chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

Chuyên đề 2

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ

Phương Trình Đại Số

§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn

Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau

a) x

2 − 6x + 6 > 0. b) −4x

2 + x − 2 ≥ 0.

c) x

4 − 4x

3 + 3x

2 + 8x − 10 ≤ 0. d) x

4 + x

2 + 4x − 3 ≥ 0.

Lời giải.

a) Ta có x

2 − 6x + 6 > 0 ⇔



x > 3 + √

3

x < 3 −

√

3

. Vậy tập nghiệm S =

￾

−∞; 3 −

√

3

∪

￾

3 + √

3; +∞

.

b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x

2 + x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm.

c) Bất phương trình tương đương với

x

4 + 3x

2 − 10 − 4x

3 + 8x ≤ 0 ⇔

￾

x

2 − 2

￾x

2 + 5

− 4x

￾

x

2 − 2

≤ 0

⇔

￾

x

2 − 2

￾x

2 − 4x + 5

≤ 0 ⇔ x

2 − 2 ≤ 0 ⇔ −√

2 ≤ x ≤

√

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =

−

√

2; √

2

.

d) Bất phương trình tương đương với

x

4 + 2x

2 + 1 ≥ x

2 − 4x + 4 ⇔

￾

x

2 + 1
2

≥ (x − 2)2

⇔

￾

x

2 + x − 1

￾x

2 − x + 3

≥ 0 ⇔ x

2 + x − 1 ≥ 0 ⇔

"

x ≥

−1+√

5

2

x ≤

−1−

√

5

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =



−∞;

−1−

√

5

2

i

∪

h

−1+√

5

2

; +∞



.

Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau

a) x − 2

x

2 − 9x + 8

≥ 0. b) x

2 − 3x − 2

x − 1

≥ 2x + 2.

c) x + 5

2x − 1

+

2x − 1

x + 5

> 2. d) 1

x

2 − 5x + 4

<

1

x

2 − 7x + 10

.

Lời giải.

a) Ta có bảng xét dấu

x −∞ 1 2 8 +∞

x − 2 − | − 0 + | +

x

2 − 9x + 8 + 0 − | − 0 +

VT − || + 0 − || +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞).

b) Bất phương trình tương đương với x

2 − 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2)

x − 1

≥ 0 ⇔

−x

2 − 3x

x − 1

≥ 0.

Ta có bảng xét dấu

1

www.MATHVN.com

www.

Nguyễn Minh Hiếu

x −∞ −3 0 1 +∞

−x

2 − 3x − 0 + 0 − | −

x − 1 − | − | − 0 +

VT + 0 − 0 + || −

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1).

c) Bất phương trình tương đương với (x + 5)2 + (2x − 1)2 − 2 (x + 5) (2x − 1)

(2x − 1) (x + 5) > 0 ⇔

x

2 − 12x + 36

2x

2 + 9x − 5

> 0.

Ta có bảng xét dấu

x −∞ −5

1

2

6 +∞

x

2 − 12x + 36 + | + | + 0 +

2x

2 + 9x − 5 + 0 − 0 + | +

VT + || − || + 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪

￾

1

2

; 6

∪ (6; +∞).

d) Bất phương trình tương đương với x

2 − 7x + 10 − x

2 + 5x − 4

(x

2 − 5x + 4) (x

2 − 7x + 10) < 0 ⇔

−2x + 6

(x

2 − 5x + 4) (x

2 − 7x + 10) < 0.

Ta có bảng xét dấu

x −∞ 1 2 3 4 5 +∞

−2x + 6 + | + | + 0 − | − | −

x

2 − 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | +

x

2 − 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 +

VT + || − || + 0 − || + || −

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞).

Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau

a) x

3 − 5x

2 + 5x − 1 = 0. b) x

3 − 3

√

3x

2 + 7x −

√

3 = 0.

c) x

4 − 4x

3 − x

2 + 16x − 12 = 0. d) (x − 3)3 + (2x + 3)3 = 18x

3

.

e) ￾

x

2 + 1
3

+ (1 − 3x)

3 =

￾

x

2 − 3x + 2
3

. f) (4 + x)

2 − (x − 1)3 = (1 − x)

￾

x

2 − 2x + 17

.

Lời giải.

a) Ta có x

3 − 5x

2 + 5x − 1 = 0 ⇔ (x − 1) ￾

x

2 − 4x + 1

= 0 ⇔



x = 1

x = 2 ±

√

3

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ±

√

3.

b) Ta có x

3 − 3

√

3x

2 + 7x −

√

3 = 0 ⇔

￾

x −

√

3

￾x

2 − 2

√

3x + 1

= 0 ⇔



x =

√

3

x =

√

3 ±

√

2

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x =

√

3, x =

√

3 ±

√

2.

c) Ta có x

4 − 4x

3 − x

2 + 16x − 12 = 0 ⇔ (x − 1) ￾

x

3 − 3x

2 − 4x + 12

= 0 ⇔





x = 1

x = 3

x = ±2

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2.

d) Phương trình tương đương với

(x − 3 + 2x + 3)3 − 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x

3

⇔ 9x

3 − 9x

￾

2x

2 − 3x − 9

= 0 ⇔ 9x

￾

7x

2 + 3x + 9

= 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

e) Phương trình tương đương với

￾

x

2 + 1 + 1 − 3x

3

− 3(x

2 + 1)(1 − 3x)(x

2 + 1 + 1 − 3x) = ￾

x

2 − 3x + 2
3

⇔ − 3(x

2 + 1)(1 − 3x)(x

2 − 3x + 2) = 0 ⇔





x =

1

3

x = 1

x = 2

Vậy phương trình có ba nghiệm x =

1

3

, x = 1, x = 2.

f) Phương trình tương đương với

(4 + x)

2 = (x − 1)3 − (x − 1) ￾

x

2 − 2x + 17

⇔ (4 + x)

2 = (x − 1) ￾

x

2 − 2x + 1 − x

2 + 2x − 17

= 0

⇔ x

2 + 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x

2 + 24x = 0 ⇔



x = 0

x = −24

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24.

2

www.MATHVN.com

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

Bài tập 2.4. Giải các phương trình sau

a) ￾

x

2 − 4x + 3
2

−

￾

x

2 − 6x + 5
2

= 0. b) x

4 = (2x − 5)2

.

c) x

4 + 3x

2 + 3 = 2x. d) x

4 − 4x − 1 = 0.

e) x

4 = 6x

2 − 12x + 8. f) x

4 = 2x

3 + 3x

2 − 4x + 1.

Lời giải.

a) Ta có ￾

x

2 − 4x + 3
2

−

￾

x

2 − 6x + 5
2

= 0 ⇔

￾

2x

2 − 10x + 8

(2x − 2) = 0 ⇔



x = 1

x = 4 .

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4.

b) Ta có x

4 = (2x − 5)2 ⇔

￾

x

2 + 2x − 5

￾x

2 − 2x + 5

= 0 ⇔ x = −1 ±

√

6.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±

√

6.

c) Ta có x

4 + 3x

2 + 3 = 2x ⇔

￾

x

2 + 2
2

= (x + 1)2 ⇔

￾

x

2 + x + 3
￾x

2 − x + 1

= 0.

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) Ta có x

4 − 4x − 1 = 0 ⇔

￾

x

2 + 1
2

= 2(x + 1)2 ⇔

￾

x

2 +

√

2x + 1 + √

2

￾x

2 −

√

2x + 1 −

√

2

= 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm x =

√

2 ±

p

4

√

2 − 2

2

.

e) Ta có x

4 = 6x

2 − 12x + 8 ⇔

￾

x

2 − 1

2

= (2x − 3)2 ⇔

￾

x

2 + 2x − 4

￾x

2 − 2x + 2

= 0 ⇔ x = −1 ±

√

5.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±

√

5.

f) Ta có x

4 = 2x

3 + 3x

2 − 4x + 1 ⇔

￾

x

2 − x

2

= (2x − 1)2 ⇔

￾

x

2 + x − 1

￾x

2 − 3x + 1

= 0 ⇔

"

x =

−1±

√

5

2

x =

3±

√

5

2

.

Vậy phương trình có bốn nghiệm x =

−1 ±

√

5

2

, x =

3 ±

√

5

2

.

Bài tập 2.5. Giải các phương trình sau

a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2. b) (x + 1)4 + (x + 3)4 = 16.

c) (x + 3)4 + (x − 1)4 = 82. d) x

4 + (x − 1)4 =

41

8

.

Lời giải.

a) Đặt x + 4 = t. Phương trình trở thành

(t − 1)4 + (t + 1)4 = 2 ⇔ 2t

4 + 12t

2 = 0 ⇔



t

2 = 0

t

2 = −6 (loại) ⇔ t = 0

Với t = 0 ⇒ x = −4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −4.

b) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành

(t − 1)4 + (t + 1)4 = 16 ⇔ 2t

4 + 12t

2 − 14 = 0 ⇔



t

2 = 1

t

2 = −7 (loại) ⇔ t = ±1

Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3.

c) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành

(t + 2)4 + (t − 2)4 = 16 ⇔ 2t

4 + 48t

2 − 50 = 0 ⇔



t

2 = 1

t

2 = −25 (loại) ⇔ t = ±1

Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2.

d) Đặt x −

1

2 = t. Phương trình trở thành



t +

1

2

4

+



t −

1

2

4

=

41

8

⇔ 2t

4 + 3t

2 − 5 = 0 ⇔



t

2 = 1

t

2 = −

5

2

(loại) ⇔ t = ±1

Với t = 1 ⇒ x =

3

2

; t = −1 ⇒ x = −

1

2

. Vậy phương trình có hai nghiệm x =

3

2

, x = −

1

2

.

Bài tập 2.6. Giải các phương trình sau

a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b) ￾

x

2 − 1

(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.

c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x

2

. d) ￾

x

2 − 2x + 4
￾x

2 + 3x + 4

= 14x

2

.

Lời giải.

a) Phương trình tương đương với

(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔

￾

x

2 + 5x + 4
￾x

2 + 5x + 6

= 3

Đặt x

2 + 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t(t + 2) = 3 ⇔



t = 1

t = −3

.

3

www.MA