Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt và bài toán elastic ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

PHÙNG TRỌNG THỰC

CHỈNH HÓA NGHIỆM CHO BÀI TOÁN

NHIỆT VÀ BÀI TOÁN ELASTIC NGƯỢC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trường ĐH Sư Phạm và ĐH

KHTN đã tận tình giảng dạy chúng em trong suốt thời gian học cao học Toán.

Đặc biệt em chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng đã rất ân cần và chu đáo

hướng dẫn em làm luận văn này.

Học Viên: Phùng Trọng Thực.

1

MỞ ĐẦU

Nội dung chính của luận văn là đưa ra sự chỉnh hóa nghiệm cho một dạng của

bài toán nhiệt hai chiều và bài toán Elastic ba chiều. Cụ thể là đưa ra một chỉnh

hóa nghiệm cho các bài toán:

Bài toán nhiệt: Cho T > 0 là độ dài của thời gian quan sát và Ω =

(0, 1) × (0, 1) là vật dẫn nhiệt. Xác định cặp hàm (u, f) thỏa mãn hệ:







ut − ∆u = ϕ (t) f (x, y),

ux (0, y, t) = ux (1, y, t) = uy (x, 0, t) = uy (x, 1, t) = 0,

u (1, y, t) = 0,

u (x, y, 0) = g (x, y),

với (x, y) ∈ Ω, t ∈ (0, T), trong đó g ∈ L

1

(Ω) và ϕ ∈ L

1

(0, T) được cho.

Bài toán Elastic: Cho T > 0 là độ dài của thời gian quan sát và Ω =

(0, 1) × (0, 1) × (0, 1) là vật thể đàn hồi đẳng hướng ba chiều. Xác định cặp

(u, f) thỏa mãn hệ:







∂

2u

∂t2

+ µ∆u + (λ + µ) ∇ (div (u)) = ϕ (f1, f2, f3), (x, t) ∈ Ω × (0, T),

(u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t)) = (0, 0, 0), (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T),

(u1 (x, 0), u2 (x, 0), u3 (x, 0)) = (g1 (x), g2 (x), g3 (x)), x ∈ Ω, 

∂u1

∂t (x, 0),

∂u2

∂t (x, 0),

∂u3

∂t (x, 0)

= (h1 (x), h2 (x), h3 (x)), x ∈ Ω,





σ1 τ12 τ13

τ21 σ2 τ23

τ31 τ32 σ3









n1

n2

n3



 =





X1

X2

X3



 ,

với λ và µ là các hằng số thỏa µ < 0, λ + 2µ < 0, σj = λdiv (u) + 2µ

∂uj

∂xj

,

2

τjk = µ(

∂uj

∂xk

+

∂uk

∂xj

) và n = (n1, n2, n3) là pháp vectơ đơn vị hướng ra ngoài

trên ∂Ω. Trong đó dữ kiện được cho là

I (ϕ, X, g, h) ∈



L

1

(0, T),



L

1

￾

0, T, L1

(∂Ω)

3

,

￾

L

2

(Ω)
3

,

￾

L

2

(Ω)
3



.

Bài toán nhiệt và bài toán Elastic như trên là những bài toán ngược, không

chỉnh. Tính không chỉnh của bài toán ở chỗ bài toán có thể không tồn tại nghiệm

hoặc nếu tồn tại duy nhất nghiệm thì nghiệm có thể không phụ thuộc liên tục

vào dữ kiện được cho.

Trong những năm gần đây, một số tác giả đã có những nghiên cứu về các bài

toán này. Chẳng hạn xem xét về sự duy nhất và ổn định nghiệm của bài toán

nhiệt trong [12], [14], [15], [16]; sự chỉnh hóa trong trường hợp nghiệm không

ổn định cho bài toán nhiệt trong [5], [6], [9]; tính duy nhất nghiệm cho bài toán

Elastic trong [8], [11] và đưa ra sự chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic hai

chiều trong [8].

Bởi vì các bài toán trên là những bài toán ngược không chỉnh nên sự chỉnh

hóa nghiệm là cần thiết. Trong [7], các tác giả Trong, Dinh, Nam đã đưa ra

một sự chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt bằng phương pháp cắt ngắn chuỗi

Fourier và sử dụng một vài kỹ thuật, chẳng hạn phương pháp nội suy để xấp xỉ

các hệ số của chuỗi cắt ngắn từ các dữ kiện nhiễu. Ưu điểm của phương pháp

này là có thể loại bỏ những giả thiết trên nghiệm về điều kiện cuối của thời

gian. Chú ý rằng trong [6], [8], [9] các tác giả cần sử dụng thông tin về điều kiện

cuối của thời gian u (x, T) trong việc chỉnh hóa nghiệm bởi vì nó giúp đưa ra

công thức biến đổi Fourier của f và từ đó khôi phục được f. Dựa vào nhận xét

phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier cũng có thể áp dụng để chỉnh hóa nghiệm

cho bài toán Elastic và giúp ta loại bỏ các giả thiết trên nghiệm về điều kiện

cuối của thời gian (điều mà trong [8] khi chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic

hai chiều các tác giả cần sử dụng đến) nên trong luận văn này sẽ đưa ra một

sự trình bày chi tiết cho phương pháp này để chỉnh hóa nghiệm của bài toán

Elastic, nhưng so với [8] luận văn có hai điểm mới sau:

• Mở rộng xem xét bài toán Elastic trên không gian 3 chiều.

• Bỏ đi các ràng buộc trên nghiệm về điều kiện cuối của thời gi

3

Luận văn bao gồm ba chương:

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số định nghĩa, các kết quả và một số kiến thức

bổ trợ sẽ được dùng đến trong các chương sau.

Chương 2. Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán nhiệt

Trong chương này trình bày về sự duy nhất nghiệm và chỉnh hóa nghiệm cho

bài toán nhiệt. Đây là sự trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [7] và qua

đó cho thấy phương pháp mà các tác giả đã sử dụng để chỉnh hóa nghiệm cho

bài toán nhiệt hai chiều.

Chương 3. Chỉnh hóa nghiệm cho bài toán Elastic

Trong chương này trình bày về sự duy nhất nghiệm và đưa ra một sự chỉnh

hóa nghiệm cho bài toán Elastic ba chiều. Trong chương 2 và 3 đều có phần giải

số để minh họa cho các kết quả thu được.