Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Chuyên đề ôn thi đại học môn toán hàm số đạo hàm
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
CHUÛ ÑEÀ 1: HAØM SOÁ – ÑAÏO HAØM
I. MIEÀN (TAÄP) XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}
Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh
= ( ) xAy ( ) ≥ 0xA = tgxy π+
π
≠ k
2
x ( ) = xA ( ) xBlogy ( )
⎩ ( ) ⎨
⎧
≠<
>
1xA0
0xB
( )
( ) xB
xA
y = ( ) ≠ 0xB y = t gxco x ≠ kπ ⎢
⎣
⎡ = x
x
e
a
y >∀ )0a(x
( ) n2 = xAy ( )
( ) + ∈
≥
Zn
0xA
⎢
⎣
⎡ = xarccos
xarcsin
y − ≤ ≤ 1x1 ⎢
⎣
⎡ = xln
xlog
y >∀ 0x
( ) 1n2 xAy + = ( ) + ∈
∈∀
Zn
Dx [ ] ( ) (xB ) = xAy ( ) > 0xA ( ) (
() () ⎢
⎣
⎡ ± = xgxf
xgxf
y D
) = ∩ DDD gf
II. MIEÀN (TAÄP) GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM SOÁ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}
1. Söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D
Haøm f(x) f(D): MGT Haøm f(x) f(D): MGT
( )
( ) bxf
axf
≥
≤ () ( ]
( ) [ +∞= )
−= ∞
,bDf
a,Df ( )
( ) bxfa
bxfa
<<
≤ ≤ ( ) [ ]
() ( ) b,aDf
b,aDf
=
=
2. Ñaùnh giaù bieåu thöùc baèng caùc BÑT:
[ ] ( ) ( )
( )( ) 2222
2
Bunhiacoâp .ab2 b a :Coâsi BÑT * dcbabdac :sky
ñònh. xaùc xA laøm xa, aaxA *
≥+ ++≤+
∀∀≥+
III. HAØM HÔÏP gof
[ ]() () [ ]
{ } ( )
{ } ( ) ( ) ⎢
⎣
⎡
⊂∧≠
∈∧∈ =
∈∀ = ≠
∃⇒φ=
ff gf
f gfg
fg
ofg oo
ff fgo
o ff f
DT0T,D
DT;DxfDx|x D *
fggf vaø xfgxfg:Dx *
DT * ZD:fg
ZD:gvaøTD:f haøm haicuûa hôïp haømlaø fg
o
o
o
∩
∩ 6
6 6
IV. HAØM CHAÜN – LEÛ y=f(x) ÑOÁI XÖÙNG QUA O:
( ) ()
( ) () ( ) () Dx leõ khoângchaün khoângHaøm :xfxf leõ f :Dx xfx-f
chaünf:Dx xfxf
⎥ ±≠−⇒ ∈∀
⎦
⎤
∈∀−=
∈∀=−
V. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ:
1. Phöông phaùp 1: Khöû daïng voâ ñònh
0
0
Cô sôû cuûa phöông phaùp laø laøm xuaát hieän daïng trong bieåu thöùc haøm caùc thöøa soá (x - x0), ñeå roài giaûn öôùc chính caùc thöøa soá ñoù cuûa töû
soá vaø maãu soá trong ( )
( ) xg
f x lim
→xx 0
vôùi caùc chuù yù:
• Neáu töû vaø maãu laø caùc ña thöùc, söû duïng pheùp chia ña thöùc töû vaø maãu cho (x - x0). Rieâng ôû ñaây ta duøng thuû thuaät chia Hormer.
• Neáu chæ ôû töû hoaëc maãu coù chöùa caên thöùc, ta nhaân cho töû vaø maãu moät löôïng lieân hôïp cuûa caên thöùc ñoù.
llh 33 33 llh 3 2 A B A B A B A AB B + ←⎯→ − ± ←⎯→ ± +
Neáu töû vaø maãu ñeàu coù chöùa caên thöùc, ta seõ nhaân vaøo töû vaø maãu cuøng hai löôïng lieân hôïp giao hoaùn töông öùng.
• Khoâng loaïi tröø caùc khaû naêng söû duïng nhanh caùc haèng ñaúng thöùc:
-
1
T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
2 2 3 3 2 2
44 22 n n n1 n2 n3 2 n2 n1
a b a b a b a b a b a ab b
a b a b a b a b a b a b a a b a b ... ab b −− − − −
−=− + ±=± ±+
−= + − + − = − + + ++ +
• Ñeå yù raèng vieäc bieán ñoåi sô caáp coù theå laøm daïng voâ ñònh naøy trôû thaønh daïng voâ ñònh khaùc. Chaúng haïn:
limf( )( ) x g x g öù theo 0 (daïn öï th ñoù) t
0x
× ∞ →
2. Phöông phaùp 2: Khöû daïng voâ ñònh
∞
∞
• PP1: Ñaët soá muõ lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc thaønh phaàn ôû töû vaø maãu laøm nhaân töû chung ñeå khöû voâ ñònh.
• PP
-
2
2: Duøng caùc ñònh lyù giôùi haïn töông ñöông:
( )
( ) ( ) ⎟
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛ ε++++ =ε>
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>−++⇒−∞→
++⇒+∞→ >
⇒∞→
∞→
0x lim vaø 0a vôùi;x a2
b xa~cbxax /3
x )0a(;ax~cbxax
x )0a(;ax~cbxax 2/
xa~xPx 1/
x
2
2
2
n
n n
3. Phöông phaùp 3: Khöû daïng voâ ñònh ∞ − ∞
Cô sôû cuûa phöông phaùp tìm giôùi haïn naøy laø:
1/ Söû duïng löôïng lieân hôïp.
2/ Söû duïng bieåu thöùc tieäm caän: ( ) x
a2
b xa~cbxax2 ε++++ trong ñoù: a > 0 vaø ( ) 0xlimx
=ε∞→
3/ Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc.
4/ Khoâng duøng haøm soá töông ñöông cho daïng toång.
4. Phöông phaùp 4: Giôùi haïn cuûa haøm löôïng giaùc
• TH1: Khi → 0x (x tính baèng radian)
( )
( )
( ) () () ( )
( )
( ) () ()
( )
( )
( ) ( ) ( )
ux 0 ux 0
2 2
2 ux 0
sin u x tgu x lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x
u x u x
1 cos u x 1 1 lim hay 1-cos u x ~ u x
u x 2 2
→ →
→
= =
− = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
Khoâng loaïi tröø nhaân caùc löôïng lieân hôïp löôïng giaùc.
( )( ) ( ) ( ) llh llh 1 sin u 1 sin u 1 cos u 1 cos u + ←⎯→ − + ←⎯→ −
• TH2: Khi haøm löôïng giaùc coù daïng voâ ñònh (x tính baèng rañian) → xx 0
* Ñaët:
⎩
⎨
⎧
→⇒→
+=
⇔−=
0txx
txx
xxt
0
0
0
* Khi: xx t ,xx' t 0' 0 =⇒→ 0 − →
Ghi chuù: khoâng söû duïng haøm töông ñöông cho toång soá.
5. Haøm keïp:
() () ( ) { }
( ) ( ) ( ) ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⇒ = = =
∈∀≤≤
→ → →
Lxglim Lxhlimxflim
f x g x|Vx,xhx
0
0 0
0
xx xx xx
0x
6. Haøm chöùa giaù trò tuyeät ñoái:
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
x x x x
x x x x
lim f x L lim f x L
lim f x 0 lim f x 0
→ →
→ →
⎧ = ⇒ = ⎪
⎨
⎪ = ⇒ = ⎩
7. Haøm lieân tuïc: *
( )
() ( ) ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=Δ =
∈∀∈
→Δ →
0lim hay xfxflim
Dx,Rxf
y 0x 0 xx
0 0
0
0
T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
* Lieân tuïc taïi x0: () () ( ) ( ) ( )
⎢ () ( ) ⎢
⎣
⎡
=
=
⇒==
−
+
+ −
→
→
→ → traùi tuïc lieân :xfxflim
lim f x f phaûituïclieân:x
xfxflimxflim
0 xx
0 xx
0 xx xx
0
0
0 0
8. Coâng thöùc giôùi haïn:
( )
( )
( )
( )
( )
sin x
lim 1
x 0 x
tgx lim 1
x 0 x
lim U x 0
x 0
sin U x
lim 1
x 0 U x
tgU x
lim 1
x 0 U x
1 cos x 1
lim 2 x 0 x 2
= →
= →
= →
= →
= →
− = →
x lim a
x
x lim a 0
x
x lim e
x
x a1 lim e 0
x
x
e lim
x x
x lim x.e 0
x
x lim a 0
x 0a1 x lim a
x
= +∞
→+∞
+ = →−∞
= +∞
→+∞
+ > = →−∞
= +∞
→+∞
= →−∞
+ = →+∞ < <
= +∞
→−∞
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
lim log x a x
lim log x a x 0
lim ln x
x
a1 lim ln x
x 0
ln x
lim 0
x x
lim x. ln x 0
x 0
lim log x a x 0a1
lim log x a x 0
= +∞
→+∞
= −∞ → +
= +∞
→+∞
> = −∞ → +
+ = →+∞
− = → +
= −∞ →+∞
< <
= +∞
→ −
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
* Quy taéc Lopitan: ( )
( )
( )
( ) x'g
f x' lim
xg
f x lim0 0 →xx →xx
=
VI. ÑAÏO HAØM:
( ) ( )( )
x
f xx f x lim
x
y limx'f 0 0
xx xx 0 0 0 Δ
+ −Δ = Δ
Δ = →Δ →Δ
hay: ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )
( ) () ( )
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− =
−
− =
⇒ −
− =
−
+
→
−
→
+
→
0
0
xx
0
0
xx
0
0
xx 0
xx
xfxf limx'f traùi ÑH
xx
xfxf limx'f phaûiÑH
xx
xfxf limx'f
0
0
0
0
0
⇒ f coù ñaïo haøm taïi x0 ⇔ ( ) ( ) + − = 0 0 x'fx'f . Neáu ( ) ( ) + − ≠ 0 0 x'fx'f thì f khoâng coù ñaïo haøm taïi x0.
1. Chöùng minh haøm soá lieân tuïc:
Cô sôû cuûa phöông phaùp ñeå chöùng minh moät haøm f lieân tuïc taïi x0, caàn laøm 3 böôùc:
B1: Kieåm tra ; tìm soá trò f(x ∈Dx f0 0) (1)
B2: Tìm lim f( ) Rbx xx 0
∈= →
(2)
B3: So saùnh (1) vaø (2); neáu lim f() ( ) x f bx0 xx 0
== →
, haøm f lieân tuïc taïi x = x0.
() ( )
() ( ) () () ( ) 0 0 xx xx 0 0 xx
0 0 xx
x taïi tuïc lieân f thì xfxflimxflim x phaûi beântuïc lieân f thì ,xfxflim
lim f x f thì ,x f x traùi beântuïc lieân
0 0
0
0
⇒ ==
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
+ −
−
+
→ →
→
→
Ghi chuù 1: Khoâng loaïi tröø söû duïng ba phöông phaùp sau ñaây ñeå chöùng minh haøm lieân tuïc taïi x0:
(1) PP2: f laø haøm sô caáp xaùc ñònh taïi x0 ⇒ f lieân tuïc taïi x0.
(2) PP3: lim y 0
0x
=Δ
→Δ
⇒ f lieân tuïc taïi x0.
(3) PP4: f khaû ñaïo haøm taïi x0 ⇒ f lieân tuïc taïi x0.
Ghi chuù 2: Ngoaøi ra, khi chöùng minh haøm f lieân tuïc treân moät taäp thì söû duïng caùc ñònh nghóa:
ÑN1: f lieân tuïc trong ( ) b,a f ( b;axmoïitaïi tuïc lieân ) ⇔ 0 ∈
ÑN2: f lieân tuïc treân [ ]
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇔
btaïi traùi tuïc lieân f
a taïi phaûituïc lieân f
ba; trong tuïc lieân f
b;a
2. Tìm ñaïo haøm taïi moät ñieåm:
-
3