Biểu diễn hoán vị và đặc trưng của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ LÀI

BIỂU DIỄN HOÁN VỊ

VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT

Phản biện 2: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng

5 năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu và phân lớp các biểu diễn của nhóm hữu hạn là

một trong các bài toán quan trọng và mang tính thời sự trong lý

thuyết cấu trúc và biểu diễn nhóm. Nhiều nhà toán học đã quan tâm

lĩnh vực này và giải quyết trọn vẹn cho nhiều lớp nhóm cụ thể, đặc

biệt là các nhóm hữu hạn.

Đóng vai trò quan trọng cho việc khảo sát biểu diễn của nhóm

hữu hạn là lý thuyết đặc trưng cho phép chuyển việc nghiên cứu biểu

diễn của nhóm về lớp các hàm đặc trưng tương ứng.

Với mong muốn tìm hiểu thêm về lý thuyết biểu diễn nhóm và

được sự gợi ý của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài

“Biểu diễn hoán vị và đặc trưng của nhóm hữu hạn” làm đề tài

nghiên cứu cho luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu biểu diễn hoán vị của

nhóm hữu hạn, tức là lớp các biểu diễn của một nhóm hữu hạn G trên

các G-tập hữu hạn. Từ đó ứng dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát

biểu diễn hoán vị của một số nhóm hữu hạn cụ thể.

Để đạt được mục tiêu nêu trên, luận văn tập trung khảo sát các

tính chất cơ bản của biểu diễn hoán vị và ứng dụng lý thuyết đặc

trưng để mô tả các biểu diễn hoán vị của nhóm hữu hạn và thể hiện

cho một số nhóm cụ thể.

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ sở.

- Nghiên cứu về biểu diễn hoán vị của nhóm hữu hạn.

- Nghiên cứu về đặc trưng của nhóm hữu hạn.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là biểu diễn hoán vị và đặc

trưng của một số nhóm hữu hạn. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là lý

thuyết cấu trúc và biểu diễn nhóm.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu

của đề tài.

- Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt

được trong luận văn.

- Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi

seminar với giáo viên hướng dẫn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Tổng quan một số kết quả liên quan đến biểu diễn của nhóm

hữu hạn.

- Góp phần làm rõ biểu diễn hoán vị của nhóm hữu hạn qua

một số tính chất và ví dụ minh họa.

7. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương.

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

3

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu những kiến thức cơ sở

như đại số tuyến tính và đa tuyến tính, biểu diễn tuyến tính của nhóm

hữu hạn và đặc trưng của biểu diễn. Các khái niện và các tính chất đó

liên quan đến việc nghiên cứu những chương tiếp theo.

Chương 2: BIỂU DIỄN HOÁN VỊ CỦA NHÓM HỮU HẠN

Trong chương chúng tôi tập trung khảo sát các tính chất của

biểu diễn hoán vị và biểu diễn hoán vị mở rộng của nhóm hữu hạn.

Chương 3: ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chương này chúng tôi áp dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát

các đặc trưng, tích vô hướng của đặc trưng, các bảng đặc trưng và

vận dụng vào việc tìm các đặc trưng của một số nhóm hữu hạn cụ

thể.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ĐA

TUYẾN TÍNH

1.1.1. Cơ sở đại số tuyến tính

Mệnh đề 1.1. Cho V, W là hai -không gian vectơ với V hữu

hạn chiều, và {v1,…, vm} là một cơ sở của

V

với

m V  dim

. Xét

ánh xạ

1

:{ ,..., }m  v v W 

. Khi đó tồn tại duy nhất một phép biến

đổi tuyến tính

 :V W 

sao cho

( ) ( ) j j   v v  (1 )  j m .

Mệnh đề 1.2. Tập hợp tất cả các ánh xạ

: ij V W 

(1 ,1 )     i m j n

lập thành một cơ sở của

Hom V W ( , )

. Từ đó

dim ( , ) dim dim Hom V W V W m  

n.

Mệnh đề 1.3. Các ma trận

w[ ]  v

và

' ' w [ ]  v

liên hệ với

nhau qua công thức:

' ' 1 1 w [ ] w[ ] [ ]P . ij   v Q vP Q a  

 

Định lý 1.4. Cho

f V U : 

là một phép biến đổi tuyến tính

với

W f  ker

. Khi đó tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến

tính

f V W U : / 

thoả

f f q  .

5

Định lý 1.5. [4, Theorem 1.5] Cho

W V 

và

'

W V 

là hai

không gian vectơ con của -không gian vectơ V với

dim V n  .

Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(a)

'

W

là một phần bù tuyến tính của W trong V.

(b) Cho

w ,..., w 1 r

là một cơ sở của W và

w ,..., w r n 1 

là

một cơ sở của W’. Khi đó

w ,...,w w ,...,w w ,...,w 1 1 1 n r r n        

là một cơ sở của V.

(c) Với mỗi

v V

tồn tại một biểu thị duy nhất dưới dạng

1 2 v v v  

, với

1

v W ,

'

2

v W

. Đặc biệt,

 

'

W W  0 .

(d) Mỗi phép biến đổi tuyến tính

'

h W U : 

có một mở rộng

duy nhất đến một phép biến đổi tuyến tính

H V U : 

, với

W H  ker .

(e) W là một phần bù tuyến tính của W’ trong V.

(f) Có một đẳng cấu tuyến tính

'

J V W W :   

sao cho

imJ W |W  0

và

'  

'

|

0

W

imJ W   .

(g) Có duy nhất hai phép biến đổi tuyến tính

p V V : 

và

'

p V V : 

lần lượt có ảnh

' '

im p W im p W ,

 

và thỏa mãn

2

p p p p   ,

'2 ' ' '

p p p p   ,

'

V

Id p p   .

6

1.1.2. Các khái niệm cơ bản của đại số đa tuyến tính

Cho

1

,..., V Vr

và W là các - không gian vectơ. Một ánh xạ

1

: ... F V V W   r

được gọi là -đa tuyến tính nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:

'

1 1 1

'

1 1 1 1

( ,..., , , ,..., )

( ,..., ,..., ) ( ,..., , , ,..., ),

k k k k r

k r k k k r

F v v v v v v

F v v v F v v v v v

 

 



 

1 1 1 1 1 1 ( ,..., , , ,..., ) ( ,..., , , ,..., ) F v v tv v v tF v v v v v k k k r k k k r    



trong đó

'

,

j j v v V

và

t  .

Mệnh đề 1.6. [4, Proposition 1.17] Nếu -không gian vectơ

hữu hạn chiều

(1 ) V k r k  

có một cơ sở

,1 , { ,..., }

k

k k k n v v v  ,

trong đó,

dim V n k k 

thì

1

... V V   r

có một cơ sở gồm các vectơ

dạng

1 1 1, , 1, , ... ( ,..., ),

r r i r i i r i v v v v   

với

1 . k k   i n

Từ đó, ta có

1 1 dim ... ... . V V n n   r r

Mệnh đề 1.7. Cho

1

,..., , V V Vr

là các -không gian vectơ

hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại một đẳng cấu tuyến tính

1 1 ... ( ... ) . V V V V r r

       

Đặc biệt,

* * ( ) ( ) r r T V T V  .

Mệnh đề 1.8. Cho

V W,

là hai -không gian vectơ hữu hạn

chiều. Khi đó tồn tại một -đẳng cấu tuyến tính

7

* W V Hom V W   ( , )

sao cho với mỗi

 V





và

w , W

ta có

w w   

, trong đó

w :  V W 

là ánh xạ được xác định bởi

w ( ) ( )w   v v 

, với

v V .

Mệnh đề 1.9. Cho

1

,..., V Vr

và

1

,..., W Wr

là hai -không gian

vectơ hữu hạn chiều, và với mỗi

1  k r

, xét

: k k k V W 

là một

phép biến đổi tuyến tính. Khi đó tồn tại duy nhất một phép biến đổi

tuyến tính

1 1 1 ... : ... ...          r r r V V W W

xác định trên mỗi tensor

1

...

r

v v  

theo công thức

1 1 1 1 1 ... ( ... ) ( ) ... ( )

r r r            v v v v .

1.2. BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHÓM HỮU HẠN

Trong phần này, G được kí hiệu là một nhóm hữu hạn. Một

đồng cấu nhóm

 : ( ) G GL V 

xác định một -tác động tuyến

tính của G trên V

. ( )( ),

g g v v g v    

và được gọi là một -biểu diễn hay -biểu diễn tuyến tính của G

trong (hoặc lên) V.

Ví dụ 1.11. Xét = . Khi đó, chỉ có các căn nghiệm của

đơn vị trong là

1

, do đó chúng ta có thể giả sử rằng đối với một

8

biểu diễn 1-chiều trên ,   : {1, -1} G

, với miền giá trị là một

nhóm với phép nhân. Chú ý rằng hàm dấu

: {1, -1} n

sign S 

cung

cấp cho chúng ta một ví dụ quan trọng và thú vị về điều này.

Ví dụ 1.12. Xét = . Khi đó với mỗi sô tự nhiên n, chúng

ta có n căn nghiệm bậc n phân biệt của đơn vị trong *

. Ký hiệu tập

hợp tất cả các căn nghiệm bậc n của đơn vị là

n

, và tập hợp tất cả

các căn nghiệm của đơn vị được xác định bởi

,

n

n

  





trong đó chúng ta sử dụng các bao hàm

  m n 

mỗi khi m|n. Đây

là các nhóm giao hoán với phép nhân.

1.3. G-ĐỒNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY

Giả sử rằng chúng ta có hai biểu diễn

 : ( ) G GL V 

và

 : ( ) G GL W 

. Khi đó một biểu diễn tuyến tính

f V W : 

được gọi là G- tương đương (G- tuyến tính hoặc G- đồng cấu) đối

với



và



, nếu cho

g G

, ta có sơ đồ sau giao hoán

f

f

g



g



V

W

W

V