Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p - nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VŨ HỨA HẠNH NGUYÊN

BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ

ỨNG DỤNG VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT

TRÊN CÁC p – NHÓM

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12

năm 2013.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

 Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cấu trúc nhóm là một trong những cấu trúc đại số cơ bản, đóng

vai trò quan trọng không những trong toán học mà còn trong nhiều

ngành khoa học khác.

Việc kiểm tra một tập hợp cùng với một phép toán hai ngôi xác

định trên tập hợp đó lập thành một nhóm, chưa có nghĩa là đã biết về

nhóm đó. Để hiểu biết rõ về một nhóm, ta cần phải xác định nhiều

yếu tố liên quan đến nhóm đó. Lý thuyết biểu diễn nhóm là một nội

dung cơ bản của lý thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng, chẳng hạn nó

giúp hiểu rõ hơn cấu trúc của một nhóm: cụ thể, biểu diễn nhóm hữu

hạn thể hiện mỗi nhóm hữu hạn đều có ảnh đồng cấu là một nhóm

con của nhóm các ma trận khả nghịch.

Nhằm tìm hiểu biểu diễn nhóm hữu hạn cùng những ứng dụng

của nó, tôi chọn đề tài:“Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng vào

quan hệ đồng chất trên các p – nhóm” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.

- Nghiên cứu quan hệ đồng chất trên các nhóm và ứng dụng của

biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng chất trên các p – nhóm hữu hạn.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Nhóm và p – nhóm bậc thấp

- Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

- Quan hệ đồng chất trên các nhóm

- Ứng dụng của biểu diễn nhóm hữu hạn vào quan hệ đồng chất

trên các p – nhóm

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan

2

đến nội dung của luận văn, đặc biệt là các tài liệu về biểu diễn nhóm

hữu hạn, về quan hệ đồng chất trên các nhóm, và các ứng dụng của

biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng chất. Từ đó sẽ phân tích, nghiên

cứu các nội dung theo đúng mục đích của luận văn.

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn.

5. Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn được chia thành 3 chương

Chƣơng 1 – Các kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản của lý thuyết

nhóm, của đại số tuyến tính nhằm làm cơ sở cho các chương sau.

Chƣơng 2 – Biểu diễn nhóm hữu hạn

Phần đầu chương này trình bày lý thuyết biểu diễn nhóm hữu

hạn. Phần thứ hai của chương dành cho việc tính biểu diễn của các

nhóm có cấp nhỏ hơn hoặc bằng 16.

Chƣơng 3 – Ứng dụng của biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng

chất trên tập các nhóm

Chương này giới thiệu quan hệ đồng chất trên tập các nhóm cùng

những ví dụ minh họa. Phần cuối của chương trình bày một ứng dụng

của biểu diễn nhóm hữu hạn vào quan hệ đồng chất.

CHƢƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CẤU TRÚC NHÓM

1.1.1. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thƣơng

Định nghĩa 1.1. Một nhóm con A của nhóm G được gọi là một

nhóm con chuẩn tắc của G nếu và chỉ nếu

1

x ax A 



với mọi

a A 

và

x G

. Kí hiệu

A G .

3

Định nghĩa 1.2. Giả sử A là một nhóm con của nhóm G . Với mỗi

x G

, các tập hợp

xA xa a A   { : } và

Ax ax a A   { : }

được gọi tương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của A bởi x.

Định lý 1.1. Giả sử A là một nhóm con của nhóm G. Khi đó

A là chuẩn tắc

 xA Ax 

, với mọi

x G .

Định nghĩa 1.3. Giả sử A là một nhóm con của nhóm G. Tập hợp

tất cả các lớp kề trái của A trong G được gọi là tập thương của A

trên G, được kí hiệu là G/A.

Định nghĩa 1.4. Giả sử A là một nhóm con của nhóm G. Số các

lớp kề trái của A trong G được gọi là chỉ số của nhóm con A trong

nhóm G, được kí hiệu là

[ : ] G A .

Định lý 1.2 (Định lý Lagrange)

Nếu G là một nhóm hữu hạn và A là một nhóm con của G thì

| | | | . [ : ] | | . | / | G A G A A G A   .

Mệnh đề 1.1. Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G thì

i) Quy tắc cho tương ứng với cặp

( , ) xA yA

lớp kề trái

xyA

là một

ánh xạ từ G/A



G/A vào G/A.

ii) G/A cùng với phép toán hai ngôi

( , ) xA yA xyA 

là một nhóm,

gọi là nhóm thương của G trên A.

1.1.2. Nhóm con tâm, nhóm tâm hóa, nhóm con giao hoán tử

Định nghĩa 1.5. Giả sử G là một nhóm, khi đó tập con

Z G a G ax xa x G ( ) { : , }     

là một nhóm con chuẩn tắc của G,

và được gọi là tâm của nhóm G.

Mệnh đề 1.2. Cho G là một nhóm và

A Z G  ( ) . Khi đó

A G

, và

nếu G/A là cyclic thì G là một nhóm abel.

Định nghĩa 1.6. Cho G là một nhóm,

a G

. Tập con

1

( ) { : } C a x G x ax a G



  

là một nhóm con của G, được gọi là

nhóm tâm hóa của phần tử a trong nhóm G.

4

Định nghĩa 1.7. Giả sử G là một nhóm. Phần tử

1 1 [ , ] x y x y xy

 



được gọi là giao hoán tử của cặp phần tử

x y G ,  .

Nhóm con được sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử

[ , ] x y

, với

mọi

x y G , 

, kí hiệu

[ , ] G G

, là một nhóm con chuẩn tắc của G, và

được gọi là nhóm con giao hoán tử (hay nhóm dẫn xuất) của G.

Mệnh đề 1.3

i) Cho G là một nhóm. Khi đó, nhóm

G G G / [ , ]

là abel, được gọi

là nhóm abel hóa của nhóm G.

ii) Nếu

A G

và G/A là abel thì

[ , ] G G A  .

1.1.3. Nhóm tuyến tính tổng quát

Định nghĩa 1.8

Giả sử K là một trường, V là một không gian vectơ n-chiều trên K.

Kí hiệu

GL V( )

là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính của V.

Tập hợp

GL V( )

cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một

nhóm, được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên V.

Giả sử đã chọn một cơ sở của không gian vectơ V. Mỗi tự đẳng

cấu tuyến tính của V được đặt tương ứng với ma trận của nó trong

cơ sở đã chọn. Khi đó, nhóm

GL V( )

được đồng nhất với nhóm

GL n K ( , )

, trong đó

GL n K ( , )

là nhóm gồm tất cả các ma trận khả

nghịch cấp n với các phần tử trong K và phép toán là phép nhân hai

ma trận.

1.1.4. Vành nhóm

Định nghĩa 1.9. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và K là một vành.

Gọi

K G[ ]

là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thức

s s G k s  

của

các phần tử của G với các hệ số

ks

trong K. Khi đó,

K G[ ]

cùng với

hai phép toán

s s s s ( ) s G s G s G k s l s k l s

         ,

5

   ( ). s t s t s G t G s G t G k s l t k l st

        

lập thành một vành, gọi là vành nhóm của G (với hệ số trong K).

Đơn vị của

K G[ ]

là phần tử

1 1.  e

. Với mỗi

s G

bằng cách

đặt tương ứng

s s  1.

thì có thể coi

G K G  [ ]

. Rõ ràng

K G[ ]

là

một vành giao hoán nếu và chỉ nếu G là abel.

Nhóm cộng abel

K G[ ]

cùng với phép nhân vô hướng

 s s  ( ) s G s G h k s hk s

   

lập thành một K - không gian véctơ với cơ sở G.

1.2. QUAN HỆ LIÊN HỢP

Định nghĩa 1.10. Cho G là một nhóm, a, x

G

. Phần tử

1

x ax G   ,

được gọi là phần tử liên hợp với a bởi x, và kí hiệu

x 1

a x ax



 .

Mệnh đề 1.4. Cho G là một nhóm. Trên G ta xác định một quan hệ

hai ngôi R như sau:

, , :

x

      a b G a R b x G b a .

Khi đó, quan hệ R là quan hệ tương đương trên nhóm G và được

gọi là quan hệ liên hợp.

Lớp tương đương chứa phần tử a, theo quan hệ liên hợp, kí hiệu

{ : } x

C a G x G a   

còn gọi là lớp liên hợp chứa phần tử a.

Mệnh đề 1.5. Cho G là một nhóm,

 a G

, ta có

a Z G C a    ( ) { } a

.

Mệnh đề 1.6. Cho G là một nhóm hữu hạn, với mọi

a G

ta có

i)

| | [ : ( )] C G C a a G  ,

ii)

| | |[ , ]| C G G a  ,

iii)

| | | / ( )| C G Z G a 

. Nếu G không giao hoán thì

| | | / ( )| C G Z G a  .

Mệnh đề 1.7. Giả sử G là một p - nhóm hữu hạn (nghĩa là nhóm có

cấp là lũy thừa của một số nguyên tố) có cấp

n

p , | | k

C p a



, với

a G , | / ( ) | h

G Z G p  và

|[ , ] | t G G p 

. Khi đó, theo Mệnh đề

1.6 ta có

k h 

và

k t  . Nếu nhóm G không giao hoán thì

k h  .

6

Ví dụ 1.1. Xét nhóm dihedral

2 1 1

2 , | , , 3 n D a b a b e b ab a n n

        

Với trường hợp n lẻ, nhóm dihedral

D2 n

có

3

2

n 

lớp liên hợp:

{}e ,

1

{ , } a a



, …,

( 1) ( 1)

2 2 { , }

n n

a a

  

,

1

{ , , ..., } n

b ab a b

.

Với trường hợp n chẵn,

n m  2

, nhóm dihedral

D2 n

có

m  3

lớp

liên hợp:

{}e , { }m

a ,

1

{ , } a a



,…,

1 ( 1) { , } m m

a a

  

,

2

{ , 1 } j C a b j m b    ,

2 1 { , 1 } j C a b j m ab



   .

Mệnh đề 1.8. Giả sử G là một p - nhóm có cấp

n

p

với

n  1

. Khi

đó nếu

{ }e H G  

thì

H Z G e   ( ) { }

. Đặc biệt,

Z G e ( ) { }  .

1.3. CÁC NHÓM KHÔNG GIAO HOÁN CÓ CẤP n, n  16

Có 8 nhóm không giao hoán có cấp nhỏ hơn 16

1.3.1. Nhóm không giao hoán cấp 6

3 2 1 1

6 , | , { | 0 2, 0 1} s t D a b a b e b ab a a b s t             

1.3.2. Các nhóm không giao hoán cấp 8

4 2 1 1

8 , | , { | 0 3, 0 1} s t D a b a b e b ab a a b s t              4 2 2 1 1

8 , | , , { | 0 3, 0 1} s t Q a b a e a b b ab a a b s t             

1.3.3. Nhóm không giao hoán cấp 10

5 2 1 1

10 , | , { | 0 4, 0 1} s t D a b a b e b ab a a b s t             

1.3.4. Các nhóm không giao hoán cấp 12

6 2 1 1

12 , | , { | 0 5, 0 1} s t D a b a b e b ab a a b s t              2 2 3 A a b c a b e c e ab ba ac cb bc cba abc ca 4           , , | , , , , ,

{ | 0 2, 0 , 1} h t s      c b a h t s C3



C4

4 3 2 2        a b a e b e ba ab b a ab , | , , ,

{ | 0 3, 0 2} s t      a b s t

1.3.5. Các nhóm không giao hoán cấp 14

7 2 1 1

14 , | , { | 0 6, 0 1} s t D a b a b e b ab a a b s t             

Có 9 nhóm không giao hoán cấp 16

1.3.6. Các nhóm không giao hoán cấp 16

4 2 2 1 5

16 , , | , , { | 0 3, 0 , 1} s t h M a b c a c b c e b ab a a b c s t h             

7

8 2 1 1

16 , | , { | 0 7, 0 1} s t D a b a b e b ab a a b s t              8 4 2 1 1

16 , | , , { | 0 7, 0 1} s t Q a b a e a b b ab a a b s t              8 2 1 3

16 , | , { | 0 7, 0 1} s t S a b a b e b ab a a b s t 

           4 2 2 1 D C a b c a b c a c b c e b ab ac 8 4 , , | [ , ] [ , ] , 

         

{ | 0 3, 0 , 1} s t h      a b c s t h 4 2 2 1 1 D C a b c a b c a c b c e b ab a 8 2 , , | [ , ] [ , ] ,            

{ | 0 3, 0 , 1} s t h      a b c s t h 4 2 2 2 1 1 Q C a b c a c a c b c e a b b ab a 8 2 , , | [ , ] [ , ] , ,            

{ | 0 3, 0 , 1} s t h      a b c s t h 4 2 2 1 ( ) , , | , , , C a b c a e b c c e b ab ac 1



      

{ | 0 3, 0 , 1} s t h      a b c s t h 2 2 4 1 2 ( ) , , | [ , ] [ , ] , C a b c a b c a c b c e b ab ac 2



        

{ | 0 , 1, 0 3} s t h      a b c s t h

1.4. LỚP LIÊN HỢP CỦA CÁC NHÓM KHÔNG GIAO HOÁN

CÓ CẤP n, n  16

Lớp liên hợp của các nhóm

D2n

, với

n  3, 4, 5, 6, 7

đã được

xác định trong Ví dụ 1.1.

Mệnh đề 1.10. Nhóm

Q8

có 5 lớp liên hợp là

2 3 { }, { }, { , } e a a a ,

2

{ , } b a b ,

3

{ , } ab a b .

Mệnh đề 1.11. Nhóm

A4 có 4 lớp liên hợp là

{}e , { , , } a b ba ,

{ , , , } c ca cb cba 2 2 2 2 { , , , } c c a c b c ba .

Mệnh đề 1.12. Nhóm

C3



C4

có 6 lớp liên hợp là

2

{ }, { } e a ,

2

{ , } b b ,

2 2 2 2 3 3 3 2 { , }, { , , }, { , , } a b a b a ab ab a a b a b .

Mệnh đề 1.13

1. Nhóm

Q16

có 7 lớp liên hợp là

4 7 { }, { }, { , } e a a a ,

2 6 { , } a a ,

3 5 { , } a a ,

2 4 6 { , , , } b a b a b a b ,

3 5 7 { , , , } ab a b a b a b .

2. Nhóm

S16

có 7 lớp liên hợp là

4 3 2 6 { }, { }, { , }, { , } e a a a a a ,

5 7 { , } a a ,

2 4 6 { , , , } b a b a b a b ,

3 5 7 { , , , } ab a b a b a b .

8

3. Nhóm

M16

có 10 lớp liên hợp là

{}e , {}c ,

2 2 { }, { } a a c ,

{ , } a ac ,

3 3 2 2 3 3 { , },{ , },{ , }, { , }, { , } a a c b bc a b a bc ab abc a b a bc .

4. Nhóm

D C 8 4 

có 10 lớp liên hợp là

{}e , {}c ,

2 2 { }, { } a a c ,{ , } a ac ,

3 3 { , } a a c ,

2 2 3 3 { , },{ , },{ , },{ , } b bc a b a bc ab abc a b a bc .

5. Nhóm

D C 8 2 

có 10 lớp liên hợp là

{}e ,

2

{ }, { } c a ,

2

{ } a c ,

3

{ , } a a ,

2 3 2 3 3 { , }, { , }, { , }, { , }, { , } b a b ab a b bc a bc ac a c abc a bc .

6. Nhóm

Q C 8 2 

có 10 lớp liên hợp là

{}e ,

2 2 { }, { }, { } c a a c ,

3

{ , } a a ,

2 3 2 3 3 { , }, { , }, { , }, { , }, { , } b a b ab a b bc a bc ac a c abc a bc .

7. Nhóm

( ) C1

có 10 lớp liên hợp là

{}e , {}c ,

2 2 { }, { } a a c , { , } a ac ,

3 3 2 2 3 3 { , }, { , }, { , }, { , }, { , } a a c b bc a b a bc ab abc a b a bc .

8. Nhóm

( ) C2

có 10 lớp liên hợp là

{}e ,

2

{ } c ,

3

{ }, { } c c ,

2

{ , } a ac ,

3 2 3 2 3 { , }, { , }, { , }, { , }, { , } ac ac b bc bc bc ab abc abc abc .

1.5. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ MÔĐUN

1.5.1. Môđun đơn

Định nghĩa 1.11. Cho R là một vành có đơn vị. R - môđun M

được gọi là đơn (hay bất khả quy) nếu

M  0

và nó chỉ có hai R -

môđun con là 0 và M.

1.5.2. Tổng trực tiếp của họ môđun

Định nghĩa 1.12. Cho R là một vành có đơn vị.

Giả sử

Mi

là một R - môđun,

 i I

. Trên tập tích

i i I 

M

ta

định nghĩa hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau

( ) ( ) ( ) x y x y i i I i i I i i i I       , a x ax ( ) ( ) i i I i i I    ,

với

, , x y M a R i i i   .

Tập

i i I 

M

cùng với hai phép toán nói trên lập thành một R -

môđun, được gọi là tích trực tiếp của họ môđun

{ } Mi i I  .

Kí hiệu

i I i  M

là tập con của

i i I 

M

gồm các dãy

( ) xi i I 

(với

x M i i 

) có giá hữu hạn, khi đó

i I i  M

là một R - môđun con