Nhóm và biểu diễn pptx

J.L. Alperin with Rowen B.Bell

NHÓM VÀ BIỂU DIỄN

Người dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường

Hiệu đính: TS. Lê Minh Hà

Springger

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Nhắc lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Tác động nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Cấu trúc cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Nhóm con parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6. Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Cấu trúc địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1. Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2. p-nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3. Định lí Schur-Zhassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4. Cấu trúc chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10. Chuỗi hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11. Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5. Đại số nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

12. Môđun và biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

13. Lý thuyết Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6. Biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

14. Đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

15. Bảng đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

16. Cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4 MỤC LỤC

Chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà

1 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm

Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm

và giới thiệu các công cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại. Phần 1

chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả sử rằng người đọc đã quen thuộc từ

một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong

chương này được lược bỏ. Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan

trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có

thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm. Phần 3 đề cập

đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tôi trình bày cả những ứng dụng cơ bản

và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau.

1. Nhắc lại

Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập không rỗng G và một phép toán

hai ngôi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau:

• Phép toán hai ngôi có tính kết hợp: (xy)z = x(yz) với mọi x,y,z ∈ G.

• Tồn tại duy nhất phần tử 1 ∈ G, gọi là phần tử đơn vị của G, sao cho x1 = x

và 1x = x với mọi x ∈ G.

• Với mọi x ∈ G có duy nhất một phần tử x

−1 ∈ G, gọi là phần tử nghịch đảo

của x, với tính chất xx−1 = 1 và x

−1x = 1.

Tính chất kết hợp cho phép chúng ta dễ dàng định nghĩa tích của một số hữu

hạn bất kỳ các phần tử của một nhóm. Trật tự các phần tử trong một tích là

rất quan trọng, chẳng hạn nếu x,y là hai phần tử của nhóm G thì không nhất

thiết phải có xy = yx. Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x

và y giao hoán. Thông thường, ta định nghĩa giao hoán tử của x và y là phần tử

[x,y] = xyx−1y

−1

, khi đó x và y giao hoán nếu và chỉ nếu [x,y] = 1. (Nhiều tác

giả định nghĩa [x,y] = x

−1y

−1xy.) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất

cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử

trong một tích là không qua trọng; trái lại, chúng ta nói rằng G là không abel. Phép

toán trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các

phần tử x và y được viết thành x + y thay vì xy, nghịch đảo của x được kí hiệu bởi

−x, và phần tử đơn vị kí hiệu là 0.

Nếu x là một phân tử của một nhóm G thì với n ∈ N chúng ta sử dụng x

n

(tương

6 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM

ứng, x

−n

) để chỉ tích x · · · x (tương ứng, x

−1

· · · x

−1

) gồm n số hạng. Chúng ta

cũng định nghĩa x

0 = 1. (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng

ta viết nx thay vì x

n với n ∈ Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thường

cho các lũy thừa cũng được thỏa mãn. Chúng ta nói rằng x có cấp hữu hạn nếu tồn

tại n ∈ N sao cho x

n = 1. Nếu x có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấp của x

là số nguyên dương nhỏ nhất n mà x

n = 1. Rõ ràng là, x có cấp n nếu và chỉ nếu

1,x,x2

,...,xn−1

là các phần tử phân biệt của G và x

n = 1.

Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, trái

lại nó là vô hạn. Chúng ta định nghĩa cấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là |G|, là

số các phần tử của G; chúng ta cũng có thể sử dụng |S| cho bản số của một tập hữu

hạn S bất kỳ. Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tại

các nhóm vô hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hoàn.

Tuy nhiên, có các nhóm vô hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấp

hữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là không xoắn.

Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu nó tạo thành một

nhóm với phép tính hai ngôi trên G được hạn chế trên H. Tương tự vậy, H ⊆ G là

một nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

• Phần tử đơn vị 1 của G nằm trong H.

• Nếu x,y ∈ G thì tích xy trong G cũng ∈ H.

• Nếu x ∈ H thì nghịch đảo của nó x

−1 ∈ H.

Rõ ràng, G là một nhóm con của chính nó. Tập {1} cũng là một nhóm con của G;

nó được gọi là nhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi 1.

Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vô hạn luôn

luôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường

của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng

một nhóm không abel luôn luôn có cả các nhóm con abel và không abel. Nếu H là

một nhóm con của G thì chúng ta viết H 6 G; nếu H được chứa thực sự trong G

thì chúng ta gọi H là nhóm con thực sự của G, và chúng ta có thể viết H < G. (Sự

khác biệt về kí hiệu này là chung nhưng không phổ biến.) Nếu K 6 H và H 6 G

thì hiển nhiên K 6 H.

Mệnh đề 1. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng

H ∩ K cũng vậy. Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của một

nhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó.

Định lí dưới đây đưa ra thông tin quan trọng về bản chất của các nhóm con của

một nhóm hữu hạn.

Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà

1. NHẮC LẠI 7

Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6 G. Khi đó |H| chia hết

|G|.

Nếu X là một tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa < X > là giao

của tất cả các nhóm con của G chứa X. Theo Mệnh đề 1, X là một nhóm con của

G, mà chúng ta gọi là nhóm con của G sinh bởi X. Chúng ta thấy rằng < X > là

nhóm con nhỏ nhất của G mà chứa X, theo nghĩa nó được chứa trong một nhóm

con như thế bất kì; do vậy nếu X 6 G thì < X >= X. Nếu X = {x} thì chúng

ta viết < x > thay vì < X >; tương tự thế, nếu X = {x1,...,xn} thì chúng ta viết

< x1,...,xn > thay cho < X >.

Mệnh đề 2. Cho X là một tập con của một nhóm G. Khi đó < X > chứa đơn vị

và tất cả các tích dạng x

ε1

1

· · · x

εr

r

, ở đó r ∈ N,xi ∈ X và εi = ±1 với mọi i.

Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G =< g > với g ∈ G; phần tử g được gọi là

một phần tử sinh của G. Ví dụ, nếu G là một nhóm cấp n có một phần tử g cấp

n thì G =< g > và g,...,gn−1

,gn = 1 là các phần tử phân biệt của G. Theo Mệnh

đề 2, < g >= {g

n

|n ∈ Z} và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic

là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lối

cộng. Nếu g có cấp n thì < g >= {1,g,...,gn−1}, và do đó | < g > | = n. Nếu g

không có cấp hữu hạn thì < g > là một nhóm abel vô hạn không xoắn. Hai nhóm

xyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chính

xác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vô hạn bất kì cũng tương đương với

cùng nghĩa như vậy. Nhóm xyclic vô hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phép

cộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấp n là Z/nZ, tập các lớp còn lại của các số

nguyên với phép cộng modulo n.

Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g ∈ G có cấp n. Ta có < g > là một

nhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết |G|. Do vậy,

cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó. Vì thế, nếu

|G| bằng một số nguyên tố p nào đó thì cấp của mọi phần tử của G phải là một ước

không tầm thường của p, từ đó G là xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là một

phần tử sinh.

Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của

X và Y trong G là XY = {xy|x ∈ X,y ∈ Y } ⊆ G. Chúng ta có thể mở rộng khái

niệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con của G. Chúng ta cũng có thể định nghĩa

nghịch đảo của X ⊆ G bởi X−1 = {x

−1

|x ∈ X} ⊆ G. Nếu H là một tập con của G

thì H 6 G nếu và chỉ nếu HH = H và H−1 = H.

Mệnh đề 3. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Khi đó HK là một

nhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH.

8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM

Nhận thấy rằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HK

chứa cả H và K; hơn nữa, nếu K 6 H thì HK = H. (Các tính chất này không thỏa

mãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK = KH với

các nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một

nhóm abel là một nhóm con.

Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn.

Định lí 4. Cho G =< g > là một nhóm xyclic cấp n. Khi đó:

(i) Với mọi ước d của n, tồn tại đúng một nhóm con của G cấp d, đó là < g

n

d >.

(ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhóm

con cấp gcd(d,e).

(iii) Nếu d và e là các ước của n thì tích của các nhóm con cấp d và e là nhóm con

cấp lcm(d,e).

Nếu H 6 G thì chúng ta viết xH thay vì {x}H, tập xH được gọi là một lớp kề

trái của H trong G. Tương tự, chúng ta viết Hx thay vì H{x}, và chúng ta gọi Hx

là một lớp kề trái của H trong G. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kề

trái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái". Cách

sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta không phải là bản chất, vì

bất kỳ một phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải. Nhiều giáo

trình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái. Tồn tại một tương

ứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề trái xH

thành nghịch đảo của nó (xH−1

) = Hx−1

.

Cho H là một nhóm con của G. Hai lớp kề bất kỳ của H trong G hoặc là bằng

hoặc là rời nhau, với các lớp kề xH và yH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y

−1x ∈ H.

Do đó, một phần tử x ∈ G nằm chính xác trong một lớp kề của H, đó là xH. Với

mọi x ∈ G, tồn tại một tương ứng song ánh giữa H và xH; một sự tương ứng như

vậy biến h ∈ H thành xh. Chúng ta định nghĩa chỉ số của H trong G, được ký hiệu

bởi |G : H|, là số các lớp kề của H trong G. (Nếu tồn tại một số vô hạn các lớp kề

của H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa |G : H| là bản số của nó mà không

làm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta có

thể định nghĩa lại G như là bản số |G : 1|.) Các lớp kề của H trong G chia G thành

|G : H| tập rời nhau với bản số |H| và do đó |G| = |G : H||H|. (Điều này chứng

minh cho định lý Lagrange; tuy nhiên, ta có thể chứng minh định lý Lagrange mà

không cần sử dụng đến các lớp kề mà bằng cách sử dụng một lập luận tính toán

đơn giản.) Thực tế, tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn có chỉ số hữu hạn,

trong khi các nhóm con của một nhóm vô hạn có thể có chỉ số vô hạn hoặc hữu hạn.

Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà

1. NHẮC LẠI 9

Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trong G bởi G/H.

Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô tả hoàn chỉnh về các nhóm con của các

nhóm xyclic vô hạn. Chúng tôi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho

sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn.

Định lí 5. Cho G =< g > là một nhóm xyclic vô hạn. Khi đó:

1. Với mỗi d ∈ N, có chính xác một nhóm con của G chỉ số d, < gd >. Hơn nữa,

mọi nhóm con không tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn.

2. Cho d,e ∈ N. Khi đó giao của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số

lcm(d,e).

3. Cho d,e ∈ N. Khi đó tích của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số

gcd(d,e).

Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phép

phân tích thành nhân tử của các chỉ số".

Định lí 6. Nếu K 6 H 6 G thì |G : K| = |G : H||H : K|.

Cho H là một nhóm con của một nhóm G và cho I là một tập chỉ số tương ứng

song ánh với tập các lớp kề của H trong G. Một tập con T = {ti

|i ∈ I} được gọi

là lớp ngang (trái) của H (hoặc một tập các biểu diễn lớp kề (trái) của H trong G)

nếu các tập tiH là các lớp kề của H trong G sao cho không có một lớp nào bị lược

bỏ hoặc bị lặp lại.

Cho N là một nhóm con của một nhóm G. Ta nói rằng N là nhóm con chuẩn

tắc của G (hay N là chuẩn tắc trong G) nếu xN = Nx với mọi x ∈ G, hay tương

đương với xNx−1 ⊆ N với mọi x ∈ G. Nếu G là abel thì mọi nhóm con của G đều là

chuẩn tắc. Các nhóm con 1 và G luôn là chuẩn tắc trong G; nếu G chỉ có hai nhóm

con chuẩn tắc này thì ta nói G là đơn. Chẳng hạn, một nhóm xyclic cấp nguyên tố

là đơn. (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi là

đơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N E G; nếu N là nhóm con

thức sự của vừa là chuẩn tắc trong G thì ta viết N C G. (Lưu ý rằng, nhiều tác giả

không phân biệt điều này và chỉ viết N C G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.)

Nếu N E G và K E H thì chưa chắc K E G, chúng ta không đưa ra một phản ví

dụ lúc này. Tuy nhiên, rõ ràng nếu K E G và K 6 H 6 G thì K 6 G.

Mệnh đề 7. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Nếu K E G thì

HK 6 G và H ∩ K E H; hơn nữa, nếu H E G thì HK E G và H ∩ K E G.

10 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM

Mệnh đề 8. Mọi nhóm con chỉ chỉ số 2 đều là chuẩn tắc.

Chứng minh. Cho H 6 G và giả sử rằng |G : H| = 2. Khi đó có hai lớp kề trái của

H trong G; một lớp là H và do vậy lớp kia phải là G − H. Tương tự, H và G − H

là hai lớp kề phải của của H trong G. Từ đó, x ∈ H khi và chỉ khi xH = H = Hx

và x /∈ H khi và chỉ khi xH = G − H = Hx. Vậy H E G.

Các nhóm con chuẩn tắc quan trọng vì chúng giúp ta tạo ra nhóm mới từ nhóm

cũ theo cách sau:

Định lí 9. Nếu N E G thì tập các lớp kề G/N tạo nên một nhóm với phép toán

xác định bởi (xN)(yN) = (xy)N.

Nếu N E G thì chúng ta gọi G/N với phép toán trên là nhóm thương của G bởi

N. Khi đó phân tử đơn vị của G/N là N và phần tử nghịch đảo của xN ∈ G/N là

x

−1N. Nếu G là abel thì G/N cũng là abel.

Cho x và g là các phần tử của một nhóm G. Khi đó liên hợp của x bởi g được

định nghĩa là phần tử gxg−1

của G. (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp của x bởi

g là g

−1xg. Các kí hiệu gx và x

g đôi khi được sử dụng thay cho gxg−1 và g

−1xg.)

Hai phần tử phần x và y của G được gọi là liên hợp nếu tồn tại một phần tử g ∈ G

sao cho y = gxg−1

. Hai phần tử phân biệt của một nhóm abel đều liên hợp. Một

nhóm con N của G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi liên hợp của một phần tử của

N bởi một phần tử của G đều nằm trong N.

Cho X là một tập. Một hoán vị của X là một song ánh từ X đến X. Tập

các hoán vị của X, kí hiệu P

X, tạo thành một nhóm với phép hợp thành của các

ánh xạ. Nếu X = {1,...,n} với n ∈ N thì nhóm này đợc gọi là nhóm đối xứng bậc

n và được kí hiệu là P

n

. (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm này là Sn hoặc Sn.) Nhóm

P

X là hữu hạn và có cấp n! = n(n − 1)· · · 2 · 1.

Một phần tử ρ của P

n

được gọi là một xích có độ dài r (hay r-xích) nếu

có các số nguyên phân biệt 1 ≤ a1,...,ar ≤ n sao cho ρ(ai) = (ai+1) với mọi

1 ≤ i < r,ρ(ar ) = a1 và ρ(b) = b với mọi 1 ≤ b ≤ n mà b khác các ai

. Xích ρ xác

định như trên còn được viết là ρ = (a1 · · · ar). Dĩ nhiên, việc kí hiệu này có thể được

viết theo r cách khác nhau; chẳng hạn, (1 2 4),(2 4 1) và (4 2 1) đều là kí hiệu của

cùng một 3-xích trong P

4

. Xích ρ xác định như trên cũng được gọi là di chuyển

mỗi ai và cố định mọi số khác. Hai xích được gọi là rời nhau nếu không có số nào

bị di chuyển bởi cả hai xích đó. Tích của hai xích (a1 · · · ar) và (b1 · · · bs) được viết

là (a1 · · · ar)(b1 · · · bs); nếu ai = bj thì tích này biến bj−1 thành ai+1. (Chúng ta tính

từ "phải sang trái" trong cách viết này vì chúng ta luôn coi các xích như các hàm

Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà

1. NHẮC LẠI 11

trên tập {1,...,n}, và do đó tích của hai xích tương ứng với tích của hai ánh xạ, mà

đối với tích hai ánh xạ ta thường tính từ phải sang trái. Trong nhiều giáo trình về

lí thuyết nhóm tích hai xích được tính từ trái sang phải.)

Mọi phần tử của P

n

có thể viết như tích của các xích rời nhau; sự phân tích như

vậy được gọi là sự phân tích thành các xích rời nhau của các hoán vị. Hai sự phân

tích thành các xích rời nhau bất kì của cùng một hoán vị luôn có cùng các xích, tuy

nhiên thứ tự của chúng có thể khác nhau. Do đó chúng ta có thể đặt tương ứng một

tập số các số nguyên dương có tổng bằng n với mỗi phần tử của P

n

theo cách các

số hạng trong tổng bằng n là chiều dài của các xích xuất hiện trong sự phân tích

thành các xích rời nhau của ρ và được gọi là cấu trúc xích của ρ. Chẳng hạn cấu

trúc xích của một r-xích trong P

n

là (r, 1,..., 1), có n − r số 1; cấu trúc xích của

(1 2 4)(3 5) trong P

6

là (3, 2, 1). Chúng ta thường bỏ qua các 1-xích khi viết một

hoán vị thành tích các xích rời nhau. Chúng ta cũng thường sử dụng 1 để kí hiệu

cho phần tử đơn vị của P

n

, sự phân tích thành các xích rời nhau của nó chỉ bao

gồm các 1-xích.

Mệnh đề 10. Cho n ∈ N. Khi đó hai phần tử của P

n

liên hợp với nhau nếu và

chỉ nếu chúng có cùng cấu trúc xích.

Xem chứng minh [24, trang 46-7].

Một chuyển vị trong P

n

là một 2-xích. Mọi phần tử của P

n

đều có thể thành

tích của các chuyển vị (không nhất thiết rời nhau) theo nhiều cách khác nhau. Tuy

nhiên, ta có thể chứng minh được rằng hai sự phân tích như vậy của cùng một hoán

vị phải có cùng số chuyển vị theo modulo 2. (Xem [24, trang 8-9].) Do vậy chúng

ta có thể nói một hoán vị là chẵn (tương ứng, lẻ) nếu nó có thể được viết thành

tích của một số chẵn (tương ứng, lẻ) các chuyển vị, một hoán vị có thể chẵn hoặc lẻ

nhưng không thể vừa chẵn vừa lẻ. Chẳng hạn, vì một r-xích có thể viết thành tích

của r − 1 chuyển vị nên một xích là một hoán vị chẵn nếu và chỉ nếu độ dài của

nó là lẻ. Tập con của P

n

bao gồm tất cả các hoán vị chẵn là một nhóm con chỉ số

2, và do đó nó là chuẩn tắc trong P

n

, theo Mệnh đề 8; nó được gọi là nhóm thay

phiên bậc n và kí hiệu là An.

Xét H = {1,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} ⊆ A4. Ta có thể chỉ ra rằng H E A4.

(Thực ra, H là chuẩn tắc trong P

4

. Nhóm H này, theo lịch sử tìm ra nó, có tên

là bốn-nhóm Klein.) Cho K = {1,(1 2)(3 4)}. Khi đó K là nhóm con của H với

|H : K| = |H|/|K| = 4/2 = 2 và do đó K E H theo Mệnh đề 8. Tuy nhiên, bằng

cách lấy liên hợp (1 2)(3 4) bởi hoán vị chẵn (1 2 3) ta thấy rằng K không chuẩn

tắc trong A4. Đây là phản ví dụ cho khẳng định ở trang 8.

12 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM

Cho G và H là các nhóm. Một đồng cấu là một ánh xạ ϕ : G → H với tính

chất ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi x,y ∈ G; nghĩa là, một đồng cấu là một ánh xạ giữa

các nhóm mà nó bảo tồn các cấu trúc nhóm tương ứng. Nếu ϕ là một đồng cấu thì

ϕ(1) = 1 và ϕ(x

−1

) = ϕ(x)

−1 với mọi x. Đồng cấu tầm thường từ G vào H là ánh

xạ biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của H. Nếu đồng cấu ϕ là đơn

ánh thì chúng ta gọi ϕ là đơn cấu, nếu ϕ là toàn ánh thì chúng ta gọi ϕ là toàn

cấu và chúng ta nói ϕ là đẳng cấu nếu ϕ là song ánh. (Nhắc lại rằng, một ánh xạ

f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x

0

) thì suy ra x = x

0

, gọi là toàn ánh

nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X để f(x) = y; và gọi là song ánh nếu nó vừa là

đơn ánh, vừa là toàn ánh.) Nếu ϕ là một đẳng cấu thì ϕ

−1

: H → G cũng vậy. Một

đồng cấu ϕ : G → G được gọi là một tự đồng cấu của G; một tự đồng cấu song ánh

được gọi là tự đẳng cấu.

Nếu G và H là các nhóm và có một đẳng cấu ϕ : G → H thì chúng ta nói rằng

G và H là đẳng cấu, hay G đẳng cấu với Hvà viết là G ∼= H. Đẳng cấu là một quan

hệ tương đương giữa các nhóm; tức là, nó phản xạ (G ∼= G), đối xứng (G ∼= H suy

ra H ∼= G) và bắc cầu (G ∼= H và H ∼= K suy ra G ∼= K.) Do đó, chúng ta có thể

nói "lớp đẳng cấu" mà một nhóm cho trước thuộc vào lớp này. Các nhóm đẳng cấu

được coi là hoàn toàn đồng nhất theo nghĩa bất kì phát biểu nào về một nhóm là

đúng (sau khi đưa ra các phép đồng nhất thích hợp) nó cũng đúng cho bất kì nhóm

nào đẳng cấu với nhóm đó. Nếu chúng ta nói rằng một nhóm có các tính chất nhất

định là "đơn nhất" thì chúng ta thường hàm ý rằng nó là "đơn nhất đến đẳng cấu",

theo đó chúng ta hàm ý rằng hai nhóm có các tính chất xác định đó là đẳng cấu.

Bây giờ, chúng ta xét một vài ví dụ cơ bản.

• Cho G =< g > và H =< h > là hai nhóm xyclic cấp n. Chúng ta định nghĩa

một ánh xạ ϕ : G → H bằng cách đặt ϕ(g

a

) = h

a với mọi 0 ≤ a < n. Ánh xạ

này là một đẳng cấu. Do vậy, bất kì hai nhóm xyclic hữu hạn nào có cùng cấp

đều đẳng cấu. Đặc biệt, mọi nhóm xyclic cấp n đều đẳng cấu với Z/nZ và có

duy nhất một nhóm cấp p với mọi số nguyên tố p. Chúng ta sử dụng Zn để kí

hiệu một nhóm xyclic cấp n và phép toán được viết theo lối nhân. Tương tự,

chúng ta có thể chỉ ra rằng hai nhóm xyclic vô hạn là đẳng cấu; chúng ta sử

dụng Z để kí hiệu một nhóm xyclic vô hạn và phép toán cũng được viết theo

lối nhân.

• Cho G là một nhóm, H 6 G và g ∈ G. Liên hợp của H bởi g là tập gHg−1 =

{ghg−1

|h ∈ H} chứa tất cả các liên hợp của các phần tử của H bởi g. Dễ thấy,

gHg−1 6 G. Chúng ta nói rằng K 6 G là một liên hợp của H trong G, hay K

và H là liên hợp trong G nếu K = gHg−1 với g nào đó thuộc G. Cho H 6 G

Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà

1. NHẮC LẠI 13

và g ∈ G, chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ : H → gHg−1 bởi ϕ(h) = ghg−1 với

h ∈ H. Dễ thấy ϕ là một đẳng cấu, do đó các nhóm con liên hợp với nhau đều

đẳng cấu. Tuy nhiên, hai nhóm con đẳng cấu của một nhóm G chưa chắc liên

hợp với nhau. Chẳng hạn, bốn-nhóm Klein có ba nhóm con cấp 2, chúng đẳng

cấu với nhau nhưng đây đều là nhóm con của một nhóm abel nên không thể

liên hợp với nhau.

• Cho X = {x1,...,xn} và P

X là nhóm các hoán vị của X. Chúng ta định nghĩa

ánh xạ ϕ :

P

n →

P

X bởi ϕ(ρ)(xi) = xρ(i) với ρ ∈

P

n

và 1 ≤ i ≤ n. Dễ thấy

ánh xạ ϕ là một đẳng cấu.

• Cho G là một nhóm và N E G. Có một ánh xạ từ G đến nhóm thương G/N,

đó là phép chiếu η : G → G/N xác định bởi η(x) = xN với x ∈ G. Chúng ta

dễ thấy rằng ánh xạ này là toàn cấu. Chúng ta gọi η là ánh xạ tự nhiên từ G

đến G/N.

Nếu ϕ : G → H là một đồng cấu thì chúng ta định nghĩa hạt nhân của ϕ là tập con

ker ϕ = {g ∈ G|ϕ(g) = 1} của G và ảnh của ϕ và tập con Im ϕ = {ϕ(g)|g ∈ G} của

H. Chúng ta cũng thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để chỉ tập ảnh của ϕ và ϕ(K) để

chỉ tập {ϕ(g) = g ∈ K} với K 6 G. Ví dụ, nếu N E G và η : G → G/N là ánh xạ

tự nhiên thì chúng ta có ker η = N và η(K) = KN/N với mọi K 6 G. (Dễ thấy

η(K) = K/N nếu K chứa N.)

Mệnh đề 11. Cho G và H là các nhóm và ϕ : G → H là một đồng cấu. Khi đó

ker ϕ E G và ϕ(K) 6 H với mọi K 6 G.

Định lí sau là nền tảng của lí thuyết nhóm.

Định lý cơ bản về đồng cấu. Nếu G và H là các nhóm và ϕ : G → H là đồng cấu

thì có một một đẳng cấu ψ : G/K → ϕ(G) sao cho ϕ = ψ ◦ η, trong đó K = ker ϕ

và η : G → G/K là ánh xạ tự nhiên; hơn nữa, ánh xạ ψ xác định duy nhất.

(Nhiều tác giả gọi kết quả này là "định lí đẳng cấu thứ nhất"; các tác giả này cũng

đặt số thứ tự cho các định lí đẳng cấu dưới đây.)

Chứng minh. Nếu xK = yK, với x,y ∈ G, thì y

−1x ∈ K; điều này kéo theo 1 =

ϕ(y

−1x) = ϕ(y)

−1ϕ(x) và do đó ϕ(y) = ϕ(x). Từ đó có thể định nghĩa ánh xạ

ψ : G/K → ϕ(G) bằng cách đặt ψ(xK) = ϕ(x) với xK ∈ G/K. Chúng tôi để bạn

đọc kiểm tra lại rằng ψ có các tính chất như trong định lí.

14 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM

Theo kết quả của định lí cơ bản, chúng ta thấy rằng bất kì đồng cấu ϕ : G → H

đều có thể coi như tích của một toàn cấu (từ G lên ϕ(G)) và đơn cấu (từ ϕ(G) đến

H.)

Ba kết quả cuối cùng của phần này cũng rất quan trọng.

Định lý đẳng cấu thứ nhất. Cho G là một nhóm. Nếu N E G và H 6 G thì

HN/N ∼= H/H ∩ N.

(Chú ý rằng HN 6 G và H ∩ N E H, theo Mệnh đề 7, do N E G.)

Chứng minh. Áp dụng định lí cơ bản cho ϕ là hạn chế xuống H của ánh xạ tự nhiên

η : G → G/N.

Chứng minh kết quả tiếp theo thì tương đối đơn giản nhưng hơi nhàm chán một

chút.

Định lý tương ứng. Cho G,H là các nhóm và ϕ : G → H là toàn cấu có hạt nhân

N. Khi đó có một tương ứng song ánh sinh ra bởi ϕ giữa tập các nhóm con của G

chứa N và tập các nhóm con của H. Nếu K là một nhóm con của G chứa N thì phép

tương ứng này biến K thành ϕ(K); nếu L là một nhóm con của H thì nhóm con

của G là tạo ảnh của L đối với phép tương ứng này là ϕ

−1

(L) = {x ∈ G|ϕ(x) ∈ L}.

Hơn nữa, nếu K1 và K2 là các nhóm con của G chứa N thì:

• K2 6 K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K2) 6 ϕ(K1), khi đó |K1 : K2| = |ϕ(K1) : ϕ(K2)|.

• K2 E K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K1) E ϕ(K2), khi đó ánh xạ từ K1/K2 đến

ϕ(K1)/ϕ(K2) biến xK2 thành ϕ(x)ϕ(K2) là một đẳng cấu.

Như một trường hợp đặc biệt của định lí tương ứng, chúng ta có kết quả sau:

Nếu G là một nhóm và N E G thì mọi nhóm con của G/N đều có dạng K/N với

K là một nhóm con của G chứa N. (Ở đây chúng ta coi ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G

vào G/N.)

Định lý đẳng cấu thứ hai. Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một

nhóm G. Nếu H chứa K thì G/H ∼= (G/K)/(H/K).

Chứng minh. Áp dụng định lí tương ứng cho ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/K.

BÀI TẬP

1. Hãy chứng minh, hoặc hoàn thành các phác họa chứng minh, cho mỗi kết quả

trong phần này.

Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà

1. NHẮC LẠI 15

2. Chúng ta nói một nhóm G có số mũ e nếu e là số nguyên dương nhỏ nhất sao

cho x

e = 1 với mọi x ∈ G. Chứng minh rằng nếu G có số mũ 2 thì G là abel.

Với các số nguyên e nào thì một nhóm có số mũ e là abel.

3. Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử rằng ánh xạ ϕ : G → G xác định bởi

ϕ(x) = x

3

, với x ∈ G, là một đồng cấu. Chứng minh rằng, nếu 3 không chia

hết |G| thì G phải là nhóm abel. (Xem kết quả tổng quát ở [2].)

4. Cho g là một phần tử của một nhóm G và giả sử rằng |G| = mn với m và n

nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có duy nhất các phần tử x và y thuộc

G sao cho xy = g = yx và x

m = 1 = y

n

. (Trong trường hợp m là lũy thừa của

một số nguyên tố p, chúng ta gọi x là p-phần của g và y là p

0

-phần của g; tổng

quát hơn, nếu π là tập các số nguyên tố chia hết m và không chia hết n thì x

và y tương ứng được gọi là π-phần và π

0

-phần của g.)

5. Cho r,s và t là các số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng có một nhóm

G có các phần tử x và y sao cho x có cấp r, y có cấp s và xy có cấp t.

6. Cho X và Y là các tập con của một nhóm G. Các nhóm < X > ∩ < Y > và

< X ∩ Y > có nhất thiết bằng nhau không? Các nhóm << X > ∪ < Y >>

và < X ∪ Y > có nhất thiết bằng nhau không?

7. Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6 G. Chứng minh rằng có một tập con T

của G mà vừa là lớp ngang trái, vừa là lớp ngang phải của H.

8. Giả sử C là họ các tập con của một nhóm G tạo thành sự phân hoạch của G

và giả sử rằng gC ∈ C với mọi g ∈ G và C ∈ C. (Nhắc lại, một sự phân hoạch

của tập S là một tập hợp S các tập con của S sao cho mọi phần tử của S nằm

trong đúng một phần tử của S.) Chứng minh rằng C là tập các lớp kề của một

nhóm con nào đó của G.

9. Giả sử C là một họ các tập con của một nhóm G mà tạo thành một sự phân

hoạch của G và giả sử rằng XY ∈ C với mọi X,Y ∈ C. Chứng minh rằng có

đúng một trong số các tập hợp thuộc C là một nhóm con của G và nhóm con

này là chuẩn tắc trong G, đồng thời C bao gồm các lớp kề của nó.

10. Chứng minh kết quả tổng quát hóa của Mệnh đề 8: Nếu G là một nhóm hữu

hạn và H 6 G sao cho |G : H| bằng ước nguyên dương nhỏ nhất của |G| thì

H E G.

BÀI TẬP MỞ RỘNG