Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức đại số dạng không đối xứng.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
PHẠM ANH TUẤN
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN
CỰC TRỊ TRONG LỚP CÁC ĐA
THỨC ĐẠI SỐ DẠNG KHÔNG
ĐỐI XỨNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2015
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
Phản biện 1: .....................................................................................
Phản biện 2: .....................................................................................
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày ...... tháng ......
năm 2015.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của Giải Tích và Đại Số. Trong
hầu hết các kì thi đại học, thi học sinh giỏi Toán quốc gia, thi Olympic Toán
khu vực và quốc tế thì các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng rất
hay được đề cập và chúng thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Hiện nay đã
có rất nhiều tài liệu viết về mảng bất đẳng thức trong lớp đa thức đại số
dạng đối xứng nhưng tài liệu về mảng bất đẳng thức trong lớp các đa thức
đại số dạng không đối xứng thì mới có rất ít và khá sơ sài. Chính vì vậy, tác
giả đã quyết định chọn đề tài "Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp
các đa thức đại số dạng không đối xứng" để làm luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số phương pháp dùng
để giải các bài toán cực trị trong lớp các đa thức đại số dạng không đối xứng
trong đó đặc biệt chú trọng đến phương pháp tam thức bậc hai định hướng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh chuyên Toán do GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu chủ biên, tài liệu chuyên toán giải tích 12, các chuyên đề
chọn lọc về bất đẳng thức và một số tài liệu tiếng Anh liên quan đến bất
đẳng thức (xem [1]-[14]).
4. Đối tượng nghiên cứu
Các phương pháp dùng để giải bài toán cực trị.
5. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán cực trị trong lớp các đa
thức đại số dạng không đối xứng.
2
6. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai, phương
pháp giải phương trình bậc ba tổng quát và phương trình bậc bốn tổng quát
mà không thông qua số phức.
Chương 2 trình bày một số phương pháp thông dụng dùng để chứng
minh bất đẳng thức dạng không đối xứng như phương pháp tam thức bậc
hai định hướng, phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển, phương
pháp sử dụng hàm số, phương pháp dồn biến.
Chương 3 trình bày một số phương pháp khác dùng để khảo sát bài
toán cực trị dạng không đối xứng.
3
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC
1.1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản liên quan đến tam
thức bậc hai với hệ số thực. Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a 6= 0),
khi đó af(x) = (ax +
b
2
)
2 −
∆
4
với ∆ = b
2 − 4ac.
Sau đây ta phát biểu hai kết quả quen thuộc về dấu của tam thức bậc
hai.
Định lý 1.1. Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0.
i) Nếu ∆ < 0 thì af(x) > 0, ∀x ∈ R.
ii) Nếu ∆ = 0 thì af(x) > 0, ∀x ∈ R. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi x = −
b
2a
.
iii) Nếu ∆ > 0 thì af(x) = a
2
(x − x1)(x − x2) với
x1,2 = −
b
2a
∓
√
∆
2|a|
. (1.1)
Trong trường hợp này, af(x) < 0 khi x ∈ (x1, x2) và af(x) > 0 khi
x < x1 hoặc x < x2.
Định lý 1.2 (Định lí đảo). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho
af(α) < 0 là ∆ > 0 và x1 < α < x2, trong đó x1,2 là các nghiệm của f(x)
xác định theo (1.1).
Nhận xét rằng, hai định lí trên đều được mô tả thông qua bất đẳng thức
(kết quả so sánh biệt thức ∆ với 0). Định lí thuận và định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai cho ta phát biểu kết quả biểu diễn tam thức bậc hai theo
các nghiệm của chúng.
Định lý 1.3 (Định lí Viete). Điều kiện cần và đủ để tam thức bậc hai
f(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0,
có nghiệm thực là tồn tại các số x1, x2 ∈ R sao cho
b
a
= −x1 − x2
c
a
= x1x2
4
Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết quả tương tự trong trường hợp
khi ta còn chưa tường minh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai. Điều
này rất có ý nghĩa khi ta xét các bài toán tam thức bậc hai tổng quát. Hai
định lí sau đây cho ta tiêu chuẩn nhận biết, thông qua biểu diễn hệ số, khi
nào thì tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 có nghiệm. Không mất
tính tổng quát, ta xét tam thức bậc hai dạng
f(x) = 3x
2 + 2bx + c. (1.2)
Ta chứng minh 2 kết quả quan trọng khác liên quan đến tam thức bậc
hai f(x) dạng (1.2).
Định lý 1.4. Với mọi tam thức bậc hai f(x) có nghiệm thực đều tồn
tại một nguyên hàm F(x), là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực.
Định lý 1.5. Tam thức bậc hai f(x) = 3x
2 + 2bx + c có nghiệm (thực)
khi và chỉ khi các hệ số b, c có dạng
b = α + β + γ
c = αβ + βγ + γα
1.2. ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Trước tiên ta nhắc lại một định lí quen thuộc trong chương trình toán
bậc phổ thông là định lí Rolle.
Định lý 1.6 (Định lí Rolle). Giả sử hàm số f : [a, b] → R liên tục trên
đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít
nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f
0
(c) = 0.
Ta kí hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực là R[x]. Từ định lí
Rolle, ta chứng minh được kết quả sau đối với đa thức.
Định lý 1.7. Nếu đa thức P(x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức
P
0
(x) có ít nhất k − 1 nghiệm thực.
Hệ quả 1.1. Nếu đa thức P(x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực thì đa
thức P
0
(x) cũng có các nghiệm đều thực.
Bây giờ ta tìm các tiêu chuẩn để nhận biết, thông qua biểu diễn các hệ
số, khi nào thì một đa thức bậc ba tổng quát
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c, d ∈ R, a 6= 0
có các nghiệm đều thực.
Không mất tính tổng quát, ta coi đa thức bậc ba tổng quát có dạng
f(x) = −4x
3 + 3ax2 − 2bx + c, a, b, c ∈ R.
5
Bổ đề 1.1. Đa thức bậc ba với hệ số thực f(x) = −4x
3 + 3ax2 −2bx+c
có các nghiệm đều thực khi và chỉ khi các hệ số a, b, c có dạng
a = α + β + γ + δ
b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ
c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ
(1.3)
trong đó α, β, γ, δ ∈ R.
Từ bổ đề trên ta có thể phát biểu kết quả sau.
Định lý 1.8. Đa thức bậc ba với hệ số thực f(x) = x
3 + ax2 + bx + c
có các nghiệm đều thực khi và chỉ khi các hệ số a, b, c có dạng
a = −
3
4
(α + β + γ + δ)
b =
1
2
(αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ)
c = −
1
4
(αβγ + αβδ + αγδ + βγδ)
trong đó α, β, γ, δ ∈ R.
Định lý 1.9 (Định lí Viete cho phương trình bậc 3). Nếu x1, x2, x3 là
ba nghiệm của phương trình bậc ba x
3 + ax2 + bx + c = 0 thì ta có
T1 = x1 + x2 + x3 = −a
T2 = x1x2 + x2x3 + x3x1 = b
T3 = x1x2x3 = −c
Từ định lí này, ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.2.
(x1 + x2 − x3)(x2 + x3 − x1)(x3 + x1 − x2) = a
3 − 4ab + 8c
Định lý 1.10 (Định lí Sturm về nghiệm của phương trình bậc ba).
Phương trình bậc ba
x
3 + ax2 + bx + c = 0 (?)
với các hệ số thực a, b, c có ba nghiệm thực x1, x2, x3 khi và chỉ khi
−4a
3
c + a
2
b
2 + 18abc − 4b
3 − 27c
2 > 0. (1.4)
6
Định lý 1.11 (Điều kiện để nghiệm phương trình bậc ba dương).
Phương trình bậc ba
x
3 + ax2 + bx + c = 0 (?)
có ba nghiệm dương x1, x2, x3 khi và chỉ khi ta có bất đẳng thức (1.4) và
a < 0, b > 0, c < 0. (1.5)
Định lý 1.12. Phương trình bậc ba
x
3 + ax2 + bx + c = 0 (?)
có ba nghiệm x1, x2, x3 là độ dài ba cạnh của tam giác khi và chỉ khi có bất
đẳng thức (1.4), (1.5) và
a
3 − 4ab + 8c > 0 (1.6)
1.3. ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Mở đầu phần này, ta sẽ khảo sát các đa thức bậc 4.
Bổ đề 1.2. Giả sử đa thức
f(x) = 5(x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4), x1 6 x2 6 x3 6 x4
có nguyên hàm F0(x) là đa thức bậc năm với hệ số thực
F0(x) = x
5 − a1x
4 + a2x
3 − a3x
2 + a4x.
Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại hằng số thực c sao cho nguyên
hàm
F(x) = F0(x) − c
có các nghiệm đều thực là
F0(x1) > F0(x4). (1.7)
Từ kết quả khảo sát bài toán ngược trên ta phát biểu điều kiện cần và
đủ để đa thức bậc bốn có tất cả các nghiệm đều thực (trừ trường hợp có hai
nghiệm kép) dưới dạng định lí sau.
Định lý 1.13. Đa thức bậc bốn
f(x) = 5x
4 + 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d
7
có bốn nghiệm thực (nhưng không có hai nghiệm kép) khi và chỉ khi các hệ
số có dạng
a = α1 + α2 + α3 + α4 + α5
b = α1α2 + α1α3 + α1α4 + α1α5 + α2α3 + α2α4 + α2α5 + α3α4 + α3α5 + α4α5
c = α1α2α3 + α1α2α4 + α1α2α5 + α1α3α4 + α1α3α5 + α2α3α4 + α2α3α5 + α3α4α5
d = α1α2α3α4 + α1α2α3α5 + α2α3α4α5
8
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC DẠNG KHÔNG ĐỐI XỨNG
2.1. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG
Có thể mô tả về phương pháp tam thức bậc hai định hướng như sau.
Phương pháp này lợi dụng một số ẩn phụ cùng với định lí thuận về dấu của
tam thức bậc hai để hướng (ép) biểu thức M (là một đa thức bậc hai) đến
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất. Ví dụ dưới đây sẽ minh họa rõ hơn
cho phương pháp tam thức bậc hai định hướng.
Ví dụ 2.1. Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = x
2 + 2y
2 + 5z
2
.
Giải. i) Xét z = 0. Khi đó xy = 1 và M = x
2 + 2y
2
.
Lúc này ta có M = x
2 + 2y
2 > 2
√
2|xy| = 2√
2.
ii) Xét z 6= 0. Do ta đang đi tìm giá trị nhỏ nhất nên lúc này chỉ cần
xét 0 < M < 2
√
2. Đặt
x
z
= α,
y
z
= β, khi đó điều kiện xy + yz + zx = 1
trở thành z
2
(αβ + α + β) = 1, còn M = z
2
(α
2 + 2β
2 + 5) = α
2 + 2β
2 + 5
α + β + αβ
hay
α
2 − M(β + 1)α + 2β
2 − Mβ + 5 = 0. (2.1)
Dễ thấy vế trái của phương trình (2.1) là một tam thức bậc hai (ẩn α).
Do đó phương trình (2.1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ > 0. Điều này tương
đương với
M2 − 8
β
2 + 2
M2 + 2M
β + M2 − 20 > 0. (2.2)
Ta lại thấy vế trái của (2.2) là một tam thức bậc hai (ẩn β) có hệ số
a = M2 − 8 < 0 (vì ta đang xét 0 < M < 2
√
2). Do đó bất phương trì
9
(2.2) có nghiệm khi và chỉ khi
∆
0
> 0
⇔ M3 + 8M2 − 40 > 0
⇔ (M − 2)
M2 + 10M + 20
> 0
⇔ M > 2.
Vậy minM = 2, đạt được khi
β = −
M2 + 2M
M2 − 8
= 2
α =
M(β + 1)
2
= 3
xy + yz + zx = 1
hay (x, y, z) =
3
√
11
,
2
√
11
,
1
√
11
hoặc (x, y, z) =
−3
√
11
,
−2
√
11
,
−1
√
11
.
Nhận xét 2.1. Dựa vào các bất đẳng thức bậc hai cơ bản, ta dễ dàng
xây dựng được nhiều bài toán tìm cực trị mà có thể giải được bằng phương
pháp tam thức bậc hai định hướng. Chẳng hạn như sau:
Xuất phát từ bất đẳng thức bậc hai cơ bản sau (chú ý phải đảm bảo
dấu đẳng thức có xảy ra)
(x − 2y + 2z)
2 + (2x − y − 3z)
2 > 0. (2.3)
Khai triển và rút gọn (2.3) ta thu được bất đẳng thức mới là
5x
2 + 5y
2 + 13z
2 > 2 (4xy + yz + 4zx). (2.4)
Từ (2.4), cho 4xy + yz + 4zx = 5 thì ta thu được bài toán sau:
Bài toán 2.1. Cho 4xy + yz + 4zx = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
M = 5x
2 + 5y
2 + 13z
2
.
Áp dụng phương pháp tam thức bậc hai định hướng sẽ tìm ra
min M = 10