Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Về tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
CẤP HAI LOẠI PARABOLIC
ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER
PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được
khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên
lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày
một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo
hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát.
ABSTRACT
The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second
order has been considered by M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] which
provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence
theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of
a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second
order.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng:
F(x, u, Du,
2 D
u) = 0,
trong đó, F:
n R
R
n R
S(n) R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông
đối xứng cấp n. Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F(x, u, Du,
2 D
u) = 0 với u là một
hàm số giá trị thực xác định trong một tập con của
n R , Du là ký hiệu gradient của u và
D u
2
ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của
bài toán sau đây, Du và
2 D
u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi
liên tục đến cấp hai.
Ta sẽ áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F = 0, trong đó F phải thỏa
mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):
F(x,r,p,X) F(x,s,p,Y) với r s và Y X (1.1)
trong đó r, s R, x, p
n R
, X, Y S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.
Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:
F(x,r,p,X) F(x,s,p,X) với r s (1.2)
F(x,r,p,X) F(x,r,p,Y) với Y X. (1.3)
Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) nếu (1.3) là đúng.