Chuyên đề bất đảng thức

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC SCHUR TRONG HÌNH HOÏC

Problem 5

The triangle ABC has unequal sides, centroid G, incenter I and orthocenter H. Show that angle GIH > 90o.

Solution

Let N be the midpoint of OH. Then IN = (IO + IH)/2, so IH = 2IN - IO (we use bold to represent vectors). G lies on the

line OH with OG = OH/3 (the Euler line), so OG = 2GN and hence IG = (2IN + IO)/3. Hence IH.IG = (4IN2 - IO2)/3.

We have the well-known results OI2 = R2 - 2rR (Euler's formula and IN = R/2 - r (Feuerbach's theorem - usually stated

as "the incircle and the nine-point circle touch" - N is the center of the nine-point circle and R/2 is the radius of the

nine-point circle).

Hence IH.IG = (R2 - 4Rr + 4r2 - R2 + 2Rr)/3 = -2r(R - 2r)/3 < 0.

If you are fluent with vector formulae for the triangle, the following solution by Mehul Srivastav is straightforward

Use vectors origin O the circumcenter. Take the vector OA to be A etc. Then G = (A + B + C)/3, H = A + B + C (Euler

line), I = (aA + bB + cC)/(a+b+c). The last formula is not so well-known, but is easy to verify. Check, for example, that

b AI.AB = c AI.AC (for that it is convenient to relocate the origin to A).

We have to show that (G-I).(H-I) < 0, or G.H + I2 - I.(G+H) < 0.

Note that since the origin is the circumcenter we have B.C = R2cos2A = R2cos2A - R2sin2A = (R2 - a2/4) - a2/4 = R2 -

a2/2. Similarly for C.A and A.B. Obviously A2 = B2 = C2 = R2. Hence 3G.H = A2 + B2 + C2 + 2A.B + 2B.C + 2C.A =

9R2 - (a2 + b2 + c2).

We have I2 = (aA + bB + cC)2/(a+b+c)2 = ( (a2 + b2 + c2)R2 + 2ab(R2 - c2/2) + 2ac(R2 - b2/2) + 2bc(R2 - a2/2) )/

(a+b+c)2 = R2 - (abc2 + ab2c + a2bc)/(a+b+c)2 = R2 - abc/(a+b+c).

(3/4)(a+b+c)I.(G+H) = (aA + bB + cC).(A + B + C) = (a+b+c)R2 + (a+b)A.B + (b+c)B.C + (c+a)C.A = 3(a+b+c)R2 -

(c2(a+b) + a2(b+c) + b2(a+c))/2.

So we wish to show that 3R2 - (a2+b2+c2)/3 + R2 -abc/(a+b+c) - 4R2 + (2/3)(a2b + b2a + ... )/(a+b+c) < 0, or (a+b+c)

(a2+b2+c2) + 3abc > 2(a2b + b2a + ... ) or a3 + b3 + c3 - (a2b + b2a + ... ) + 3abc > 0 or a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c￾a)(c-b) > 0 (*).

wlog a > b > c. So a(a-c) - b(b-c) > 0. Hence a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) > 0. Obviously c(c-a)(c-b) > 0. So (*) holds and he

nce the result.

BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R

Võ Thành Văn

Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế

*LỜI MỞ ĐẦU:

Như các bạn đã biết,bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng,tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ

với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT.Qua bài viết này,tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật để sử

dụng tốt BDT Schur,đó là kết hợp với phương pháp đổi biến .

Trước hết tôi xin nhắc lại về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến .

I-BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR:

Với các số thực dương a,b,c và bất kì ta luôn có

Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:

II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R:

Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thể đổi biến lại như sau:

Đặt

Ta có một số đẳng thức sau:

.