈ f(x, U) := [

u∈U

f(x, u)

có tập quĩ đạo như nhau. Nếu tập các nhân tố điều khiển phụ thuộc vào x,

tức là U = U(x), thì ta nhận được bao hàm thức

x

0

∈ f(x, U(x)).

Sự tương đương giữa hệ điều khiển và bao hàm thức vi phân tương ứng

là yếu tố then chốt để chứng minh các định lí tồn tại trong lí thuyết điều

khiển tối ưu. Ở một hướng nghiên cứu khác, ta xét phương trình vi phân

x

0

(t) = f(x(t)), t ∈ [0, T],

với f : R

n → R

n

là một hàm không liên tục. Khi đó bài toán Cauchy

x

0

(t) = f(x(t)), x(0) = x0

có thể vô nghiệm. Chẳng hạn, xét bài toán Cauchy sau

x

0

(t) = (

1, x < 0

−1, x ≥ 0

, x(0) = 0.

Ta thấy bài toán này không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Thật vậy,

nếu x(t) < 0 thì nghiệm là x(t) = t + c− và x(t) > 0 thì x(t) = −t + c+

là nghiệm. Trong áp dụng, phương trình vi phân với vế phải không liên tục

là mô hình cho một số bài toán trong vật lí, kỹ thuật, sinh học và kinh tế.

Các bài toán dạng này được Filippov nghiên cứu trong [37], ở đó kỹ thuật

chính quy hóa hàm phi tuyến ở vế phải dẫn đến các bao hàm thức vi phân.

6

Ngoài ra, khi nghiên cứu các bất đẳng thức vi biến phân, một trong những

phương pháp hiệu quả là chuyển chúng về các bao hàm thức vi phân (xem

[63]).

Có thể thấy rằng, bao hàm thức tiến hóa phát sinh từ các bài toán trong

nhiều hướng nghiên cứu khác nhau, tiêu biểu là bài toán chính quy hóa

phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, bài toán điều

khiển và một số bất đẳng thức vi biến phân. Đối với các hệ tiến hóa mô tả

các bài toán thực tế trong sinh học, hóa học, kỹ thuật, kinh tế,... trễ thời

gian thường xuất hiện như một yếu tố tự nhiên, cho phép việc mô tả các

quá trình chính xác hơn. Vì vậy, các bao hàm thức vi phân có trễ thu hút

được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Trong luận án này, chúng tôi

tập trung vào một trong những vấn đề trung tâm của lí thuyết định tính

các hệ vi phân tiến hóa, đó là dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi

phân không ô-tô-nôm có trễ, bao gồm sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồn

tại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu và tính hút trong khoảng thời

gian hữu hạn của nghiệm.

Lí thuyết định tính các hệ vi phân trong không gian hữu hạn chiều

(phương trình vi phân thường) đã được nghiên cứu từ đầu thế kỷ 20 và đã

thu được những thành tựu quan trọng dựa trên lí thuyết ổn định Lyapunov

(xem [32, 44]), trong đó phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ hiệu

quả được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng. Ngoài ra, các phương pháp khác

như phương pháp điểm bất động (xem [17]), phương pháp so sánh (xem

[61]) cũng được lựa chọn để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm. Với các

bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, các cuốn chuyên khảo [9, 29] trình

bày một cách hệ thống các kết quả về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm.

Tuy nhiên, do tính chất không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho

bao hàm thức vi phân, lí thuyết Lyapunov gặp nhiều khó khăn trong việc

nghiên cứu tính ổn định nghiệm. Khi đó, khái niệm ổn định yếu đã được

Filippov đề xuất (xem [37]) và phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để

chứng minh tính ổn định yếu cũng đã được xây dựng trong [1].

Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân trong không gian

Banach tổng quát cùng những ứng dụng của nó đã và đang thu hút được sự

quan tâm của nhiều nhà toán học, trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời

sự. Có thể tìm thấy trong các cuốn chuyên khảo tiêu biểu [48, 49, 51, 68]

những kết quả nghiên cứu có tính hệ thống. Dựa vào lí thuyết nửa nhóm,

các kết quả về tính giải được của các bao hàm thức tiến hóa đã được thiết

7

lập dưới nhiều điều kiện khác nhau (xem [25, 38, 62]). Để nghiên cứu tính

ổn định nghiệm, các công cụ như lí thuyết tập hút toàn cục hay lí thuyết ổn

định Lyapunov đóng vai trò quan trọng. Lí thuyết tập hút toàn cục được

xây dựng (xem [27, 67]) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm của các hệ vi

phân ô-tô-nôm (autonomous) dưới góc nhìn hệ động lực, theo nghĩa có tồn

tại hay không một tập compact, bất biến và hút các quĩ đạo nghiệm. Lí

thuyết này được phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả có tính hệ

thống cho cả hệ động lực đơn trị (xem [27, 42, 67]) và hệ động lực đa trị

(xem [59, 60, 70]). Nói riêng với các hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút

được phát triển với một số lược đồ nghiên cứu, như lược đồ nửa dòng suy

rộng của Ball [11, 12], nửa dòng đa trị của Melnik và Valero [59]. Hai cách

tiếp cận này đã được so sánh trong [23]. Có thể tham khảo một số kết quả

về dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng đa trị được

thiết lập trong [3, 4, 52, 70] nhờ ứng dụng lược đồ của Melnik và Valero.

Ngoài ra, Chepyzov và Vishik [26] cũng phát triển lí thuyết tập hút quỹ

đạo để nghiên cứu dáng diệu của các hệ vi phân không duy nhất nghiệm.

Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân không ô-tô-nôm

(nonautonomous), lí thuyết tập hút đều và tập hút lùi được xây dựng cho

cả trường hợp đơn trị và đa trị (xem [19, 20, 21, 60]). Trong đó, phải kể

đến những kết quả nghiên cứu quan trọng của Caraballo, Kloeden cùng các

cộng sự về tập hút lùi cho các hệ vi phân tất định và hệ vi phân ngẫu nhiên

với lược đồ thống nhất. Gần đây, ở [28], các tác giả Zelati và Kalita đã đưa

ra một cải tiến đáng chú ý trong lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, đó là giảm

nhẹ tính liên tục (chỉ yêu cầu tính đóng) đối với hệ động lực và đưa ra tiêu

chuẩn compact tiệm cận dựa trên độ đo không compact.

Trong các lược đồ nghiên cứu về tập hút, bước then chốt để chứng minh

sự tồn tại tập hút toàn cục là kiểm tra điều kiện về tính compact tiệm

cận của hệ động lực sinh bởi hệ. Điều kiện này được thỏa mãn nếu nửa

nhóm sinh bởi phần tuyến tính là nửa nhóm compact. Tuy nhiên, các hệ

vi phân đạo hàm riêng trong miền không bị chặn nói chung không thỏa

mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính

chất compact. Trong trường hợp không gian pha là một không Hilbert tách

được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta có thể kiểm tra điều kiện

xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem [28, 57, 75, 76]). Tuy nhiên, cách

này không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khi không gian

pha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta không thể tìm được

một cơ sở của không gian pha để có thể áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn

8

chiều. Mục tiêu nghiên cứu đầu tiên của chúng tôi trong luận án này là xây

dựng một số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực

trong tình huống kể trên.

Đề cập đến các khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm

thức vi phân, có thể thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp

hàm Lyapunov là khó áp dụng vì tính không duy nhất nghiệm của bài toán

Cauchy. Do đó, các kết quả về tính ổn định cho các bao hàm thức vi phân

theo nghĩa Lyapunov còn hạn chế. Mục tiêu tiếp theo của chúng tôi là sử

dụng cách tiếp cận điểm bất động ở [17] (trong nghiên cứu tính ổn định

nghiệm cho các phương trình vi phân thường/vi phân hàm) để phân tích

dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vô

hạn trong không gian Banach tổng quát, trong đó tính ổn định tiệm cận

yếu của nghiệm tầm thường (nghiệm không) được xem xét.

Theo một góc nhìn khác, mặc dù dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân

khi thời gian đủ lớn đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thực

tiễn, có lịch sử nghiên cứu lâu dài và đạt được những kết quả có tính hệ

thống, dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quan

trọng hơn trong các bài toán liên quan đến quá trình sinh-hóa (biochemical

networks), quá trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction),... ở đó các

quá trình cần quan sát chỉ xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn. Từ đó,

hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn đang thu hút được sự quan

tâm của nhiều nhà toán học. Một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên

cứu này cho các hệ vi phân thường có thể tìm thấy trong các công trình

[14, 33, 34, 35, 39, 55]. Sử dụng các khái niệm về hệ động lực thời gian hữu

hạn trong [39], chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính hút trong thời gian

hữu hạn của các bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong không

gian Banach, trong đó chúng tôi tìm kiếm các điều kiện chấp nhận được áp

đặt lên phần tuyến tính và phần phi tuyến để có thể chứng minh một số

điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường.

Sau đây, chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn về những nội dung nghiên

cứu chính.

Sử dụng lược đồ về tập hút lùi của Caraballo và Kloeden, chúng tôi

nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho một số lớp bao hàm thức vi phân hàm

có trễ trong không gian Banach. Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn,

chúng tôi xét lớp bài toán sau

u

0

(t) ∈ Au(t) + F(t, u(t), ut

), t ≥ τ, (1)