Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUANG NINH

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUANG NINH

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TSKH. Hà Huy Khoái

2. TS. Vũ Hoài An

THÁI NGUYÊN-NĂM 2017

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn

của GS. TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An. Các kết quả viết chung

với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.

Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ

công trình khoa học của ai khác.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017

Tác giả

Lê Quang Ninh

ii

Lời cảm ơn

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của

GS. TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An. Tác giả luận án xin bày tỏ

lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy.

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo

Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học

Thái Nguyên và các Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm

khoa Toán cùng toàn thể giảng viên trong khoa, đặc biệt là Bộ môn Giải

tích và Toán ứng dụng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong

quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar

tại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN,

Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp

đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học.

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn và PGS.

TSKH Tạ Thị Hoài An (hai cán bộ phản biện) và các nhà khoa học trong

Hội đồng bảo vệ luận án cấp cơ sở của tác giả đã dành rất nhiều thời gian

đọc, sửa, góp ý để luận án được hoàn thiện tốt hơn rất nhiều.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình,

những người đã chịu nhiều khó khăn, vất vả và dành hết tình cảm yêu

thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành được luận án.

Tác giả

Lê Quang Ninh

1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược

của tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Phương trình kiểu Fermat-Waring đối với hàm phân hình . . . . 17

1.3. Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm

26

Chương 2. Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh

ngược của tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2. Phương trình kiểu Fermat-Waring đối với đường cong chỉnh hình. .

47

2.3. Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập

hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chương 3. Xác định hàm phân hình và đường cong chỉnh hình

trên trường không Ác-si-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2. Phương trình kiểu Fermat-Waring nhiều biến đối với các hàm nguyên

trên một trường không Ác-si-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3. Xác định hàm phân hình và đường cong chỉnh hình trên trường

không Ác-si-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Trong toán học, Định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức

một biến khác hằng với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Từ đó suy

ra mọi đa thức khác hằng với hệ số phức nhận giá trị phức bất kỳ. Picard

là người đầu tiên mở rộng Định lý cơ bản của Đại số cho hàm nguyên phức

mà ngày nay được gọi là Định lý Picard. Định lý Picard phát biểu như

sau: mọi hàm nguyên một biến khác hằng trên mặt phẳng phức C nhận

mọi giá trị phức, trừ ra cùng lắm là một giá trị.

Vào những thập niên đầu tiên của thế kỷ XX, Nevanlinna đã xây dựng

lý thuyết phân bố giá trị cho các hàm phân hình trên C mà ngày nay được

gọi là lý thuyết Nevanlinna. Kết quả chính của lý thuyết Nevanlinna là hai

định lý chính.

Định lý chính thứ nhất là mở rộng của Định lý cơ bản của đại số, mô

tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng trên C . Định lý

chính thứ hai là mở rộng của Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo

hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình.

Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố

giá trị cho trường hợp p-adic. Ông và các học trò đã xây dựng tương tự

lý thuyết Nevanlinna cho trường số p-adic mà ngày nay thường gọi là lý

thuyết Nevanlinna p-adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm phân

hình và ánh xạ chỉnh hình p-adic.

Năm 1926, R.Nevanlinna đã chứng minh được rằng: Với hai hàm phân

hình f và g trên mặt phẳng phức C, nếu chúng có cùng ảnh ngược (không

tính tính bội) của 5 điểm phân biệt thì f = g (Định lý 5 điểm) và g có

dạng

af + b

cf + d

(a, b, c, d là các số phức nào đó thỏa mãn ad − bc 6= 0) nếu f

3

và g có cùng ảnh ngược (kể cả bội) của 4 điểm phân biệt (Định lý 4 điểm).

Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức

và p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng

(phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp các điểm phân biệt

mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điểm của Nevanlinna (hoặc tương tự

của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic). Có hai hướng mở rộng Định

lý 5 điểm.

Hướng thứ nhất: Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm cho các hàm và

nghịch ảnh của siêu phẳng, siêu mặt cho các ánh xạ chỉnh hình trong các

trường hợp phức và p-adic đối với vấn đề xác định duy nhất hàm hoặc ánh

xạ chỉnh hình.

Hướng thứ nhất là sự mở rộng tự nhiên của Định lý 5 điểm. Vấn đề xác

định duy nhất theo hướng thứ nhất được nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ

với các kết quả của nhiều tác giả: M.Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang,

Hà Huy Khoái, L.Lahiri, G.Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức

Quang, A.Escassut, Phạm Việt Đức, Hà Trần Phương. . .

Năm 1977, F.Gross đưa ra một ý tưởng mới là không xét ảnh ngược của

các điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong C ∪ {∞} .

Ông đưa ra hai câu hỏi sau:

i) Tồn tại hay không tập S của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân

hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg(S) ta có f = g?

ii) Tồn tại hay không hai tập Si

, i = 1, 2 của C ∪ {∞} để với bất kỳ

các hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si) = Eg(Si), i = 1, 2 ta

có f = g?

Các công trình trả lời câu hỏi của F.Gross đã hình thành và phát triển

hướng thứ hai: Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm cho các hàm trong các

trường hợp phức và p-adic đối với hàm và ánh xạ chỉnh hình.

Hướng thứ hai đã nhận được nhiều kết quả sâu sắc của F.Gross và

C.C.Yang, H.X.Yi, B.Shiffman, C.C.Yang-X.Hua, E.Mues- M.Reinders,

P.Li, H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, Hà Huy Khoái, A.Escassut,. . .

Liên quan đến vấn đề duy nhất của hàm phân hình là khái niệm đa

thức duy nhất, đa thức duy nhất mạnh và phương trình hàm.

C.C.Yang và X.Hua [37] năm 1997 và B.Shiffman năm 2001 đã nghiên

4

cứu vấn đề không tồn tại cặp hàm phân hình (hoặc hàm nguyên) khác

hằng phân biệt f, g thỏa mãn P(f) = P(g). Năm 2000, H.Fujimoto [12]

đã xây dựng lớp đa thức duy nhất mạnh mà tập các nghiệm của nó là tập

xác định duy nhất. Năm 2004, Hà Huy Khoái và C.C.Yang [18] cũng đã

nghiên cứu vấn đề này đối với phương trình hàm P(f) = Q(g). Năm 2010,

F.Pakovich [27] đã mô tả nghiệm là các hàm nguyên đối với phương trình

P(f) = Q(g). Năm 2011, Tạ Thị Hoài An [2] đã xây dựng hai lớp đa thức

duy nhất mạnh mà tập các nghiệm của chúng là tập xác định duy nhất.

Từ các kết quả trên, chúng tôi nhận thấy: công việc xây dựng tập xác

định duy nhất gồm hai bước.

Bước 1. Từ điều kiện về ảnh ngược Ef (S) = Eg(S) hoặc Ef (S) =

Eg(S) đưa đến phương trình hàm P(f) = cP(g), ở đó S là tập nghiệm

của đa thức P không có nghiệm bội, c 6= 0.

Bước 2. Dùng hai Định lý chính và các kỹ thuật đánh giá để chứng

minh c = 1 và chứng minh phương trình P(f) = P(g) có nghiệm duy

nhất f = g hoặc dùng tính hyperbolic Brody của đường cong để chứng

minh phương trình P(f) = cP(g), c 6= 0 có nghiệm duy nhất f = g.

Trong [33], M.Shirosaki đã xây dựng siêu mặt X xác định duy nhất

đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Công việc xây dựng

siêu mặt X gồm 2 bước:

Một là, dùng điều kiện bội giao để đưa ra phương trình hàm nhiều biến

đối với các hàm nguyên f1, . . . , fN+1; g1, . . . , gN+1.

Hai là, chứng minh nghiệm của phương trình có dạng

(f1, . . . , fN+1, γg1, . . . , γgN+1),

trong đó γ là hàm nguyên không có không điểm.

Từ đó, chúng tôi có nhận xét rằng: Phương trình hàm P(f) = P(g)

(P(f1, . . . , fN+1) = P(g1, . . . , gN+1)) gắn bó mật thiết với vấn đề xác định

duy nhất hàm phân hình (đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến

tính). Có thể nói rằng: mỗi tập xác định duy nhất (theo hướng thứ hai)

đều nảy sinh vấn đề duy nhất nghiệm của phương trình hàm P(f) = P(g)

và ngược lại. Từ đây, nảy sinh hai câu hỏi.

Câu hỏi 1: Vấn đề vô nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm

5

duy nhất, mô tả nghiệm,. . . của phương trình hàm P(f) = Q(g) liên quan

đến ảnh ngược của các tập đối với hàm phân hình như thế nào?

Câu hỏi 2: Vấn đề vô nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm

duy nhất, mô tả nghiệm,. . . của phương trình hàm nhiều biến đối với các

hàm nguyên P(f1, . . . , fN+1) = Q(g1, . . . , gN+1) liên quan đến ảnh ngược

của các siêu mặt đối với đường cong chỉnh hình như thế nào?

Hai câu hỏi trên có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của F.Pakovich

[26] và Đinh Tiến Cường [10], [11].

Trong [26] có nhắc lại câu hỏi sau đây của C. C. Yang:

"Cho f1, f2 là hai đa thức phức, S = {−1, 1} và f

−1

1

(S) = f

−1

2

(S). Khi

đó f1 = f2 hoặc f1 = −f2?"

Câu hỏi của C.C.Yang đã được giải quyết trong [36]. Họ đã chứng

minh rằng: Đối với bất kỳ tập compact K ∩ C chứa ít nhất hai điểm và

hai đa thức cùng bậc f1(z), f2(z), đẳng thức f

−1

1

(K) = f

−1

2

(K) suy ra

f1(z) = σ(f2(z)). Ở đây σ(z) = za + b, a, b ∈ C, sao cho σ(K) = K. Kết

quả này đã được mở rộng cho hai đa thức khác hằng có bậc bất kỳ (Xem

[11]).

Năm 2007, F.Pakovich [26] đã có ý tưởng xét ảnh ngược của hai tập

compact hữu hạn hoặc vô hạn K1, K2 ∈ C đối với hai đa thức phức f1,

f2. Ông đã đưa ra câu hỏi sau:

"Với điều kiện nào của f1, f2, K1, K2 thì f

−1

1

(K1) = f

−1

2

(K2)?"

Nhằm góp phần trả lời các câu hỏi của Gross, của Pakovich, câu hỏi 1,

2 và làm phong phú thêm những nghiên cứu trong lý thuyết Nevanlinna,

chúng tôi lựa chọn luận án: "Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua

điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm".

Luận án nghiên cứu các vấn đề sau:

Cho Si

, Ti ⊂ C ∪ {∞} , Si 6= ∅, Ti 6= ∅, i = 1, . . . , k; Xi

, Yi

là các siêu

mặt của P

N (C), i = 1, . . . , k.

Vấn đề 1: Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược của Si

, Ti

nào đó.

Vấn đề 2: Xác định đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính

qua điều kiện ảnh ngược của Xi

, Yi nào đó.

Vấn đề 3: Tương tự Vấn đề 1 và Vấn đề 2 cho trường hợp p-adic.