Về một hàm số học pptx

VỀ MỘT HÀM SỐ HỌC

Huỳnh Tấn Châu, Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên

Phan Thành Nam, Trường Đại học khoa học tự nhiên TPHCM

Việc khảo sát các chữ số trong biểu diễn thập phân của một số tự nhiên

là một vấn đề rất gần gũi với chúng ta. Ta kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của

số tự nhiên n (trong hệ thập phân) và bài này sẽ đề cập đến một số tính chất

lí thú của hàm S(n) cũng như một vài ứng dụng của hàm S(n) trong việc giải

quyết các bài toán số học.

Trước hết ta có tính chất quan trọng sau: S(n) ≡ n (mod 9). Chứng minh

tính chất này xin trao cho bạn đọc. Bây giờ là một vài ứng dụng.

Bài toán 1.

Viết các số 1, 2, 3, …, 2003 thành một dãy tùy ý và thu được số N. Hỏi

N có thể là số chính phương?

Bài giải :

Theo tính chất trên, dễ thấy: N ≡ 1+ 2 + 3 + ... + 2003 = 2003.1002 ≡ 6 (mod 9)

Như vậy, N chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, nên N không thể

là số chính phương.

Bài toán 2.

Từ các chữ số 1, 2, …, 7 lập ra hai số có 7 chữ số A, B. Chứng minh

rằng nếu A>B thì A không chia hết cho B.

Bài giải :

Giả sử A = B.C. Do S(A) = S(B) = 1 + 2 + … + 7 = 28 nên A và B đều

không chia hết cho 3, hơn nữa A - B chia hết cho 9. Suy ra C - 1 chia hết

cho 9. Đây là điều vô lí vì theo giả thiết dễ dàng có được: 1 < C < 10.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 3.

Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn: n+S(n)+S(S(n))=2001.

Bài giải :

Ta có : n < 2001 ⇒ S(n) < S(1999) = 28 ⇒ S(S(n)) < S(28) = 10. Suy ra

: n > 2001 - 28 - 10 = 1963. Từ đó: S(n) > S(1970) = 17 và S(S(n))

> 2 nên n < 2001 - 17 - 2 = 1982.

Mặt khác : 3n ≡ n + S(n) + S(S(n)) = 2001 ≡ 3 (mod 9) nên n ≡ 1(mod 3). Từ

đó: n ∈{1963;1966;1969;1972;1975;1978;1981} . Bằng cách thử trực tiếp ta thấy

chỉ có các số 1969; 1972; 1975 thỏa mãn.

Như vậy đáp số bài toán là n ∈{1969;1972;1975} .

Bài toán 4. (IMO - 1975)

1