Bài giảng Đại số tuyến tính

MU. C LU. C

1 Ma trˆa.n - D- i

.nh thu´

.c 3

1.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 D- i

.nh nghı˜a v`a ca´c kha´i niˆe.m . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Ma trˆa.n d¯ˆo´i xu´

.ng v`a ma trˆa.n pha’n xu´

.ng. . . . . . . . 8

1.1.4 D- a thu´

.

c ma trˆa.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 D- i

.nh thu´

.

c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Phe´p thˆe´ - Nghi.ch thˆe´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 D- i

.nh thu´

.

c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Ma trˆa.n kha’ nghi.ch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Ha.ng cu˙’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Hˆe. phu

.o

.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh 31

2.1 Hˆe. phu

.o

.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 D- i

.nh nghı˜a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 Gia’i hˆe. phu

.o

.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh. . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Hˆe. phu

.o

.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t. . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 D- i

.nh nghı˜a v`a tı´nh chˆa´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 Hˆe. nghiˆe.m co.ba’n cu’a hˆe. phu

.

o

.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an

nhˆa´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.3 Cˆa´u tru´c nghiˆe.m cu’a hˆe. phu

.o

.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng

qua´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Khˆong gian vector 47

3.1 Kha´i niˆe.m v`ˆe khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 D- i

.nh nghı˜a khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.2 V`ai v´ı du.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.3 Mˆo.

t sˆo´ tı´nh chˆa´t d¯o.n gia’n cu’a khˆong gian vector. . . . 49

3.2 Khˆong gian vector con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Su.

. phu.

thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . 51

1

2

MU. C LU. C

3.3.1 Tˆo’ ho.

.p tuyˆe´n tı´nh v`a biˆe’u thi

.

tuyˆe´n tı´nh. . . . . . . . 51

3.3.2 D- oˆ. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu.

thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . 52

3.3.3 V`ai t´ınh chˆa´t v`ˆe hˆe. phu.

thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p

tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Ha.ng cu˙’a mˆo.

t hˆe. vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1 Hˆe. con d¯ˆo. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh tˆo´i d¯a.

i. . . . . . . . . . . . . 55

3.4.2 Ha.ng cu˙’a mˆo.

t hˆe. vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.3 C´ac hˆe. vector trong Kn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5 Co.

so.

˙’ - Sˆo´ chi`ˆeu - To.a d¯ˆo.

cu˙’a khˆong gian vector. . . . . . . . 57

3.5.1 Co.

so.

˙’ cu˙’a khˆong gian vector. . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.2 Hˆe.

sinh cu˙’a mˆo.

t khˆong gian vector. . . . . . . . . . . . 58

3.5.3 Sˆo´ chi`ˆeu. Khˆong gian hu˜

.u ha.n v`a vˆo ha.n chi`ˆeu. . . . . 59

3.5.4 To.a d¯ˆo. cu˙’a mˆo.

t vector trong khˆong gian n chi`ˆeu. . . . 60

4 Da.ng to`an phu

.o

.ng 66

4.1 Anh ´ xa.

song tuyˆe´n t´ınh, da.ng song tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . 66

4.1.1 D- i

.nh ngh˜ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2 Ma trˆa.n cu˙’a da.ng song tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . . . . 67

4.2 Da.ng to`an phu

.o

.ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1 D- i

.nh ngh˜ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 D- u

.a da.ng to`an phu

.o

.ng v`ˆe da.ng ch´ınh tˇa´c. . . . . . . . 69

4.2.3 Da.ng chuˆa˙’n tˇa´c cu˙’a da.ng to`an phu

.o

.ng. . . . . . . . . 76

4.2.4 Da.ng to`an phu

.o

.ng x´ac d¯i

.nh am, ˆ x´ac d¯i

.nh du.o

.ng, luˆa.

t

qu´an t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Ba`i gia’ng D- a.

i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh

Chu

.o

.ng 1

Ma trˆa.n - D- i

.nh thu

´

.c

1.1 Ma traˆ.n

1.1.1 D- i

.nh nghı˜a v`a ca´c kha´i niˆe.m

Cho K la` mˆo.

t tru.o`

.ng.

D- i

.nh nghı˜a 1.1. Cho m, n la` hai sˆo´ nguyˆen du.

o

.ng. Ta go.

i mˆo.

t ma trˆa.n A

cˆa´p m × n la` mˆo.

t ba’ng gˆ`om m.n phˆ`an tu.

’ aij ∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d¯u.o

.

.

c

s˘a´p xˆe´p tha`nh m do`ng v`a n cˆo.

t nhu

.

sau:

A =









a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

· · · · · · · · · · · ·

am1 am2 . . . amn









Kı´ hiˆe.u: A = (aij )m×n.

Ca´c phˆ`an tu.

’ o

.

’ do`ng thu´

.

i v`a cˆo.

t thu´

.

j d¯u.o

.

. c go.

i la` phˆ`an tu.

’ aij. Ca´c phˆ`an

tu.

’ ai1, ai2, . . . , ain d¯u.o

.

. c go.

i la` ca´c phˆ`an tu.

’ thuˆo.c do`ng thu´

.

i. Ca´c phˆ`an tu.

’

a1j

, a2j

, . . . , amj d¯u.

o

.

. c go.

i la` ca´c phˆ`an tu.

’ thuˆo.c cˆo.

t thu´

.

j.

Vı´ du.

:





−1 3 6 0

6 −2 1 8

2 2 5 1



 la` ma trˆa.n cˆa´p 3 × 4 (3 ha`ng, 4 cˆo.

t)

Ca´c kha´i niˆe.m kha´c:

1. Ma trˆa.n khˆong. Mˆo.

t ma trˆa.n cˆa´p m ×n d¯u.o

.

.

c go.

i la` ma trˆa.n khˆong nˆe´u

mo.

i phˆ`an tu.

’ d¯`ˆeu b˘a`ng 0.

2. Ma trˆa.n vuˆong. Mˆo.

t ma trˆa.n A = (aij)m×n d¯u.o

.

. c go.

i la` ma trˆa.n vuˆong

nˆe´u m = n. Lu´c d¯o´ ta go.

i A la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n, kı´ hiˆe.u A = (aij)n.

3

4 1. Ma trˆa.n - D- i

.nh th´u

.

c

3. Cho ma trˆa.n vuˆong

A = (aij )n =









a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

· · · · · · · · · · · ·

an1 an2 . . . ann









Ca´c phˆ`an tu.

’ a11 , a22, . . . , ann go.

i la` ca´c phˆ`an tu.

’ thuˆo.c d¯u.o`

.ng che´o chı´nh.

Ca´c phˆ`an tu.

’ a1n , a2n−1, . . . , an1 go.

i la` ca´c phˆ`an tu.

’ n˘a`m trˆen d¯u.o`

.ng che´o

phu.

.

4. Ma trˆa.n d¯o.n vi

.

. Cho ma trˆa.n vuˆong A = (aij)n. A d¯u.o

.

. c go.

i la` ma trˆa.n

d¯o.n vi

. nˆe´u mo.

i phˆ`an tu.

’ n˘a`m trˆen d¯u.o`

.ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 1 co`n ca´c phˆ`an

tu.

’ kha´c d¯`ˆeu b˘a`ng 0. Lu´c d¯o´ A d¯u.

o

.

. c kı´ hiˆe.u la` In: ma trˆa.n d¯o.n vi

. cˆa´p n.

Vı´ du.

.

I2 =



1 0

0 1



I3 =





1 0 0

0 1 0

0 0 1





5. Ma trˆa.n che´o. Cho A = (aij)n. A d¯u.o

.

. c go.

i la` ma trˆa.n che´o nˆe´u mo.

i

phˆ`an tu.

’ khˆong thuˆo.c d¯u.o`

.ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 0.

Vı´ du.

.

A =





1 0 0

0 −2 0

0 0 5



 la` ma trˆa.n che´o.

6. Ma trˆa.n tam gia´c. Cho A = (aij)n. A la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen nˆe´u

mo.

i phˆ`an tu.

’ n˘a`m du.o´

.

i d¯u.o`

.ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 0. A la` ma trˆa.n tam gia´c

du.o´

.

i nˆe´u mo.

i phˆ`an tu.

’ n˘a`m trˆen d¯u.o`

.ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 0. A la` mˆo.

t ma

trˆa.n tam gia´c nˆe´u no´ la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen ho˘a.c du.o´

.

i.

A =













a11 a12 . . . a1n−1 a1n

0 a22 . . . a2n−1 a2n

· · · · · · · · · · · · · · ·

0 0 . . . an−1n−1 an−1n

0 0 . . . 0 ann













la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen.

B =













a11 0 . . . 0 0

a21 a22 . . . 0 0

· · · · · · · · · · · · · · ·

an−11 an−11 . . . an−1n−1 0

an1 an2 . . . an−1n ann













la` ma trˆa.n tam gia´c du.o´

.

i.

Ba`i gia’ng D- a.

i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh

1.1. Ma trˆa.n 5

7. Ma trˆa.n A = (aij)1×n = [a11, a12, . . . , a1n] d¯u.o

.

. c go.

i la` ma trˆa.n do`ng.

Ma trˆa.n B = (bij )m×1 =









a11

a21

· · ·

am1









d¯u.

o

.

. c go.

i la` ma trˆa.n cˆo.

t.

8. Ma trˆa.n bˆa.

c thang. Ma trˆa.n cˆa´p m × n co´ aij = 0 ; ∀i, j , i > j go.

i la`

ma trˆa.n bˆa.c thang.

Vı´ du.

:

A =









3 4 5 6 7 8

0 0 7 6 9 4

0 0 0 0 1 2

0 0 0 0 0 0









la` ma trˆa.n bˆa.

c thang.

9. Hai ma trˆa.n A = (aij )m×n v`a B = (bij )m×n d¯u.o

.

. c go.

i la` b˘a`ng nhau nˆe´u

aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.

1.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa.n

a. Cˆo.ng ma trˆa.n.

D- i

.nh nghı˜a 1.2. Cho hai ma trˆa.n cu`ng cˆa´p A = (aij)m×n v`a B = (bij)m×n.

Tˆo’ng cu’a hai ma trˆa.n A, B la` mˆo.

t ma trˆa.n C = (cij)m×n v´o

.

i cij = aij +

bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Kı´ hiˆe.u: A + B = C.

Vı´ du.

.





1 2 2

4 −2 5

7 −3 4



 +





6 3 −8

2 −2 1

0 0 5



 =





1 + 6 2 + 3 2 + (−8)

4 + 2 −2 + (−2) 5 + 1

7 + 0 −3 + 0 4 + 5





=





7 5 −6

6 0 6

7 −3 9





Tı´nh chˆa´t 1.1. Cho A, B, C, 0 la` c´ac ma trˆa. n cu`ng cˆa´p, khi d¯o´ ta c´o:

(i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı´nh kˆe´t ho.

. p)

(ii) A + B = B + A(tı´nh giao ho´an)

(iii) A + 0 = 0 + A = A

Ba`i gia’ng D- a.

i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh

6 1. Ma trˆa.n - D- i

.nh th´u

.

c

(iv) A + (−A) = (−A) + A = 0

b. Nhˆan mˆo.

t phˆ`an tu.

’ cu’a tru.o`

.ng K v´o

.

i ma trˆa.n.

D- i

.nh nghı˜a 1.3. Cho A = (aij )m×n, k ∈ K. Phe´p nhˆan mˆo.

t phˆ`an tu.

’ cu’a

tru.o`

.ng K v´o

.

i ma trˆa.n A cho ta mˆo.

t ma trˆa.n B = (bij )m×n v´o

.

i bij = k.aij , ∀i =

1, m, ∀j = 1, n.

Kı´ hiˆe.u: kA.

kA = B = (bij )m×n =





ka11 . . . ka1n

. . . . . . . . .

kam1 . . . kamn





D- a˘.

t biˆe.

t, khi k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se˜ viˆe´t −A v`a go.

i no´ la` ma

trˆa. n d¯ˆo´i cu’a A. Nhu

. vˆa.y: (−aij )m×n = −(aij)m×n ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.

Vı´ du.

.

2.





1 2 2

4 −2 5

7 −3 4



 =





2 4 4

8 −4 10

14 −6 8





Tı´nh chˆa´t 1.2. Cho A, B la` c´ac ma trˆa. n cu`ng cˆa´p, α, β ∈ K. Khi d¯o´ ta c´o:

(i) α(A + B) = αA + αB

(ii) (α + β)A = αA + βA

(iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA)

(iv) 1.A = A

c. Phe´p nhˆan hai ma trˆa.n.

D- i

.nh nghı˜a 1.4. Cho A = (aij )m×n la` ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen K v`a B =

(bjk)n×p la` ma trˆa.n cˆa´p n × p trˆen K. Ta go.

i la` tı´ch cu’a A v´o

.

i B, kı´ hiˆe.u AB,

mˆo.

t ma trˆa.n C = (cik)m×p cˆa´p m ×p trˆen K ma` ca´c phˆ`an tu.

’ cu’a no´ d¯u.o

.

. c xa´c

d¯inh nhu

.

sau:

cik =

X

n

j=1

aijbjk ; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p.

Minh ho. a:

Vı´ du.

. Cho ca´c ma trˆa.n:

A =



1 2 −1

3 1 2



, B =





1 3

2 1

3 −1



, C =



2 −1

1 0



Ba`i gia’ng D- a.

i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh

1.1. Ma trˆa.n 7

Khi d¯o´:

AB =



1 2 −1

3 1 2







1 3

2 1

3 −1





=



1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1)

3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.(−1) 

=



2 6

11 8



BA =





1 3

2 1

3 −1







1 2 −1

3 1 2



=





10 5 5

5 5 0

0 0 −5





AC v`a CB khˆong xa´c d¯i

.nh.

Nhˆa. n xe´t:

1 D- i`ˆeu kiˆe.n d¯ˆe’ phe´p nhˆan hai ma trˆa.n thu.

. c hiˆe.n d¯u.

o

.

. c la` sˆo´ cˆo.

t cu’a ma

trˆa.n 1 b˘a`ng sˆo´ do`ng cu’a ma trˆa.n 2.

2 AB 6= BA. Phe´p nhˆan hai ma trˆa.n khˆong co´ tı´nh giao hoa´n.

Ta kı´ hiˆe.u Mm,n(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’ nhu˜

.ng ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen tru.o`

.ng K,

Mn(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’ nhu˜

.ng ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen tru.o`

.ng K.

Tı´nh chˆa´t 1.3. V´o

.

i phe´p nhˆan hai ma trˆa. n ta c´o c´ac tı´nh chˆa´t sau:

(i) (AB)C = A(BC); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q(K).

(ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ Mm,n(K), B, C ∈ Mn,p(K).

(A + B)C = AC + BC; A, B ∈ Mm,n(K), C ∈ Mn,p(K).

(iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), α ∈ K.

(iv) AIn = A = ImA; A ∈ Mm,n(K), Im, In la` c´ac ma trˆa. n d¯o.n vi. cˆa´p lˆ`an

lu.o

.

.

t la` m, n.

d. Chuyˆe

’

n vi

. ma trˆa.n.

D- i

.nh nghı˜a 1.5. Cho A = (aij )m×n. Chuyˆe’n vi

. cu’a ma trˆan A la` ma trˆa.n B

co´ cˆa´p n × m v`a ca´c phˆ`an tu.

’ d¯u.o

.

.

c xa´c d¯i

.nh nhu

.

sau:

bij = aji

, i = 1, m, j = 1, n.

Ta kı´ hiˆe.u ma trˆa.n chuyˆe’n vi

. cu’a ma trˆan A la` A

t

. No´i mˆo.

t ca´ch kha´c chuyˆe’n

vi

. cu’a ma trˆa.n A la` ma trˆa.n B d¯u.o

.

. c suy ra b˘a`ng ca´ch d¯ˆo’i do`ng tha`nh cˆo.

t v`a

cˆo.

t tha`nh do`ng.

Ba`i gia’ng D- a.

i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh