Biểu diễn hoán vị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THU TRANG

BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc

sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng 5 năm

2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Để nghiên cứu một nhóm, người ta không khảo sát nó một cách

riêng lẻ mà xét nó trong mối quan hệ với những nhóm khác, thông qua

một công cụ, gọi là đồng cấu nhóm. Một đồng cấu từ nhóm G lên nhóm

đối xứng trên một tập hợp X mở ra một khái niệm, gọi là một biểu diễn

hoán vị của G trên X. Biểu diễn hoán vị là một bộ phận của lý thuyết

nhóm và có nhiều ứng dụng trong lớp các nhóm hữu hạn sinh. Nhằm

tìm hiểu biểu diễn hoán vị của một nhóm cùng các ứng dụng của nó, tôi

chọn đề tài luận văn Thạc sĩ của mình là: “Biểu diễn hoán vị và ứng

dụng”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu cấu trúc nhóm, nhóm đối xứng.

 Nghiên cứu biểu diễn hoán vị của một nhóm trên một tập.

 Khảo sát những ứng dụng của biểu diễn hoán vị.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Nhóm đối xứng, nhóm hữu hạn sinh.

 Biểu diễn hoán vị của một nhóm trên một tập.

 Những ứng dụng của biểu diễn hoán vị trong lý thuyết nhóm.

4. Phương pháp nghiên cứu

 Tập hợp, hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan

đến nội dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về nhóm đối xứng, về biểu

diễn hoán vị.

 Phân tích, khảo sát các tài liệu thu thập được.

 Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn.

5. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn gồm hai chương

2

Chương 1. CẤU TRÚC NHÓM

Chương này trình bày một cách sơ lược các khái niệm, kết quả

của lý thuyết nhóm để làm cơ sở cho chương 2.

Chương 2. BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chương này là nội dung chính của luận văn trình bày biểu diễn

hoán vị và một số ứng dụng của nó trong lý thuyết nhóm.

CHƯƠNG 1

CẤU TRÚC NHÓM

Chương này trình bày sơ lược về cấu trúc nhóm và một số

nhóm đặc biệt để làm cơ sở cho chương sau, các chi tiết liên quan có

thể xem trong các tài liệu về lý thuyết nhóm.

1.1. CẤU TRÚC NHÓM

1.1.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1

Một nhóm là một cặp (G, ), trong đó G là một tập hợp (không

rỗng) và  là một phép toán hai ngôi trên G, thỏa mãn ba điều kiện:

phép toán có tính kết hợp, có phần tử trung lập và mọi phần tử của G

đều có phần tử đối xứng.

Định nghĩa 1.2

Cấp của một nhóm G, kí hiệu bởi

G

, là số phần tử của G nếu

G có hữu hạn phần tử, và bằng  nếu G có vô hạn phần tử.

Định nghĩa 1.3

Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn.

Định nghĩa 1.4

Nhóm (G, ) được gọi là giao hoán (hay abel) nếu

3

x  y = y  x, với mọi x, y  G.

Mệnh đề 1.1

Giả sử (G, ) là một nhóm. Khi đó:

(i) Phần tử trung lập của G là duy nhất.

(ii) Với mọi x  G, phần tử đối xứng của x là duy nhất.

Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước)

Giả sử G là một nhóm (với phép hợp thành viết theo lối nhân).

Khi đó, với mọi a, b, c  G thì ac = bc, kéo theo a = b và ca = cb

kéo theo

a b  .

Định lí 1.1

Trong một nhóm ta có:

1 1 1 ( ) xy y x

  



, với x, y là hai phần tử

bất kì của nhóm.

1.1.2. Nhóm con

Định nghĩa 1.5

Giả sử G là một nhóm. Một tập con không rỗng S  G được gọi

là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp thành trong

G (tức là

xy S  với mọi x, y  S) và khép kín đối với phép lấy nghịch

đảo trong G (tức là

1

x S  

với mọi x  S).

Ta kí hiệu S  G để chỉ S là một nhóm con của G.

Đối với một nhóm G bất kì, {1} và G là hai nhóm con của G.

Người ta gọi chúng là các nhóm con tầm thường của G. Các nhóm con

khác (nếu có) được gọi là các nhóm con thực sự (hay không tầm

thường) của G.

Mệnh đề 1.3

Giả sử S là một tập con khác rỗng của một nhóm G. Các điều

kiện sau đây là tương đương:

(i) S là một nhóm con của G

(ii) Với mọi x, y  S thì

1

xy S  

4

Định lí 1.2

Giao của một họ bất kì những nhóm con của một nhóm G là một

nhóm con của G.

Định nghĩa 1.6

Cho G là một nhóm và S là một tập con khác rỗng của G. Ta

gọi nhóm con của G sinh bởi tập S là giao của tất cả các nhóm con

của G có chứa S, kí hiệu

S .

Nhóm con

S

là nhóm con nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) của

G mà chứa S. Trong trường hợp

S G

, ta nói rằng S là một tập

sinh của G hay G được sinh ra bởi S.

Nếu S có hữu hạn phần tử

1 2 3 { , , , ..., } S s s s s 

n

ta kí hiệu

1 2 3 , , , ...,

n

s s s s

thay cho

1 2 3 { , , , ..., }n

s s s s .

Định nghĩa 1.7

Một nhóm được sinh bởi một tập hữu hạn gọi là nhóm hữu hạn

sinh.

Mệnh đề 1.4

Giả sử G là một nhóm được sinh bởi một tập hữu hạn S. Khi đó,

 g G

tồn tại các phần tử

1 2 3 , , , ...,n

s s s s S 

và các số nguyên

1

, ..., , n

  1, i

 

sao cho

1

1

...

n

n g s s

 

 .

Định nghĩa 1.8

Một nhóm G được gọi là cyclic nếu và chỉ nếu G được sinh bởi

chỉ một phần tử a  G. Phần tử a gọi là một phần tử sinh của nhóm

cyclic G. Khi đó ta nói rằng G là nhóm cyclic sinh bởi phần tử a và

kí hiệu

G a  .

Mệnh đề 1.5

Cho G là nhóm cyclic cấp m sinh bởi phần tử a thì

0 1 1 { , ,..., }. m G a a a 



Mệnh đề 1.6

5

(i) Nhóm cyclic là nhóm giao hoán.

(ii) Mọi nhóm con của một nhóm cyclic cũng là cyclic.

Định nghĩa 1.9

Giả sử G là một nhóm với phần tử trung lập là e và a  G. Nếu

m

a e 

với mọi số nguyên dương m, thì ta nói phần tử a có cấp vô

hạn. Nếu trái lại, thì số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho

m

a e 

được gọi là cấp của a. Cấp của phần tử a được kí hiệu là ord(a).

Theo định nghĩa ta có x  G, ord(x) = 1  x = e.

Mệnh đề 1.7

Hai phần tử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng

cấp. Cấp của một nhóm cyclic bằng cấp của phần tử sinh của nó.

1.1.3. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương

Định nghĩa 1.10

Giả sử S là một nhóm con của nhóm G. Với mỗi a  G, các tập

hợp aS = {as | s  S}, Sa = {sa | s  S}

được gọi tương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của S bởi phần tử a.

Mệnh đề 1.8

Hai lớp kề trái của S hoặc trùng nhau hoặc không có phần tử

nào chung (các lớp kề phải cũng vậy). Như thế, nhóm G được phân

hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng các lớp kề phải).

Định lí 1.3 (Định lí Lagrănggiơ)

Cấp của một nhóm G hữu hạn là bội của cấp của mọi nhóm con

của nó.

Định nghĩa 1.11

Giả sử S là một nhóm con của nhóm G. Tập tất cả các lớp kề trái

của S trong G được gọi là tập thương của nhóm G trên nhóm con S, kí

hiệu

G S/ . Lực lượng của tập

G S/

được gọi là chỉ số của nhóm con

S trong nhóm G, và được kí hiệu là

G H: .