chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng bất đẳng thức sắp xếp lại và bất đẳng thức chebyshev

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT

ĐẲNG THỨC SẮP XẾP LẠI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV

Đào Quốc Huy - Tổ Toán – Tin

Trường THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam

Bất đẳng thức là một chuyên đề quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh

giỏi Quốc gia. Trong các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì phương pháp áp dụng

bất đẳng thức cổ điển thường xuyên được sử dụng, đã có rất nhiều bài toán chứng minh bất

đẳng thức mà lời giải đề cập đến việc sử dụng bất đẳng thức liên hệ giữa Trung bình cộng -

Trung bình nhân (AM-GM), bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức Holder, bất

đẳng thức Schur …. Trong khuôn khổ bài viết, tôi xin đề cập đến bất đẳng thức Sắp xếp lại

và một số bài tập sử dụng bất đẳng thức này. Bên cạnh đó, bài viết cũng đề cập đến một

phương pháp sử dụng bất đẳng thức Chebyshev (coi như hệ quả của bất đẳng thức Sắp xếp

lại) để đánh giá một số bất đẳng thức 3 biến dạng phân thức.

I. Bất đẳng thức Sắp xếp lại:

Giả sử 1 2 ... n a a a £ £ £ và 1 2 ... n b b b £ £ £ ( ) * nÎ¥ là hai dãy các số thực. Ta đặt

1 1 2 2

1 2 1 1

...

...

n n

n n n

A a b a b a b

B a b a b a b -

= + + +

= + + +

Gọi 1 2 ( , ,..., ) n x x x là một hoán vị của 1 2 ( , ,..., ) n b b b , đặt 1 1 2 2 ... X a x a x a x = + + + n n

Khi đó ta có bất đẳng thức sau A X B ³ ³

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các i a tất cả bằng nhau hoặc các i b tất cả bằng

nhau.

Chứng minh:

Trước hết ta chứng minh A X ³ bằng phương pháp qui nạp:

- Với n =1, kết quả là hiển nhiên.

- Giả sử bất đẳng thức đúng cho n k = , với n k = +1 ta đặt k i 1 b x + = và k j 1 x b + = .

Từ bất đẳng thức ( 1 1 )( ) 0 k i k j a a b b + + - - ³ ta thu được i j k k k j i k 1 1 1 1 a b a b a b a b + ³ + + + + + ,

như vậy trong X ta có thể thay đổi i x và k 1 x + để thu được tổng lớn hơn. Sau khi đổi ta áp

dụng giả thiết qui nạp cho k thành phần đầu tiên của tổng X và suy ra A X ³ .

Bất đẳng thức X B ³ được suy ra từ A X ³ bằng cách xét dãy 1 1 ... n n b b b - £ - £ £ - -

thay cho dãy 1 2 ... n b b b £ £ £ .

Với kí hiệu như trên, một cách ngắn gọn ta coi A là tổng các chỉ số “cùng chiều”, B

là tổng các chỉ số “đảo chiều”, còn X là tổng các chỉ số “tùy ý”. Bất đẳng thức Sắp xếp lại

cho ta: tổng cùng chiều ³ tổng tùy ý ³ tổng đảo chiều.

[email protected] sent to www.laisac.page.tl