Chuyên đề: Bất đẳng thức AM-GM (HSG)

Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu

"Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn".

Tự nhiên mò mò thấy trang WEB của THPT Đặng Thúc

Hứa, tui thấy có thằng bạn của tui hồi học Thanh Chương

1- Thầy NPK (Phân bón tốt cho lúa)- Dạy Hoá, tui gửi

tặng các bác Tổ Toán bài viết này. Các Bác Tổ Toán có

chuyên đề nào về "Phương trình hàm", "dãy số" không thì

cho tui với. Các bác muốn tìm chuyên đề nào tui có thể

chia sẻ. Tui cũng có khá nhiều.

E.mail: [email protected]

Thân chào !

CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

I. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức

a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Định nghĩa: a b a b ≥ ⇔ − ≥ 0

•

a b

a c

b c

 ≥

 ⇒ ≥

 ≥

• a b a c b c ≥ ⇔ + ≥ +

•

a b

a c b d

c d

 ≥

 ⇒ + ≥ +

 ≥

•

1 1 a b 0

a b

≥ > ⇒ ≤

b) Một số bất đẳng thức cơ bản

• Bất đẳng thức AM-GM.

Cho n số thực không âm 1 2 , ,..., ( 2) n

a a a n ≥ ta luôn có

1 2

1 2...

n n

n

a a a

a a a

n

+ + + ≥

L

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n

a a a = = = L .

• Một vài hệ quả quan trọng: (t/c này quan trọng)

2

1 2

1 2

1 1 1 ( ) vôùi 0, 1, n i

n

a a a n a i n

a a a

 

+ + + + + + ≥ ∀ > =  ÷  

L L

2

1 2 1 2

1 1 1 vôùi 0, 1, i

n n

n

a i n

a a a a a a

+ + + ≥ ∀ > =

+ + +

L

L

• Bất đẳng thức BCS

Cho 2n số dương (n Z n ∈ ≥ , 2 ): 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n a a a b b b ta có:

Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 1