Bài tập hình học Afin

Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V.

Chứng minh rằng: Nếu φ2

= φ thì V =

Imφ ⴲ Kerφ.

Giải

Để c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m:

 V = Imφ + Kerφ

 Imφ ⋂ Kerφ = {θ}

C/m: V = Imφ + Kerφ

• V ⊂ Imφ + Kerφ

• V ⊃ Imφ + Kerφ

Dễ thấy:

☺ Imφ ⊂ V

☺ Kerφ ⊂ V

⇒ Imφ + Kerφ ⊂ V. (1)

Ta xét: ∀x∊V: x = φ(x) + (x – φ(x)), trong

đó φ(x) ∊ Imφ.

Mặt khác: φ(x – φ(x)) = φ(x) – φ(φ(x))