Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TRẦN QUANG

BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————————

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1:...................................................................

Phản biện 2:...................................................................

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà

Nẵng vào ngày .....tháng......năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thộng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.

Lý thuyết biểu diễn nhóm là một trong những nội dung cơ bản của lý

thuyết nhóm, có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng của nhóm abel được phát

biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sau đó mở rộng sang cho nhóm

abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickelberger. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

hình thành vào cuối thế kỷ XIX trong các công trình của Frobenius, Schur và

Burnside. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn nghiên cứu các cách mà một nhóm

tác động trên một không gian véctơ bằng các tự đẳng cấu tuyến tính.

Lý thuyết biểu diễn nhóm là một nội dung cơ bản của lý thuyết nhóm và

có nhiều ứng dụng, chẳng hạn nó giúp hiểu rõ hơn cấu trúc của một nhóm: cụ

thể, biểu diễn nhóm hữu hạn thể hiện mỗi nhóm hữu hạn đều có ảnh đồng cấu

là một nhóm con của nhóm các ma trận khả nghịch.

Nhằm tìm hiểu biểu diễn nhóm hữu hạn cùng những ứng dụng của nó, tôi

chọn đề tài “ Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ của

mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.

- Biểu diễn một số nhóm bậc thấp.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.

- Một số nhóm hữu hạn quen biết: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm nhị diện,

nhóm quaternion, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên . . .

4. Phương pháp nghiên cứu

1

- Thu thập các bài báo khoa học, tài liệu liên quan đến lý thuyết biểu diễn

nhóm và ứng dụng.

- Tổng hợp, phân tích, giải quyết các vấn đề thuộc nội dung luận văn.

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn.

5. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm và đại

số tuyến tính để làm cơ sở cho các chương sau.

Chương 2: Cơ sở về biểu diễn nhóm.

Chương này trình bày sơ lược lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn cùng các

kết quả liên quan.

Chương 3: Biểu diễn một số nhóm hữu hạn.

Chương này trình bày biểu diễn một số nhóm bậc thấp, nhóm hữu hạn

quen biết như: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm dihedral, nhóm quaternion, nhóm

đối xứng, nhóm thay phiên.

2

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm và đại

số tuyến tính để làm cơ sở cho các chương sau.

1.1. Một số khái niệm cơ bản về cấu trúc nhóm

1.1.1. Nhóm, nhóm con, nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương

Định nghĩa 1.1.1.1. Cho một tập hợp G khác rỗng cùng với phép toán

hai ngôi trên G

G × G → G

(a, b) 7→ a ∗ b

Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu

i. ∀a, b, c ∈ G,(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c),

ii. Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, có tính chất

a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G

iii. Với mỗi a ∈ G, có một phần tử a

−1 ∈ G, được gọi là nghịch đảo của a,

sao cho a ∗ a

−1 = a

−1 ∗ a = e.

Nếu ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a thì (G, ∗) được gọi là nhóm giao hoán.

Định nghĩa 1.1.1.2. Một tập con H của một nhóm G gọi là ổn định nếu

và chỉ nếu tích của hai phần tử x, y của H lại thuộc H.

Nếu H là một tập con ổn định của nhóm G, thì trên H cảm sinh được phép

toán từ phép toán của nhóm G.

Định nghĩa 1.1.1.3. Một tập con ổn định H của một nhóm G gọi là một

nhóm con của G, nếu và chỉ nếu H cùng với phép toán cảm sinh lập thành một

nhóm, kí hiệu H 6 G.

3

Định nghĩa 1.1.1.4. Nhóm G được gọi là một nhóm cyclic nếu G chứa

một phần tử a sao cho mọi phần tử của G đều là một lũy thừa nguyên nào đó

của a. Phần tử a có tính chất như thế gọi là phần tử sinh của nhóm cyclic G,

kí hiệu G = hai. Nhóm cyclic cấp n được kí hiệu là Cn. Ta có:

Cn = hai =

a/an = 1

=



1, a1

, a2

, ..., an−1

Định nghĩa 1.1.1.5. Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị 1 và a ∈ G.

Nếu a

m 6= 1 với mọi m > 0, thì ta nói a có cấp vô hạn. Nếu m là số nguyên

dương nhỏ nhất sao cho a

m = 1 thì m được gọi là cấp của a. Cấp của phần tử

a được kí hiệu là ord(a).

Từ định nghĩa trên ta có ord(a) =

hai

 và ord(a) = 1 ⇔ a = 1.

Định nghĩa 1.1.1.6. Giả sử N là một nhóm con của nhóm G. Với mỗi

a ∈ G, các tập hợp

aN =



an|n ∈ N

N a =



na|n ∈ N

được gọi tương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của N bởi a.

Mệnh đề 1.1.1.7. Hai lớp kề trái của N hoặc trùng nhau hoặc không có

phần tử nào chung. Các lớp kề phải cũng vậy. Như thế, nhóm G được phân hoạch

thành tập hợp rời của các lớp kề trái( tương ứng các lớp kề phải).

Định nghĩa 1.1.1.8. Cho G là một nhóm với phép toán nhân, một nhóm

con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu ∀x ∈ G, với mọi

a ∈ H, xax−1 ∈ H, và kí hiệu H / G.

Định nghĩa 1.1.1.9. Cho G là một nhóm và H ≤ G. Ta gọi tập gồm tất

cả các lớp kề trái của H trong G là tập thương của G trên H và kí hiệu G/H.

G/H =



xH|x ∈ G

Lực lượng của tập G/H được gọi là chỉ số của nhóm con H trong nhóm G

và được kí hiệu là [G : H].

4

Mệnh đề 1.1.1.10. Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G.

Khi đó

i. Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp kề xyH là một ánh xạ

G/H × G/H → G/H.

ii. Tập thương G/H cùng với phép toán hai ngôi: (xH, yH) 7→ xyH là một

nhóm, gọi là nhóm thương của G trên nhóm con chuẩn tắc H.

Định lý 1.1.1.11. (Định lý Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và

H là một nhóm con bất kỳ của G. Khi đó |G| là một bội

của |H|.

1.1.2. Nhóm con tâm, nhóm tâm hóa, nhóm con giao hoán tử

Mệnh đề 1.1.2.1. Cho G là một nhóm. Tập hợp

Z(G) = 

g ∈ G/gs = sg, ∀s ∈ G

là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắc của G, và được gọi là tâm của nhóm

G.

Mệnh đề 1.1.2.2. Cho G là một nhóm, A ≤ G. Tập con

CG(A) = n

x ∈ G|x

−1

ax = a, ∀a ∈ A

o

là một nhóm con của G, được gọi là nhóm tâm hóa của nhóm con A trong G.

Định nghĩa 1.1.2.3. Cho x, y là hai phần tử của một nhóm G. Kí hiệu

[x, y] = x

−1

y

−1xy ∈ G và gọi là giao hoán tử của x với y.

Định nghĩa 1.1.2.4. Cho G là một nhóm. Nhóm con sinh ra bởi các giao

hoán tử [x, y], ∀x, y ∈ G, kí hiệu [G, G], và được gọi là nhóm con giao hoán tử

của nhóm G.

Mệnh đề 1.1.2.5. Cho G là một nhóm, khi đó [G, G] / G.

1.1.3. Nhóm tuyến tính tổng quát

Định nghĩa 1.1.3.1. Giả sử K là một trường, V là một không gian véctơ

n chiều trên K. Kí hiêu GL(V ) là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính của

V . Tập hợp GL(V ) cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm,

5

được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên V .

1.1.4. Vành nhóm

Định nghĩa 1.1.4.1. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và K là một vành.

Gọi K[G] là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thức P

s∈G

kss của các phần tử

của G với hệ số ks ∈

P

K. Khi đó, K[G] cùng với hai phép toán

s∈G

kss +

P

s∈G

hss =

P

s∈G

(ks + hs) s

P

s∈G

kss

! P

t∈G

htt

!

=

P

s∈G

P

t∈G

ksht(st)

lập thành một vành, gọi là vành nhóm của G (với hệ số trong K).

Đơn vị của K[G] là phần tử 1 = 1.e.

Với mỗi s ∈ G, bằng cách đặt tương ứng s 7→ 1.s thì ta có thể coi G ⊂ K[G].

Rõ ràng K[G] là một vành giao hoán nếu và chỉ nếu G abel.

Nhóm cộng abel K[G] cùng với phép nhân vô hướng

h





X

s∈G

kss



 =

X

s∈G

hkss, ∀h ∈ K

lập thành một K - không gian véctơ với cơ sở G.

1.2. Quan hệ liên hợp

1.2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1.1. Cho G là một nhóm, a, x ∈ G.

Phần tử x

−1ax ∈ G được gọi là phần tử liên hợp của a bởi x, và kí hiệu

a

x = x

−1ax.

1.2.2. Lớp liên hợp của một số nhóm hữu hạn

Cho nhóm dihedral như sau

Dn =< a, b|a

n = e, b2 = e, b−1

ab = a

−1 > .

Mệnh đề 1.2.2.1. Số các lớp liên hợp của nhóm Dn phụ thuộc vào tính

chẵn lẻ của n, và được xác định như sau:

6