Đại số lie quadratic số chiều thấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH



BÙI THỊ VÂN ANH

ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thaønh Phoá Hoà Chí Minh - 2011

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH



BÙI THỊ VÂN ANH

ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số : 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS.LÊ ANH VŨ

Thaønh Phoá Hoà Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.Lê Anh

Vũ. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Thầy đã giúp đỡ tạo

điều kiện cho tôi tiếp xúc với các nguồn tài liệu quý trong và ngoài nước, giảng giải

và chỉ dẫn tận tình, đầy trách nhiệm cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Hơn

nữa, Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức để đọc và chỉnh sửa luận văn cho tôi.

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư

Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. Đặc biệt là các Quý Thầy Cô tổ Hình học, Thầy Cô

giảng dạy lớp cao học khóa 18 Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã

cung cấp những kiến thức chuyên môn cần thiết cho tôi để làm nền tảng cho việc

hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng

khoa học công nghệ - Sau Đại học, phòng Kế hoạch - tài chính Trường Đại học sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu Trường THPT Phú Nhuận cùng toàn

thể các đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá

trình học và nghiên cứu luận văn này.

Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ, khích lệ, động viên của

gia đình tôi. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn của mình đến gia đình.

Tôi xin chân thành cảm ơn.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2011

Tác giả

Bùi Thị Vân Anh

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 3

MỤC LỤC .................................................................................................................... 4

BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU ............................................................................. 7

LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 9

1. Lý do chọn đề tài..........................................................................................................................9

2. Mục đích ....................................................................................................................................11

3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu.............................................................................................11

4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn ........................................................................................................11

5. Cấu trúc luận văn .......................................................................................................................11

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ........................................................ 12

1.1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH ................................................................................................12

1.1.1 Định nghĩa ...........................................................................................................................12

1.1.2 Định nghĩa ............................................................................................................................12

1.1.3 Bổ đề ....................................................................................................................................12

1.1.4 Định nghĩa ............................................................................................................................13

1.1.5 Nhận xét ..............................................................................................................................13

1.1.6 Dạng chính tắc của dạng song tuyến tính ........................................................................13

1.1.6.1 Bổ đề .............................................................................................................................13

1.1.6.2 Bổ đề .............................................................................................................................13

1.2. ĐẠI SỐ LIE ............................................................................................................................14

1.2.1 Đại số....................................................................................................................................14

1.2.1.1 Định nghĩa ...................................................................................................................14

1.2.1.2 Ví dụ..............................................................................................................................14

1.2.2 Đại số Lie .............................................................................................................................15

1.2.2.1 Định nghĩa ....................................................................................................................15

1.2.2.2 Nhận xét........................................................................................................................15

1.2.2.3 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số).......................................................................15

1.2.2.4 Ví dụ..............................................................................................................................16

1.3. ĐỒNG CẤU............................................................................................................................17

1.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................................17

1.3.2 Nhận xét và ví dụ .................................................................................................................17

1.4. ĐẠI SỐ LIE CON, IDEAL VÀ ĐẠI SỐ THƯƠNG..............................................................17

1.4.1 Định nghĩa ............................................................................................................................17

1.4.2 Định nghĩa ............................................................................................................................17

1.4.3 Định nghĩa ............................................................................................................................17

1.4.4 Tính chất...............................................................................................................................18

1.4.5 Mệnh đề................................................................................................................................18

1.4.6 Nhận xét ..............................................................................................................................18

1.5. ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC .....................................................................................................19

1.5.1 Bổ đề ....................................................................................................................................19

1.5.2 Nhận xét ...............................................................................................................................19

1.5.3 Định nghĩa ............................................................................................................................19

1.5.4 Ví dụ.....................................................................................................................................19

1.5.5 Bổ đề ....................................................................................................................................20

1.5.6 Bổ đề ....................................................................................................................................20

1.5.7 Bổ đề ....................................................................................................................................20

1.5.8 Hệ quả ..................................................................................................................................21

1.6 ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH .........................................................................................................21

1.6.1 Chúng ta xét dãy các ideal : .................................................................................................21

1.6.2 Định lý.................................................................................................................................21

1.6.3 Định nghĩa ............................................................................................................................22

1.6.4 Nhận xét ...............................................................................................................................22

1.6.5 Tâm của đại số Lie ...............................................................................................................22

1.6.6 Bổ đề ....................................................................................................................................22

1.7 ĐẠI SỐ LIE ĐƠN VÀ NỬA ĐƠN ........................................................................................23

1.7.1 Định nghĩa ............................................................................................................................23

1.7.2 Định nghĩa ............................................................................................................................23

1.7.3 Ví dụ.....................................................................................................................................23

1.7.4 Định lý (Cartan – Levi – Malxev).......................................................................................23

1.7.5 Bổ đề ...................................................................................................................................23

1.7.6 Nhận xét ..............................................................................................................................24

CHƯƠNG 2: CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE

QUADRATIC ............................................................................................................ 25

2.1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC. VÀI VÍ DỤ......................................................25

2.1.1 Định nghĩa đại số Lie quadratic ...........................................................................................25

2.1.2 Vài ví dụ ...............................................................................................................................26

2.2. VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC............................................27

2.2.1 Vài khái niệm .......................................................................................................................27

2.2.2 Các tính chất.........................................................................................................................29

2.3. ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC ĐỊA PHƯƠNG..........................................................................30

2.3.1 Vài khái niệm .......................................................................................................................31