Đại số lie nửa đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ HIỀN

ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN

KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng

tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn

là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng

và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu

nào khác.

Trần Thị Hiền

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo

hướng dẫn PGS. TS Trần Đạo Dõng đã tận tình hướng dẫn tôi trong

suốt quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô

giáo đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập của khóa học.

Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp ĐSK31 đã

nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn

ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi suốt thời gian học tập vừa

qua.

Trần Thị Hiền

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Nghiên cứu cấu trúc và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn là một

trong các bài toán quan trọng và mang tính thời sự trong lý thuyết Lie

và lý thuyết biểu diễn. Nhiều nhà toán học đã quan tâm lĩnh vực này

và tập trung giải quyết trọn vẹn cho nhiều lớp đại số Lie cụ thể. Với

mong muốn tìm hiểu thêm về đại số Lie nửa đơn cùng với sự gợi ý của

PGS.TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài "Đại số Lie nửa đơn và biểu

diễn khả quy đầy đủ" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình.

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu và trình bày lại một cách hệ

thống, chứng minh chi tiết các kết quả về biểu diễn của đại số Lie nửa

đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn được chia làm hai chương.

Chương 1 dành để trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về đại số

Lie, đại số Lie lũy linh, định lý Engle, đại số Lie giải được và định lý Lie

sẽ sử dụng trong chương sau. Trong chương 2 chúng tôi trình bày về đại

số Lie nửa đơn, đại số Lie nửa đơn cổ điển, tiêu chuẩn Cartan, đại số Lie

quy, từ đó xét tính khả quy đầy đủ của đại số Lie nửa đơn thông qua

định lý Weyl và ứng dụng để khảo sát phân tích Levi của đại số Lie.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các đại số Lie nửa đơn trong mối liên hệ với đại số Lie

quy và cấu trúc của đại số Lie. Đồng thời khảo sát tính khả quy đầy đủ

của biểu diễn và thể hiện cho các lớp đại số Lie nửa đơn.

3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là:

- Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie quy.

- Biểu diễn khả quy đầy đủ của đại số Lie.

4. Phạm vi nghiên cứu

1

Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm,

định nghĩa, định lý liên quan đến cấu trúc của đại số Lie nửa đơn và

biểu diễn khả quy đầy đủ.

5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu

kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.

Tham khảo và trao đổi với giáo viên hướng dẫn. Tham khảo một số bài

báo đã đăng trên các tạp chí khoa học.

6. Đóng góp của đề tài

Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về đại

số Lie nửa đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ. Góp phần làm rõ vai trò

của đại số Lie nửa đơn và mối liên hệ với tính khả quy đầy đủ của biểu

diễn.

2

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất

cơ bản về đại số Lie và biểu diễn, các khái niệm liên quan như đại số Lie

lũy linh, đại số Lie giải được, và định lý Lie. Các nội dung của chương

được tham khảo từ tài liệu [2] và [3].

1.1 Đại số Lie

Cố định một trường F.

Định nghĩa 1.1.1.

Cho L là không gian véctơ trên trường F và xét

[, ] : L × L −→ L

(x, y) 7−→ [x, y]

là một phép toán trên L.

Khi đó, (L, [, ]) được gọi là một đại số Lie trên trường F nếu phép

toán [, ] thỏa mãn

a) [, ] là song tuyến tính; tức là, ∀x, y, z ∈ L, ∀λ, β ∈ F ta có:

[λx + βy, z] = λ[x, y] + β[y, z] và

[x, λy + βz] = λ[x, y] + β[x, z].

b) [, ] là phản xạ; tức là [x, x] = 0, ∀x ∈ L.

c) [, ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi;

tức là [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[x, z], y] = 0, ∀x, y, z ∈ L.

Số chiều dimF(L) của không gian véctơ L được định nghĩa là số

chiều của đại số Lie L và [, ] được gọi là tích Lie. Đại số Lie L được gọi

là đại số Lie giao hoán nếu [x, y] = 0, với mọi x, y ∈ L.

3

Nhận xét 1.1.1. Từ điều kiện (b) ta suy ra điều kiện

(b’) : [x, y] = −[y, x]. Và khi CharF 6= 2 thì (b) và (b’) tương đương.

Với K là không gian véctơ con của L, khi đó, K được gọi là đại số Lie

con của L nếu K đóng với tích Lie, tức là : ∀x, y ∈ L : [x, y] ∈ K. Với

mọi phần tử x ∈ L, x 6= 0, ta luôn có K = Fx là đại số Lie con một

chiều của L với tích Lie tầm thường : [y, y0

] = 0, ∀y, y0 ∈ K. Từ lúc này,

nếu ta nói K là một đại số con của đại số Lie L thì hiểu K là một đại

số Lie con của đại số Lie L.

Nhận xét 1.1.2. dimsl(n) = n

2 − 1.

Một cơ sở của sl(n) là {eij}i6=j ∪ {hj}

n−1

i=1 với hi = eii − ei+1,i+1.

Với n = 2 ta có sl(n) = a b

c −a



|a, b, c ∈ F



có cơ sở là :

x =



0 1

0 0

, y =



0 0

1 0

, z =



1 0

0 −1



.

Với các tích Lie : [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h.

Định nghĩa 1.1.2. Không gian véctơ con I của đại số Lie L được gọi

là một iđêan của L nếu [x, y] ∈ L, ∀x ∈ L, y ∈ I.

Định nghĩa 1.1.3.

Với L, L0

là hai đại số Lie trên trường F, một ánh xạ tuyến tính φ :

L −→ L

0 được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu: φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)], ∀x, y ∈

L. Đồng cấu φ được gọi là đơn cấu nếu Kerφ = 0, toàn cấu nếu

Imφ = L

0

, đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.

Nhận xét 1.1.3. Với φ : L −→ L

0

là một đồng cấu thì Kerφ là một

iđêan của L còn Imφ là một đại số con của L

0

. Thật vậy, với x ∈

Kerφ, y ∈ L, ta có [y, x] ∈ Kerφ vì φ([y, x]) = [φ(y), φ(x)] = 0. Và với

φ(x), φ(y) ∈ Imφ thì [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) ∈ Imφ.

Mệnh đề 1.1.4.

(1) Nếu φ : L −→ L

0

là một đồng cấu đại số Lie, khi đó L/Kerφ ∼=

Imφ. Nếu I là một iđêan của L nằm trong Kerφ, khi đó tồn tại duy

4