Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương III + IV

Chương 3

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

I.Tìm nghiệm thực của một phương trình.

a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học.

f(x) = 0; ( 1 )

f – hàm cho trước của đối số x

α - nghiệm thực của ( 1 )

f(α) = 0; ( 2 )

- Vẽ đồ thị y = f(x)

Hoành độ điểm M nghiệm α.

O

y

α x

M

f(x)

O

y

x

M

α

g(x)

h(x) ~ g(x) = h(x)

đồ thị y1 = g(x) và y2

= h(x)

- hoặc (1)

b. Sự tồn tại của nghiệm thực

.

Định lý. Nếu có hai số thực a, b

(a < b) sao cho f(a) và f(b) trái

dấu, tức là

f(a).f(b) < 0 ( 3 )

đồng thời f(x) liên tục trên [a, b]

thì trong khoảng [a, b] ít nhất có

một nghiệm thực của phương

trình f(x) = 0. Oy

x

A

B

a

b

c. Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm)

Định nghĩa. Khoảng [a, b] nào

đó gọi là khoảng phân ly nghiệm

của phương trình f(x) = 0 nếu nó

chứa một và chỉ một nghiệm

của phương trình đó. Muốn thế:

trong [a, b] :

- hàm f(x) đơn điệu

Oy

x

A

B

a

b

f’(x) không đổi dấu

II. Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của

một phương trình.

1. Phương pháp đồ thị

2. Phương pháp thử.

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;

x

f(x)

1 2 3 4

- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084

- [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm;

- tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b];

- Tính thử giá trị ở các nút; khoảng chứa nghiệm mới;

- Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết.

Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b],

đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm

của phương trình f(x) = 0.

3. Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0;

- Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình.

- Chia đôi khoảng [a, b] ;

2

a b

c

+

=

- Tính f(c) f(c) = 0 c = α (nghiệm);

f(c) ≠ 0 Xét dấu f(c).f(a) và f(c).f(b);

Khoảng phân ly nghiệm mới [a1

, b1

];

( );

2

1

1 1 b − a = b − a

- Tiếp tục quá trình chia đôi [a2

, b2

]

( );

2

1

( )

2

1

2

b2 − a2 = b1 − a1 = b − a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( );

2

1

b a b a

n

n − n

= − Với an

≤ α ≤ bn

.

- Lấy an

hoặc bn

làm giá trị gần đúng của nghiệm;

- Sai số:

;

2

n

n n n

b a

a b a

−

α − ≤ − = ( 4 ) ;

2

n

n n n

b a

b b a

−

α − ≤ − = ( 5 )

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x4

+ 2x3

–x – 1 = 0;

f(0) = -1; f(1) = 1 α ∈[0,1];

f(0,5) = -1,9 α ∈[0,5,1];

f(0,75) = -0,59 α ∈[0,75,1];

f(0,875) = +0,05 α ∈[0,75,0,875];

f(0,8125) = -0,304 α ∈[0,8125,0,875];

f(0,8438) = -0,135 α ∈[0,8348,0,875];

f(0,8594) = -0,043 α ∈[0,8594,0,875];

Lấy [ ]

0,867;

2

0,8594 0,875

=

+

α ≈

Sai số mắc phải: ;

2

1

2

2

2

1 ( 1)

2

7 7 6

= =

− −

=

−

− ≤

n

n

b a

α a