chứng minh bất đẳng thức bằng lượng giác hóa của hằng đẳng thức tan trong tam giác

Giáo viên: Phan Quang Sơn 5 THPT Nam Khoái Châu

NOÄI DUNG

I.CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Trong phÇn nµy t«i xin ®­îc tr×nh bµy 3 bµi to¸n ®¬n gi¶n thể hiện mối quan hệ giữa

đẳng thức lượng giác và đẳng thức đại số cã trong chương trình phổ thông, qua đó

-

tan tan tan tan tan tan A B C A B C    với mọi ABC không vuông

tan tan tan tan tan tan 1

2 2 2 2 2 2

A B B C C A

   với mọi ABC

cot cot cot cot cot cot 1 A B B C C A    với mọi ABC

2 2 2 cos cos cos 2cos cos cos 1 A B C A B C     với mọi ABC .

Sau đây chúng tôi xin đề cập đến một hướng khai thác các đẳng thức trên để đi tìm lời

giải cho các bài toán bất đẳng thức đại số .

Bài toán 1. Với

, , 0

1

x y z

xy yz zx

 



   

Khi đó luôn tồn tại ABC nào đó sao cho

+) tan , tan ,tan

2 2 2

A B C

   x y z

+) cot ,cot ,cot A x B y C z   

Chứng minh

Đặt tan ; tan ; tan

2 2 2

A B C

x y z    .Vì x y z , , 0  nên A B C , , 0;   

Từ giả thiết ta có: tan tan tan tan tan tan 1

2 2 2 2 2 2

A B B C C A

      xy yz zx

tan tan tan 1 tan tan

2 2 2 2 2

B A C C A           (*)

tan tan 1 2 2

1 tan tan tan

2 2 2

A C

C A B



 



(Vì vt(*)>0 nên vf(*)>0)

tan tan

2 2 2

    A C B  

          

, , 0;  

2 2 2

2

A B C

A C B k

A B C k A B C 





  





   

        

Suy ra A,B,C là ba góc của tam giác (ĐPCM). Việc chứng minh ý còn lại hoàn toàn

tương tự.

www.laisac.page.tl

C HỨ N G M I N H B Ấ T Đ Ẳ N G T HỨ C B À N G L Ư ỢN G GI Á C 

HÓA C Ủ A HẰ N G Đ Ẳ N G T HỨ C T A N T R ON G T A M GI Á C

Phan Quang Sơn