Các bài toán cực trị dạng karamata trong lớp hàm khả vi.

B浦 GIÁO D影C VÀ ĐÀO T萎O

Đ萎I H窺CăĐÀăN允NG

HUỲNH THỊ THANH DIỆU

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ D萎NG

KARAMATA TRONG L閏P HÀM KH謂 VI

Chuyên ngành : Phươngăphápătoánăsơăcâp

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LU一NăV;NăTH萎CăSĨăKHOA H窺C

ĐàăN印ng - N<mă2015

Côngătrìnhăđược hoàn thành t衣i

Đ萎I H窺CăĐÀăN允NG

Ngườiăhư噂ng d磯n khoa h丑c: GS.TSKH. NGUYỄNăV;NăM一U

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: TS. Nguyễn Đắc Liêm

Luận văn đã đư嬰c bảo vệ trước H瓜i đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp th衣c sĩ khoa học họp t衣i Đ衣i học Đà Nẵng vào ngày 10 tháng

01 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đ衣i học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đ衣i học sư ph衣m, Đ衣i học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan

trọng trong giải tích và đại số. Có nhiều dạng toán hình học, lượng

giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi cần giải quyết các vấn đề

cực trị và tối ưu . . . Rất nhiều học sinh và sinh viên gặp khó khăn

khi phải đối mặt với vấn đề này. Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt

quan trọng trong toán học, không chỉ là đối tượng để nghiên cứu

mà còn là công cụ đắc lực trong các bài toán liên tục, lí thuyết

rời rạc, lí thuyết phương trình . . . .Trong hầu hết các cuộc thi học

sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán khu vực hay quốc tế . . . các

bài toán về bất đẳng thức cũng rất hay được đề cập và thường

thuộc loại khó và rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị

cực trị của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn

của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều

đến các tính toán ước lượng tương ứng.

Lí thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng

thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. Có rất nhiều ý tưởng và

cách tiếp cận khác nhau để giải các bài toán này. Với đề tài “ Các

bài toán cực trị dạng Karamata trong lớp hàm khả vi” tôi trình

bày một cách khái quát nhất về bất đẳng thức Karamata đồng

thời đưa ra một số dạng bài toán có thể giải bằng bất đẳng thức

Karamata.

2. Mục đích nghiên cứu

Đề tài “Các bài toán cực trị dạng Karamata trong lớp hàm khả

vi” được nghiên cứu với mục đích hệ thống hóa lại các kiến thức về

2

bất đẳng thức Karamata và các bài toán cực trị dạng Karamata

trong lớp hàm khả vi.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

− Đối tượng nghiên cứu: các tài liệu về bất đẳng thức Kara￾mata, về hàm lồi (lõm), tựa lồi (lõm) khả vi, một số bài toán cực

trị dạng Karamata trong đại số và lượng giác.

− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên

hướng dẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm

được, đồng thời sử dụng các trang wed như: diendantoanhoc.net,

math.vn,. . .

4. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức

từ đó sắp xếp trình bày một cách có hệ thống và khai thác các

ứng dụng theo đề tài đã chọn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề

tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng

thức Karamata, một số ứng dụng bất đẳng thức Karamata trong

đại số và lượng giác.

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng

học sinh giỏi ở trường Trung học Phổ thông.

3

6. Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1. Các tính chất của hàm số lồi (lõm) và tựa lồi (lõm)

khả vi.

1.1. Định nghĩa và tính chất về hàm lồi (lõm) khả vi.

1.2. Định nghĩa và tính chất của hàm số tựa lồi (lõm) khả vi.

1.3. Biểu diễn hàm lồi (lõm) và tựa lồi (lõm) khả vi.

1.4. Hàm đơn điệu liên tiếp.

Chương 2. Các bất đẳng thức dạng Karamata và một số bài

toán liên quan.

2.1. Bất đẳng thức Karamata.

2.2. Bất đẳng thức đan dấu.

2.3. Một số định lý mở rộng đối với hàm lồi.

2.4. Các định lý dạng Karamata.

2.5. Một số bài tập áp dụng.

2.6. Bài toán tương tự.

Chương 3. Các bài toán cực trị dạng Karamata trong đại số và

lượng giác.

3.1. Các bài toán cực trị trong lớp hàm đa thức.

3.2. Các bài toán cực trị trong lớp hàm lượng giác.

3.3. Các bài toán cực trị trong lớp hàm chứa căn thức.

3.1. Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit.

Kết luận

4

CHƯƠNG 1

CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LỒI (LÕM)

VÀ TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI

Chương này trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về hàm

số lồi (lõm) và tựa lồi (lõm) khả vi.

1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VỀ

HÀM LỒI (LÕM) KHẢ VI

Ta ký hiệu I (a, b) là một tập hợp có một trong bốn dạng tập

hợp sau:(a, b), [a, b),(a, b] , [a, b].

1.1.1 Định nghĩa của hàm lồi (lõm) khả vi.

Định nghĩa 1.1. Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi dưới )

trên tập I (a, b) ⊂ R nếu với mọi x1, x2 ∈ I (a, b) và với mọi cặp

số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

(αx1 + βx2) ≤ αf (x1) + βf (x2).

Nếu dấu đẳng thức trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

x1 = x2 thì ta nói hàm số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên

I (a, b).

1.1.2 Tính chất của hàm lồi (lõm) khả vi.

Tính chất 1.1. Nếu f (x) lồi (lõm) trên I (a, b) thì g (x) := cf (x)

là hàm lõm (lồi) trên I (a, b) khi c < 0 (c > 0).

Tính chất 1.2. Tổng hữu hạn của các hàm lồi trên đoạn I (a, b)

là một hàm lồi trên I (a, b).

Tính chất 1.3. Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên I (a, b) và

nếu g (x) lồi và đồng biến trên tập giá trị của f (x) thì g (f (x))

5

là hàm lồi trên I (a, b).

Tính chất 1.4. i. Nếu f (x) là hàm số liên tục và lõm trên I (a, b)

và nếu g (x) lồi và nghịch biến trên tập giá trị của f (x) thì g (f (x))

là hàm lồi trên I (a, b).

ii. Nếu f (x) là hàm số liên tục và lõm trên I (a, b) và nếu g (x)

lõm và đồng biến trên tập giá trị của f (x) thì g (f (x)) là hàm

lõm trên I (a, b).

iii. Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên I (a, b) và nếu g (x)

lõm và nghịch biến trên tập giá trị của f (x) thì g (f (x)) là hàm

lõm trên I (a, b).

Tính chất 1.5. Nếu f (x) là hàm số liên tục và đơn điệu thực

sự (đồng biến hoặc nghịch biến) trên I (a, b) và nếu g (x) là hàm

ngược của f (x) thì ta có các kết luận sau:

i. f (x) lõm, đồng biến ⇔ g (x) lồi, đồng biến,

ii. f (x) lõm, nghịch biến ⇔ g (x) lõm, nghịch biến,

iii. f (x) lồi, nghịch biến ⇔ g (x) lồi, nghịch biến.

Tính chất 1.6. Nếu f (x) là hàm số khả vi trên I (a, b) thì f (x)

là hàm lồi trên I (a, b) khi và chỉ khi f

′

(x) là hàm đơn điệu tăng

trên I (a, b).

Về sau, ta thường sử dụng các tính chất sau:

Định lý 1.1. Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I (a, b) thì f (x)

lồi (lõm) trên I (a, b) khi và chỉ khi f

′′ (x) ≥ 0 (f

′′ (x) ≤ 0) trên

I (a, b).

Định lý 1.2. Nếu f (x) lồi trên I (a, b) thì tồn tại các đạo hàm

một phía f

′

+ (x) và f

′

− (x) với mọi x ∈ (a, b) và

f

′

− (x) ≤ f

′

+ (x)

6

Định lý 1.3. Nếu f (x) lồi trên I (a, b) thì f (x) liên tục trên

(a, b).

Định lý 1.4. (Jensen). Giả sử f (x) liên tục trên đoạn [a, b]. Khi

đó điều kiện cần và đủ để hàm số f (x) lồi trên I (a, b) là



x1 + x2

2



≤

f (x1) + f (x2)

2

, ∀x1, x2 ∈ I (a, b).

Định lý 1.5. Giả sử f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a, b).

Khi đó điều kiện cần và đủ để hàm số f (x) lồi trên (a, b) là

′′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b).

1.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VỀ

HÀM TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI

1.2.1 Định nghĩa của hàm tựa lồi (lõm) khả vi.

Định nghĩa 1.2. Hàm số f (x) xác định trong (0, b) ⊂ (0, +∞)

được gọi là hàm tựa lồi trong khoảng đó, nếu

f



x1 + x2

2



≤

f (x1) + f (x2)

2

, ∀x1, x2 > 0 mà x1 + x2 ≤ b

Định nghĩa 1.3. Hàm số f (x) xác định trong (0, b) ⊂ (0, +∞)

được gọi là hàm tựa lõm trong khoảng đó, nếu

f



x1 + x2

2



≥

f (x1) + f (x2)

2

, ∀x1, x2 > 0 mà x1 + x2 ≤ b

1.2.2 Tính chất của hàm tựa lồi (lõm) khả vi.

Định lý 1.6. Giả thiết rằng hàm f (x) có đạo hàm cấp hai và lồi

trên 

0,

b

2



. Khi đó hàm số

7

f (x) =







h (x), khix ∈



0,

b

2



h (b − x), khix ∈



b

2

, b

,

sẽ là một hàm tựa lồi trong (0, b).

Định lý 1.7. Để hàm f (x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa

lồi trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây

được thỏa mãn:

i. f (x) lồi trong 

0,

b

2



,

ii. f (x) + f (b − x) ≥ 2f



b

2



, ∀x ∈



0,

b

2



.

Định lý 1.8. Để hàm f (x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa

lõm trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây

được thỏa mãn:

i. f (x) lõm trên 

0,

b

2



,

ii. f (x) + f (b − x) ≤ 2f



b

2



, ∀x ∈



0,

b

2



.

Định lý 1.9. Để hàm f (x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa

lõm trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây

được thỏa mãn:

i. f (x) lõm trên 

0,

b

2



,

ii. f (x) + f (b − x) ≤ 2f



b

2



, ∀x ∈



0,

b

2



.

1.3 BIỂU DIỄN HÀM LỒI (LÕM) VÀ TỰA

LỒI (LÕM) KHẢ VI

1.3.1 Biểu diễn hàm lồi (lõm) khả vi