Về hàm phân hình chung nhau hai tập hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ LAN HƯƠNG

VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU

HAI TẬP HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ LAN HƯƠNG

VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU

HAI TẬP HỢP

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

Mục lục

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Các hàm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Định lý 5 điểm của Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU HAI

TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Một số khái niệm và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình . . . . . 21

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

MỞ ĐẦU

Vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất của các hàm hay ánh xạ phân

hình thông qua ảnh ngược của một tập hữu hạn thu hút được sự quan

tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học trong và ngoài nước: G.Pólya,

R.Nevanlinna, F. Gross,... và thu được nhiều kết quả quan trọng. Năm

1926, R.Nevanlinna đã chứng minh: Nếu hai hàm phân hình f và g chung

nhau 5 giá trị phân biệt, tức là tồn tại các giá trị phân biệt a1, a2, . . . , a5 ∈

C = C ∪ {∞} sao cho

f

−1

(aj ) = g

−1

(aj ) với mọi j = 1, 2, . . . , 5

thì f ≡ g. Kết quả này của Nevanlinna cho thấy một hàm phân hình phức

được xác định một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không kể bội, của 5 giá

trị phân biệt. Công trình này của Ông được xem là khởi nguồn cho các

công trình nghiên cứu về sự xác định duy nhất hàm hay ánh xạ phân hình.

Một vấn đề tự nhiên được đưa ra bởi F. Gross (xem [4]), đó là không

xét ảnh ngược của các điểm rời rạc mà xét ảnh ngược của một tập hợp

điểm. Từ đó đến nay, vấn đề này được nghiên cứu một cách liên tục và

mạnh mẽ với những kết quả của H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru,

Z. Tu, C. C. Yang, G. Frank, M. Reinders,. . . .

Kí hiệu F là một họ hàm nào đó xác định trên C lấy giá trị trên C. Với

f ∈ F và S ⊂ C, đặt

E(S, f) = [

a∈S

{(z, n) ∈ C × N : f(z) = a với bội n}.

Tập S ⊂ C được gọi là tập xác định duy nhất (kể cả bội), kí hiệu là URS,

cho họ hàm F nếu với hai hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện

E(S, f) = E(S, g) thì f ≡ g.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn