Các bài toán về số nghiệm của một số phương trình-Ôn thi vào 10(phần 3)

SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH

Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ

bản của THCS. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng. Ta nhớ lại những điều

cần thiết :

* Cho phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x1, x2

là các nghiệm của phương trình.

* Các điều kiện quan trọng :

+) x1 < 0 < x2 tương đương P < 0

+) 0 = x1 < x2 tương đương P = 0 và S > 0

+) x1 < x2 = 0 tương đương P = 0 và S < 0

+) x1 = x2 = 0 tương đương P = 0 và S = 0 hoặc là Δ = 0 và S = 0

+) 0 < x1 < x2 tương đương với Δ > 0 , P > 0 và S > 0

+) x1 < x2 < 0 tương đương Δ > 0 , P > 0 và S < 0

Sử dụng các kiến thức trên chúng ta có thể xét được số nghiệm của nhiều loại phương trình.

1. Phương trình trùng phương

ax4

+ bx2

+ c = 0 (1)

Đặt ẩn phụ t = x2

≠ 0 thì (1) sẽ trở thành

at2

+ bt + c = 0 (2)

Mỗi nghiệm t > 0 của (2) cho hai nghiệm của (1).

Nghiệm t = 0 của (2) sẽ cho một nghiệm x = 0 của (1). Tất nhiên t < 0 sẽ không cho nghiệm của

(1).

Bài toán 1 : Biện luận số nghiệm của phương trình : x4

- mx2

+ 3m - 8 = 0 (3)

Lời giải : Đặt t = x2

Δ 0 thì (3) trở thành : t2

- mt + 3m - 8 = 0 (4)

Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu các nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào dấu của các biểu

thức :

Δ = m2

- 12m + 32 ; P = 3m - 8 ; S = m

Ta lập bảng biện luận :

Bài toán 2 : Tìm m để phương trình x4

- 2mx2

+ m2

- 3 = 0 (5) có đúng ba nghiệm phân biệt.

Lời giải : Đặt t = x2

0 thì (5) trở thành : t2

- 2mt + m2

- 3 = 0 (6)

Phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (6) có nghiệm t1, t2

thỏa mãn 0 = t1 < t2 tương đương P = 0 & S > 0 hay :

2.Phương trình a(x - α)2

+ b|x - α| + c = 0 (7)

Đặt ẩn phụ t = |x - α| thì (7) cũng sẽ trở thành phương trình (2).