Các bài toán cực trị trong hình học giải tích trong không gian.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ KHÁNH XUÂN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC

GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ KHÁNH XUÂN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC

GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu

Đà Nẵng - năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan

Những nội dung đƣợc trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện

dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Ngọc Châu.

Mọi tài liệu dùng trong luận văn đều đƣợc trích dẫn rõ ràng và trung thực

tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố.

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu

hoàn toàn trách nhiệm.

Tác giả

Võ Thị Khánh Xuân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài................................................................................... 1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu........................................................ 1

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 1

4. Phƣơng pháp nghiên cứu....................................................................... 1

5. Cấu trúc luận văn .................................................................................. 2

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3

1.1. TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VECTƠ.................................................... 3

1.1.1. Góc giữa hai vectơ .......................................................................... 3

1.1.2. Định nghĩa tích vô hƣớng của hai vectơ ......................................... 3

1.1.3. Tính chất của tích vô hƣớng của hai vectơ ..................................... 3

1.1.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng ................................................ 4

1.2. TÍCH CÓ HƢỚNG CỦA HAI VECTƠ .................................................... 4

1.2.1. Định nghĩa tích có hƣớng của hai vectơ ......................................... 4

1.2.2. Tính chất của tích có hƣớng của hai vectơ ..................................... 5

1.2.3. Ứng dụng của tích có hƣớng của hai vectơ..................................... 5

1.3. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG............................................................. 5

1.3.1. Phƣơng trình mặt phẳng.................................................................. 5

1.3.2. Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng................................................ 6

1.3.3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ............................... 6

1.3.4. Góc giữa hai mặt phẳng .................................................................. 7

1.4. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG....................................................... 7

1.4.1. Phƣơng trình tham số và phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng 7

1.4.2. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng ............................................ 8

1.4.3. Một số công thức tính khoảng cách ................................................ 8

1.4.4. Một số công thức tính góc............................................................... 9

1.5. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU .................................................................. 9

1.5.1. Phƣơng trình mặt cầu ...................................................................... 9

1.5.2. Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ................................. 10

1.5.3. Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và đƣờng thẳng.............................. 10

CHƢƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐƢỜNG

THẲNG TRONG KHÔNG GIAN............................................................... 11

2.1. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƢỜNG THẲNG.................................................. 11

2.1.1. Bài toán liên quan đến diện tích tam giác ..................................... 11

2.1.2. Bài toán liên quan đến chu vi tam giác ......................................... 13

2.1.3. Bài toán liên quan đến tìm điểm thuộc đƣờng thẳng để một biểu

thức cho trƣớc đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ................................ 15

2.2. ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT MỘT ĐƢỜNG

THẲNG KHÁC............................................................................................... 18

2.2.1. Bài toán liên quan đến góc giữa hai đƣờng thẳng......................... 18

2.2.2. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng

thẳng........................................................................................................ 20

2.2.3. Bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng .......... 25

2.3. ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM THUỘC MỘT MẶT PHẲNG

CHO TRƢỚC.................................................................................................. 28

2.3.1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng

thẳng........................................................................................................ 28

2.3.2. Bài toán liên quan đến góc giữa hai đƣờng thẳng......................... 31

2.3.3. Bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng .......... 35

2.4. ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT

MẶT PHẲNG ................................................................................................. 38

2.4.1. Bài toán liên quan đến góc giữa hai đƣờng thẳng......................... 38

2.4.2. Bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng .......... 40

2.5. ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT

ĐƢỜNG THẲNG KHÁC............................................................................... 42

CHƢƠNG 3. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN MẶT

PHẲNG VÀ MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN.................................... 46

3.1. TÌM CÁC ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG ĐỂ MỘT BIỂU THỨC CHO

TRƢỚC ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT...................................... 46

3.2. MẶT PHẲNG CHỨA MỘT ĐƢỜNG THẲNG CHO TRƢỚC ............ 49

3.2.1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng ....................................................................................................... 49

3.2.2. Bài toán liên qua đến khoảng cách giữa một đƣờng thẳng và một

mặt phẳng. ............................................................................................... 52

3.2.3. Bài toán liên qua đến góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng......... 54

3.2.4. Bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng............................ 56

3.3. MẶT PHẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƢỚC.............................. 59

3.3.1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng ....................................................................................................... 59

3.3.2. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một

mặt phẳng ................................................................................................ 59

3.3.3. Bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng............................ 61

3.4. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU .................................. 62

3.4.1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm trên mặt cầu đến

một mặt phẳng......................................................................................... 62

3.4.2. Mặt cầu tiếp xúc với hai đƣờng thẳng chéo nhau ......................... 66

3.4.3. Mặt cầu tiếp xúc với một mặt phẳng............................................. 68

KẾT LUẬN.................................................................................................... 71

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hình học giải tích là bộ môn toán học nghiên cứu các đối tƣợng hình học

bằng công cụ đại số dựa trên cơ sở phƣơng pháp tọa độ. Nguồn gốc của khái

niệm tọa độ đã có từ thời Ai Cập cổ đại, tuy nhiên đến thế kỷ XVII – XVIII,

phƣơng pháp tọa độ mới thực sự phát triển mạnh mẽ. Những ngƣời có công

lớn trong việc xây dựng nên hình học giải tích là hai nhà toán học ngƣời

Pháp: Fermat và Descartes.

Cực trị trong hình học nói chung và hình học giải tích nói riêng là một

trong những chủ đề có vai trò nhất định trong chƣơng trình hình học phổ

thông. Là một giáo viên trung học phổ thông, tôi muốn tìm hiểu các vấn đề

cực trị trong hình học nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, do đó

tôi chọn đề tài cho luận văn Thạc sĩ của mình là “ Các bài toán cực trị trong

hình học giải tích trong không gian”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu các bài toán cực trị trong hình học.

- Phƣơng pháp tọa độ trong hình học giải tích và ứng dụng để giải các

bài toán cực trị.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Các bài toán cực trị trong hình học giải tích trong không gian.

- Phƣơng pháp tọa độ trong hình học giải tích trong không gian.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề tài

luận văn, đặc biệt là tài liệu về các bài toán cực trị trong hình học giải tích

trong không gian.

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập đƣợc để thực hiện đề tài.

2

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của ngƣời hƣớng dẫn.

5. Cấu trúc luận văn

Mở đầu.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chƣơng này nhắc lại một số kiến thức về hình học giải tích trong không

gian nhƣ: tích vô hƣớng, tích có hƣớng, phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng

trình mặt phẳng, phƣơng trình mặt cầu cùng các kết quả liên quan, để làm cơ

sở cho các chƣơng sau.

Chương 2: Các bài toán cực trị liên quan đến đƣờng thẳng trong không

gian.

Chƣơng này trình bày các bài toán cực trị liên quan đến đƣờng thẳng

trong không gian. Đối với mỗi bài toán đều có cách giải tƣơng ứng cùng với

các ví dụ minh họa.

Chương 3: Các bài toán cực trị liên quan đến mặt phẳng và mặt cầu

trong không gian.

Chƣơng này trình bày các bài toán cực trị liên quan đến mặt phẳng và

mặt cầu trong không gian. Đối với mỗi bài toán đều có cách giải tƣơng ứng

cùng với các ví dụ minh họa.

Kết luận

3

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chƣơng này nhắc lại một số kiến thức về hình học giải tích trong không

gian nhƣ: tích vô hƣớng, tích có hƣớng, phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng

trình mặt phẳng, phƣơng trình mặt cầu, để làm cơ sở cho các chƣơng sau. Các

chứng minh chi tiết cũng nhƣ các kết quả liên quan có thể xem trong [1], [2].

1.1. TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VECTƠ

1.1.1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ

a

và

b

khác vectơ

0

. Từ một điểm O bất kì, vẽ các vectơ

OA a 

và

OB b 

. Khi đó, góc AOB có số đo nhỏ hơn hoặc bằng



đƣợc

gọi là góc giữa hai vectơ

a

và

b

. Góc giữa

a

và

b

đƣợc kí hiệu là

a b, .

Nếu

a  0

hoặc

b  0

, ta quy ƣớc góc

a b, 

có số đo tùy ý.

1.1.2. Định nghĩa tích vô hƣớng của hai vectơ

Tích vô hƣớng của hai vectơ

a

và

b

là một số thực, kí hiệu là

ab.

, đƣợc

xác định bởi

a b a b c b . . . os a, .   

1.1.3. Tính chất của tích vô hƣớng của hai vectơ

Với ba vectơ

a , b , c

tùy ý và mọi số thực k, ta có

1/

2 2

a a 

B

A

O

b

a

4

2/

a b b a . .



(Tính chất giao hoán)

3/

ka b a kb k a b . . .      

4/

a b c a b a c . . .     

(Tính chất phân phối đối với phép cộng)

a b c a b a c . . .     

(Tính chất phân phối đối với phép trừ)

5/

a b a b . 0   

Từ các tính chất trên ta có các hệ thức sau

 

2 2 2

a b a a b b     2 .  

2 2 2

a b a a b b     2 .   

2 2 2 2

a b a b a b a b      

1.1.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

a x y z   ; ; , b x y z   '; '; '

. Khi đó

1/

a b xx yy zz . ' ' '   

;

2/

2 2 2

a x y z   

;

3/

  2 2 2 2 2 2

' ' '

os a,

' ' '

xx yy zz c b

x y z x y z

 



    a b   0, 0

;

4/

a b xx yy zz      ' ' ' 0.

1.2. TÍCH CÓ HƢỚNG CỦA HAI VECTƠ

1.2.1. Định nghĩa tích có hƣớng của hai vectơ

Tích có hƣớng của hai vectơ

u a b c   ; ; 

và

v a b c   '; '; '

là một vectơ,

kí hiệu

  u v;

 

, đƣợc xác định bằng tọa độ nhƣ sau

, ; ;

' ' ' ' ' '

b c c a a b

u v

b c c a a b

          

    bc b c ca c a ab a b ' ' ; ' ' ; ' ' .