Bổ đề Thue và dạng toàn phương Idoneal

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÝ TRUNG LẬP

BỔ ĐỀ THUE VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG

IDONEAL

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Ngô Thị Ngoan

THÁI NGUYÊN - NĂM 2021

i

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Mở đầu 2

Chương 1. Bổ đề Thue và dạng toàn phương hai biến 4

1.1 Luật thuận nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Dạng toàn phương hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Bổ đề Thue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Một số áp dụng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2. Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng toàn phương idoneal 25

2.1 Các điều kiện đồng dư bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Định lý biểu diễn của số nguyên idoneal và dạng toàn phương

idoneal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Biểu diễn số nguyên tố p dưới dạng toàn phương idoneal khi

D là số nguyên tố lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Biểu diễn số nguyên tố p dưới dạng toàn phương idoneal khi

D là hai lần số nguyên tố lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Biểu diễn số nguyên tố p dưới dạng toàn phương idoneal khi

D là tích của hai số nguyên tố lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 Biểu diễn số nguyên tố p dưới dạng toàn phương idoneal với

các giá trị khác của D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 43

1

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Thị Ngoan. Tác giả xin

được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của

mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình

giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công

tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các

thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A5 (khóa 2018 –

2020); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường

Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong

suốt thời gian học tập tại trường.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trường Trung học phổ thông Chợ

Đồn đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tác giả có thể hoàn thành luận

văn này.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12A5 (khóa

2018 – 2020) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học

tập, nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo

đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để

cho tác giả học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021

Tác giả

Lý Trung Lập

2

Mở đầu

Bổ đề Thue là một kết quả cơ sở trong lý thuyết đồng dư, được chứng minh

bởi nhà toán học người Nauy Axel Thue (1863 – 1922). Bổ đề được phát biểu như

sau:

Cho n là một số nguyên dương và c là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với

n. Khi đó tồn tại các số nguyên x và y khác 0 có giá trị tuyệt đối không vượt quá

√

n thỏa mãn x ≡ cy (mod n).

Mục đích của luận văn là tìm hiểu về một số ứng dụng thú vị của Bổ đề THUE

trong số học sơ cấp.

Nội dung chính của luận văn là trình bày về Bổ đề Thue và một số áp dụng

của nó. Đặc biệt là áp dụng vào việc biểu diễn một số nguyên tố p dưới dạng tổng

x

2 + Dy2

trong đó D là một số nguyên idoneal. Trên cơ sở đó có đưa ra một số

trường hợp biểu diễn số nguyên dương n tùy ý dưới dạng x

2 + Dy2

. Nội dung của

luận văn có thể sử dụng để thành lập một số dạng toán về số nguyên tố trong các

kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic của học sinh, sinh viên.

Nội dung luận văn được chia thành hai chương:

ˆ Chương 1 của luận văn trình bày về Bổ đề Thue và dạng toàn phương hai

biến.

Trình bày về kí hiệu Legendre, luật thuận nghịch bậc hai.

Trình bày khái niệm và tính chất của dạng toàn phương hai biến.

Trình bày chứng minh chi tiết cho Bổ đề Thue (Bổ đề 1.3.1); trình bày chi

tiết một hệ quả quan trọng của Bổ đề Thue (Định lý 1.3.2), định lý này cho

phép ta nhận diện một số biểu diễn của số nguyên dưới dạng của một dạng

toàn phương.

Trình bày một số áp dụng cơ bản của Bổ đề Thue, cụ thể là áp dụng của

Định lý 1.3.2 để khảo sát một số lớp những số nguyên dương n có thể biểu

diễn được dưới dạng x

2 + Dy2

, trong đó D ∈ {1, ±2, ±3, 4, 7}.