Chuyên đề Giải phương trình nghiệm nguyên

   

∈

∈ ∈

∈

5

1999 17k

y

−

=

5

2

t

17

393

< <

−

Bµi viÕt: øng dông tÝnh chia hÕt

vµo viÖc gi¶t mét sè d¹ng to¸n ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.

Lª Träng Ch©u

Phã Trëng phßng GD&§T Léc Hµ, Hµ TÜnh

(Mail: [email protected] – 0393.650 775– 0985 997 942)

Trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ båi dìng HSG m«n to¸n ë trêng phæ th«ng t«i thÊy r»ng häc sinh cã

thÓ tiÕp thu mét c¸ch dÔ dµng c¸c phÐp tÝnh sè häc, thùc hiÖn tèt c¸c d y tÝnh c¸c phøc t¹p... Song, khi ·

gÆp mét sè bµi to¸n nghiÖm nguyªn cña mét ph¬ng tr×nh th× ®a sè häc sinh thêng " lóng tóng", nhiÒu em

cßn "nÐ tr¸nh", ng¹i tiÕp xóc. §iÒu ®ã ¶nh hëng rÊt lín ®Õn sù ph¸t triÓn t duy to¸n häc nh ; tÝnh mÒm

dÎo, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o... cña c¸c em sau nµy.

ë bµi viÕt nµy t«i xin tr×nh bµy mét sè øng dông cña tÝnh chia hÕt ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n ph¬ng

tr×nh nghiÖm nguyªn trao ®æi víi b¹n ®äc vµ c¸c bËc ®ång nghiÖp cïng c¸c em häc sinh, nh»m phôc vô

c«ng t¸c d¹y häc ngµy cµng tèt h¬n.

Khi gi¶i mét ph¬ng tr×nh cã thÓ sö dông nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i nªn ë bµi viÕt nµy t«i kh«ng ®Ò

cËp ®Õn viÖc tr×nh bµy cô thÓ mét ph¬ng ph¸p nµo mµ chØ trao ®æi qua mét sè d¹ng to¸n.

II. Mét sè d¹ng to¸n ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn

*D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn d¹ng: ax + by = c ( a,b,c z )

Bµi to¸n 1.1: Cho ph¬ng tr×nh: 17x + 30 y = 11994 (1)

a/ T×m nghiÖm nguyªn cña ( 1) b/ T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ( 1)

Híng gi¶i:

a/ T×m nghiÖm nguyªn cña (1):

DÔ thÊy 30y 6 vµ 11994 6 nªn (1) cã nghiÖm nguyªn khi vµ chØ khi 17x 6 mµ (17,6) =1 => x 6

§Æt x = 6 k (k nguyªn) khi ®ã (1) cã d¹ng ; 17 k + 5y = 1999

Z k t

k

k

k

y , t 2 5

5

2 - k

. Tiª p tôc Æt t

5

2(2 )

399 3

5

1999 17  = ∈ ⇒ = −

−

= − +

−

=> =

Tõ ®©y ta cã : x= 12 - 30 t (*)

y= 393 + 17 t (**)

Thay c¸c c«ng thøc (*) vµ (**) vµo (1) ph¬ng tr×nh ®îc nghiÖm ®óng.

VËy c¸c nghiÖm cña (1) ®îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc: x = 12 - 30 t

y = 17 t + 393 ( t z)

b/ T×m nghiÖm nguyªn d¬ng:

Ph¬ng tr×nh ( 1) cã nghiÖm nguyªn d¬ng khi vµ chØ khi 12 - 30 t > 0 vµ

17t + 393 > 0 suy ra:

V× t Z nªn t { 0; -1 ; -2.....; -22 ; - 23 } cã 24 gi¸ trÞ cña t. VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng

tr×nh (1) t¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cña t khi thay vµo c¸c c«ng thøc trªn, ph¬ng tr×nh (1) cã 24 nghiÖm

nguyªn d¬ng.

* NhËn xÐt:

1. NÕu bµi to¸n yªu cÇu t×m nghiÖm nguyªn d¬ng th× chóng ta ph¶i gi¶i c¸c ®iÒu kiÖn ë c«ng thøc

nghiÖm ®Ó giíi h¹n ph¹m vÞ x¸c ®Þnh nghiÖm.

2. ViÖc t¸ch c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña biÓu thøc cã nhiÒu c¸ch.

1

TiÕp tôc ®Æt