chứng minh bất đẳng thức bằng lượng giác hóa

1

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

BẰNG LƯỢNG GIÁC HÓA

BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN

Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới

một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng

nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ

trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học

sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH.

Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?

- Từ điều kiện a b c R ab bc ca , , , 1      luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao cho

tan , tan , tan

2 2 2

A B C a b c   

- Từ điều kiện a b c R ab bc ca abc , , ,

     bao gìơ cũng tồn tại 3 góc của tam giác sao cho

a A b B c C    tan , tan , tan

- Từ điều kiện  

2 2 2 a b c R a b c bc , , , * 

     với  (0;2) Tồn tại tam giác ABC có 3

góc thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin……..

- Từ điều kiện  

2 2 2 a b c abc a b c       2 1, , , 1;1 luôn tồn tại a=cosA,b=cosB,c=cosC với

A B C    

Một số kết quả cơ bản

* Khi ta đặt

2

2 2 2 2

2 1-a A 1 tan sin ; osA= ;sin ; os

2 1 1 2 2 1 1

A a A a a A c c

a a a a

    

   

* a,b,c R

  , ab+bc+ca=1 2 2 2              1 ( )( ),1 ( )( ),1 ( )( ) a a b a c b b c b a c c a c b (1)

* a,b

2 2

1

1

1 1

ab R

a b

 

  

 

(2) Thật vậy (2) tương đương với

 

2 2 2 2 2 1 (1 )(1 ) 2        ab a b ab a b

* 2 2 2

1

, , , 1

1 1 1

a b a b c R ab bc ca

a b c

       

  

(3)

Thật vậy trước hết ta chứng minh

2 2 2 2 2

1

1 1 (1 )(1 )(1 )

a b ab

a b a b c



 

    

( ) ( ) 1

( )( )( ) ( )( )( )

a b c b c a ab

a b b c c a a b b c c a

   

 

     

(Áp dụng

kết quả (1))          a b c b c a ab ab bc ca ( ) ( ) 1 1

Vì

2 2

1

1

(1 )(1 )

ab

a b





 

đpcm

*

2 2

2 2 2

1 1 2 , , , 1

1 1 1

a b c a b c R ab bc ca

a b c

         

  

[email protected] sent to www.laisac.page.tl