Về môđun với epi -acc (on modules with epi-acc)

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN THÁNH TRÂM

VỀ MÔĐUN VỚI EPI-ACC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2019

Công trình được hoàn thành tại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐH ĐÀ NẴNG

——————————–

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 1: PGS. TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 2: PGS. TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

ngành Đại số và Lý thuyết số họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà

Nẵng vào ngày 26 tháng 10 năm 2019

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết vành và môđun là 1 bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã

và đang được phát triển mạnh mẽ với sự quan tâm của nhiều nhà toán học.

Một trong các hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu môđun

và vành Noether và Artin. Năm 1921, Noether đã giới thiệu điều kiện dãy

tăng ACC trên iđêan trong 1 vành giao hoán. Sau đó, Noether đã định nghĩa

khái niệm này cho môđun trên vành không giao hoán và mở rộng vài kết quả

trên vành giao hoán với ACC trên iđêan đến môđun với ACC trên môđun

con. Môđun với ACC trên môđun con ngày nay được gọi là môđun Noether.

Từ tài liệu của Noether, nhiều nhà toán học khác cũng nghiên cứu về môđun

Noether. Một vài trong số họ đã mở rộng những khái niệm này.

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu sự mở rộng của ACC theo nghĩa sự tồn

tại toàn cấu trên dãy các môđun con, đó là epi-co rút được trên dãy các môđun

con. Lớp các môđun epi-co rút được là 1 lớp con của các môđun con co rút

được, được giới thiệu bởi Khuri năm 1979. Một R-môđun M được gọi là co rút

được nếu với mọi môđun con khác không N của M, tồn tại một đồng cấu khác

không từ M vào N. Ghorbani và Vedadi đã định nghĩa khái niệm môđun epi￾co rút được. R-môđun M được gọi là epi-co rút được nếu mọi môđun con của

M là một ảnh đồng cấu của M. Ta xét các môđun có tính chất này trên dãy

các môđun con. Ta nói rằng một R-môđun M thỏa epi-co rút được trên dãy

2

tăng các môđun con (epi-ACC trên các môđun con) nếu trong mọi dãy tăng

các môđun con của M, trừ một số hữu hạn, mỗi môđun trong dãy là một ảnh

đồng cấu của môđun kế tiếp. Liệu các tính chất của môđun Noether có đúng

với môđun với epi-ACC hay không? Dựa vào hai bài báo chính: A. Ghorbani

and M. R. Vedadi (2009), Epi-retractable modules and some applications,

Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol. 35 No. 1, pp 155-166 và R.

Dastanpour and A. Ghorbani (2017), Modules with epimorphism on chains

of submodules, Journal of Algebra and Its Application Vol. 16, No. 6, nhằm

tìm hiểu về vấn đề này, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “VỀ

MÔĐUN VỚI EPI-ACC (On modules with epi-acc)”.

2. Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu về môđun với epi-ACC và các môđun liên quan.

- Trước tiên là tổng quan các kết quả từ các bài báo, sách và sau đó làm

tường minh các chứng minh, trình bày lại một cách có hệ thống.

- Mở rộng một số kết quả đã có của môđun Noether sang môđun với

epi-ACC.

3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất của môđun với epi-ACC, một số

môđun với epi-ACC đặc biệt.

- Nghiên cứu điều kiện epi-co rút được với môđun xạ ảnh, môđun nội xạ.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Dựa trên cơ sở đã biết về môđun, môđun Noether, môđun Artin... cùng

với nghiên cứu các tài liệu đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến

môđun với epi-ACC.

3

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn. Trao đổi thông qua xêmina

của nhóm.

5. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 2 chương

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số khái niệm

và kết quả liên quan đến môđun để làm cơ sở cho chương sau.

- Chương 2: Môđun và vành với epi-ACC. Chương này trình bày nội

dung chính của luận văn, trình bày epi-co rút được, môđun với epi-ACC.

4

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Định nghĩa môđun

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành có đơn vị (không nhất thiết giao

hoán). Một R-môđun phải M là:

(1) Một nhóm cộng Abel, cùng với

(2) Ánh xạ:

M × R → M

(m, r) 7→ mr

được gọi là phép nhân môđun thoả mãn các điều kiện sau: ∀m1, m2 ∈

M, r1, r2 ∈ R

(i) có tính chất kết hợp: (mr1)r2 = m(r1r2)

(ii) có tính chất phân phối: (m1 + m2)r = m1r + m2r

m(r1 + r2) = mr1 + mr2

(iii) thoả quy tắc unita m1 = 1m = m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tùy ý của M, r1, r2 ∈ R.

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải ta thường

kí hiệu M = MR. Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái.

5

Định nghĩa 1.1.2. Cho M là R-môđun phải. Tập con A của M được gọi

là môđun con của M (kí hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR), nếu A là R-môđun

phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế được trên A.

Cho MR và N ≤ MR. Vì N là nhóm con của nhóm cộng aben M nên

nhóm thương của nó M/N là một nhóm aben hoàn toàn xác định. Các phần

tử của nó là các lớp ghép x + N của N trong M và phép cộng trong M/N

là

(x + N) + (y + N) = x + y + N

Ta phải xác định phép nhân môđun để M/N trở thành R-môđun phải.

Định lý 1.1.3. Cho MR và N ≤ M.

(i) Quy tắc

M/N × R → M/N

(m + N, r) 7→ (m + N).r = mr + N

là phép nhân môđun.

(ii) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một

R-môđun phải.

Định nghĩa 1.1.4. M/N xác định như trong Định lý 1.1.3 được gọi là

môđun thương của môđun M trên môđun con N của nó.

1.2. Môđun tự do

Định lý 1.2.1. Cho FR là R-môđun phải. Các điều kiện sau là tương

đương:

(1) F có cơ sở là S.

(2) F = ⊕

s∈S

As và với mọi s ∈ S, RR

∼= As

.

Định nghĩa 1.2.2. R-môđun phải F thỏa một trong các điều kiện trên

6

được gọi là tự do.

1.3. Môđun xạ ảnh và nội xạ

Định nghĩa 1.3.1. Cho PR là một môđun. Lúc đó P được gọi là xạ ảnh

trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B → C, với mọi B, C và mỗi đồng

cấu ψ : P → C tồn tại một đồng cấu λ : P → B sao cho ψ = βλ, nghĩa

là, biểu đồ sau giao hoán

P

λ

~~

ψ



B β

/C /0

Ta có đặc trưng sau của môđun xạ ảnh:

Mệnh đề 1.3.2. Cho P là R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là

tương đương.

(1) P là xạ ảnh.

(2) Mỗi toàn cấu ϕ : B → P đều chẻ ra, nghĩa là Ker(ϕ) là hạng tử

trực tiếp của môđun B.

(3) Mọi toàn cấu β : B → C thì ánh xạ

HomR(1P , β) : HomR(P, B) → HomR(P, C)

là một toàn cấu.

Định nghĩa 1.3.3. Cho QR là một môđun. Lúc đó Q được gọi là nội xạ

trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR → MR, với mọi KR, MR và mỗi

đồng cấu υ : KR → QR tồn tại một R-đồng cấu υ : M → Q sao cho