Vật lý chất rắn nâng cao

BÀI GIẢNG

VẬT LÝ CHẤT RẮN NÂNG CAO

2019

1

Chương 1. CƠ SỞ TINH THỂ HỌC

§1.Vật tinh thể và vật vô định hình.

Vật chất thường tồn tại dưới ba trạng thái cơ bản được phân biệt

nhau bởi mức độ tương tác giữa các phân tử, nguyên tử, ion.

Ở trạng thái khí, khoảng cách giữa các phân tử ( nguyên tử, ion) lớn,

sức hút tương hỗ giữa chúng rất nhỏ, các phân tử khí chuyển động

tự do hỗn loạn theo đủ mọi phương. Do đó chất khí không có hình

đạng và thể tích nhất định.

Ở trạng thái lỏng, khoảng cách giữa các phân tử tương đối nhỏ, sức

hút tương hỗ giữa chúng tương đối lớn, tuy nhiên các phân tử vẫn

còn có khả năng lưu động nhưng khoảng cách trung bình giữa chúng

không đổi, do đó chất lỏng không có hình đạng nhất định nhưng lại

có thể tích nhất định.

Ở trạng thái rắn, sức hút tương hỗ giữa các phân tử, nguyên tử rất

lớn, khoảng cách giữa chúng rất nhỏ, khác với trạng thái lỏng, ở

trạng thái rắn các phân tử không chuyển dịch mà chỉ dao động

chung quanh vị trí cân bằng.

( Ngoài ra có thể kể thêm trạng thái vật chất Plasma ).

Tất cả các vật rắn được chia ra làm hai loại: vật rắn kết tinh ( vật

tinh thể) và vật rắn không kết tinh (vật vô định hình).

1.Vật tinh thể.

Vật tinh thể là vật thể trong đó các phân tử ( nguyên tử, ion)

sắp xếp theo một trật tự hoàn toàn xác định tạo thành một mạng

không gian ( mạng tinh thể).

Ta có thể hình dung cách dựng mạng không gian như sau: ta

chọn một điểm bất kỳ trong không gian làm gốc toạ độ 0. Từ 0 ta vẽ

ba đường x,y,z bất kỳ, trên mỗi đường thẳng ta lấy những điểm cách

2

nhau những đoan bằng nhau a,b,c tương ứng. Từ các điểm này ta vẽ

những đường thẳng song song với ba trục x,y,z. Cuối cùng ta có một

hệ thống vô hạn các hình hộp xếp sít nhau choán đầy không gian.

Đó là mô hình của mạng không gian ( hình 1.1).

Mỗi hình hộp xiên trong mạng không gian được gọi là một ô

mạng, các đỉnh của hình hộp gọi là nút mạng . Mô hình này là ứng

với trường hợp đơn giản , các nguyên tử chỉ nằm tại các nút mạng .

Hình1. 1. Mô hình mạng không gian

Khoảng cách giữa hai nguyên tử gần nhất được gọi là chu

kỳ dịch chuyển. Nếu 3 trục x,y,z được chọn làm 3 trục toạ độ của

mạng tinh thể thì các chu kỳ dịch chuyển theo 3 trục đó gọi là chu

kỳ mạng (thông số mạng) , ký hiệu a, b,c.

Trong mạng không gian trật tự sắp xếp của các nguyên tử được

lập lại một cách tuần hoàn trong toàn bộ thể tích tinh thể. Do đó nếu

qua hai nguyên tử bất kỳ trong mạng ta vẽ một đường thẳng thì tất

cả các nguyên tử trên đường thẳng đó đều cách nhau những đoạn

giống nhau, đây là một đặc điểm của mạng tinh thể.

Tất cả các vật rắn quanh ta như hạt muối, đường, quặng, các kim

loại rắn, các hợp kim và nhiều nguyên tố hoá học khác như silic,

germani. . . là những ví dụ về vật tinh thể. Thông thường chúng nằm

3

dưới dạng đa tinh thể, bằng các kỹ thuật đặc biệt người ta có thể chế

tạo ra các đơn tinh thể.

- Đơn tinh thể là những vật tinh thể có dạng hình đa diện đúng

đắn. Đơn tinh thể có thể gồm một số lớn các hạt tinh thể định

hướng giống nhau.

- Nếu vật thể gồm một số lớn các hạt tinh thể nhỏ bé, hạt này mọc

lên hạt kia một cách hỗn độn, vật được gọi là đa tinh thể.

a. Các tính chất cơ bản của vật tinh thể.

- Tính đồng nhất: Trong tinh thể tại tất cả các điểm nằm trên

những phương song song với nhau (hoặc các điểm nằm trên cùng

một phương xác định), chúng sẽ có tính chất như nhau. Tất nhiên

tính chất này chỉ có khi ta nghiên cứu tinh thể trên quan điểm vĩ mô,

tức phạm vi ta khảo sát có một kích thước khá lớn so với kích thước

nguyên tử và nhỏ đáng kể so với kích thước tinh thể.

- Tính dị hướng: Nói chung theo các phương khác nhau ( không

song song với nhau) các tính chất của tinh thể là khác nhau. Ví dụ:

mica dễ dàng tách thành những tấm phẳng song song, còn theo

phương ngang khó tách thành tấm phẳng.

Các tính chất trên là do kết quả của tinh tuần hoàn của mạng:

những nút tương đương nhau được lặp lại một cách tuần hoàn trong

không gian của mạng theo một phương xác định là nguyên nhân của

tính đồng nhất. Con theo những phương khác nhau khoảng cách và

lưc liên kết giữa các hạt là khác nhau ( trừ trương hợp đối xứng) nên

tính chất của tinh thể là khác nhau (dị hướng).

b. Dạng bề ngoài của tinh thể.

Khi quan sát các tinh thể cái đập vào mắt ta đầu tiên chính là

hình đạng đều đặn ở bên ngoài của tinh thể. Tất cả các tinh thể trong

4

(a) (b)

Hình 1.2. Hình đạng bên ngoài của (a) tinh thể muối

và tinh thể thạch anh (b).

điều kiện thành tạo lý tưởng đều có đạng đa diện được giới hạn bởi

các mặt phẳng. Ví dụ: Tinh thể muối (NaCl), tinh thể thạch anh

(SiO2 ) (hình1.2).

Chính hình đạng đẹp đẽ bên ngoài của tinh thể là cơ sở cho các

nhà tinh thể học đưa ra các giả thuyết về cấu trúc tinh thể. Ngay từ

thế kỷ 17 vấn đề cấu tạo bên trong tinh thể đã được nghiên cứu. Tuy

nhiên việc nghiên cứu này đang còn hạn chế vì chưa có phương tiện

gì để đi sâu vào bên trong tinh thể. Các giả thuyêt về cấu trúc tinh

thể đưa ra lúc bấy giờ chỉ dựa trên việc quan sát hình đạng bên

ngoài của tinh thể.. Nổi bật trong giai đoạn này có giả thuyết của R.

Hauy ( 1743-1822), một nhà tinh thể học ngừơi Pháp, đưa ra năm

1784 trên cơ sở nghiên cưú tính dễ tách của tinh thể Can-xít (

CaCO3 ): " Tinh thể gồm những hạt nhỏ xếp khít đều đặn ".

Các giả thuyết này tuy đang còn đơn giản nhưng cũng đã nói lên

được phần nào cấu trúc bên trong của tinh thể và mãi đến năm 1912

mới được khẳng định bằng thực nghiệm sau phát hiện của V. Laue

về hiện tượng nhiễu xạ của tia X trên tinh thể.

5

Như vậy đăc trưng nổi bật của tinh thể là tính đều đặn của cấu

tạo bên trong và tính đối xứng ta quan sát được từ đạng bên ngoài

của tinh thể chính là biểu hiện tính đối xứng của cấu trúc bên trong

của tinh thể.

1.2 Vật vô định hình.

Trong điều kiện thành tạo nhanh chóng của vật rắn, các nguyên

tử bên trong không kịp sắp xếp theo một trật tự nhất định ta sẽ được

vật vô định hình. Như vậy trong vật vô định hình các nguyên tử,

phân tử sắp xếp một cách hỗn loạn. Ví dụ về vật vô định hình như

thủy tinh, một số nhựa hữu cơ, keo. Chính do tính mất trật tự trong

cách sắp xếp này mà vật vô định hình có các đậc điểm sau:

t t

(a) (b)

Hình 1.3. Đường nóng chảy của (a) vật vô định hình

(b) vật tinh thể.

- Không có nhiệt độ nóng chảy hoặc đông đặc xác định, khi

nung chúng mềm từ từ, giữa trạng thái lỏng và rắn không có ranh

giới phân biệt. Điều này có thể thấy rõ nếu so sánh đường nóng chảy

( đường nguội) của vật vô định hình và vật tinh thể (hình 1.3).

- Tính chất của chúng theo những phương khác nhau đều giống

nhau (tính đẳng hướng).

T

0C

Pha lỏng

Pha rắn

T

0

Pha lỏng

T

0C

Pha rắn

Ranh giới

6

§2.Tính đối xứng của tinh thể .

1. Khái niệm về đối xứng.

Khi quan sát một bông hoa ta thấy các cánh hoa đối xứng xung

quanh một trục, tương tự như vậy hai cánh của một con bướm cũng

đối xứng nhau qua một mặt phẳng . Như vậy ta có thể định nghĩa

tính đối xứng của một vật như sau:

" Một vật được gọi là đối xứng nếu nó bao gồm những phần bằng

nhau được lập lại có qui luật ". Trong hình học sơ cấp từ " bằng

nhau" được định nghĩa :" hai hình được gọi là bằng nhau nếu có thể

chồng khít chúng lên nhau ". Tuy nhiên trong khái niệm đối xứng từ

bằng nhau phải được hiểu theo định nghĩa rộng hơn của nhà hình

học Đức A .F. Mebius ( 1790-1868): " Hai hình được gọi là bằng

nhau nếu ứng với một điểm của hình này ta có một điểm của hình

kia, thêm vào đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của hình này

bằng khoảng cách giữa hai điểm tương ứng của hình kia ". Như vậy

từ bằng nhau ở đây còn bao hàm cả hình này là ảnh của hình kia qua

gương phẳng. Chẳng hạn bàn tay phải và bàn tay trái.

Có hai phương pháp để nghiên cứu tính đối xứng của tinh thể:

phương pháp vĩ mô và phương pháp vi mô. Trên quan điểm vĩ mô

sự đối xứng của tinh thể là sự đối xứng của các tinh chất mà ta quan

sát được, còn trên quan điểm vi mô thì đó là sự đối xứng của tinh

thể tức là sự đối xứng về cấu trúc, và vì mọi tính chất vật lý mà ta

quan sát được suy cho cùng cũng đều do sự sắp xếp của các nguyên

tử qui định, nên hai phương trên phải cho những kết quả tương tự.

2. Các yêú tố đối xứng cơ bản .

Để mô tả chính xác tính đối xứng hay mức độ đối xứng của một

tinh thể, người ta thường sử dụng các yêú tố đối xứng. Có thể hiểu

7

yêú tố đối xứng là những điểm, những đường thẳng hay mặt phẳng

được đặt trong tinh thể mà sau khi thực hiện phép biến đổi qua nó

các phần tử bằng nhau của tinh thể lại lặp lại theo qui luật ( tinh thể

trùng lại với chính nó). Bản thân phép biến đổi mà ta tác dụng gọi là

phép biến đổi đối xứng.

a. Tâm đối xứng.

Tâm đối xứng là một điểm bên trong hình, thường được ký hiệu

C và được định nghĩa như sau: ta có vectơ r, qua phép biến đổi C

vectơ r biến thành -r thì phép biến đổi đó gọi là đối xứng tâm hay

phép nghịch đảo, bản thân điểm C là tâm đối xứng.

Ví dụ: Xét hình bình hành ABA'B' . Ta thấy M và M' đối xứng

nhau qua C, tương tự A A' , B B' cũng đối xứng nhau qua C ( hình

1.4 a ).

Trường hợp tinh thể có tâm đối xứng C, nếu tồn tại mặt ABC thì

phải tồn tại mặt A'B'C' song song với mặt ABC, có diện tích bằng

nhau, định hướng ngược chiều nhau ( hình 1.4.b).

Trong tinh thể nếu với một mặt ta không tìm được một mặt khác

song song với nó và bằng nó thì tinh thể đó sẽ không có tâm đối

xứng. Ví dụ : hình tháp (hình 1.4.c ).

A M B

A' M' B'

C

C

A B

B' A'

C' (a) (b) (c )

Hình 1.4. Tâm đối xứng C trong (a) hình bình hành

(b) tinh thể lập phương (c) không có tâm đối xứng.

8

b. Mặt đối xứng.

Mặt đối xứng hay còn gọi mặt phản xạ gương là mặt phẳng chia

vật ra làm hai phần bằng nhau và đối với nhau như vật và ảnh

qua gương. Mặt đối xứng thường được ký hiệu P (ký hiệu Quốc tế

là m).

Ví dụ: Trong hình chữ nhật qua tâm của nó và song song với các

cạnh có thể kẻ hai mặt đối xứng P và P' thẳng góc với mặt phẳng tờ

giấy. Mặt P'' qua AD cũng chia hình chữ nhật ra làm hai phần bằng

nhau nhưng không phải là mặt đối xứng vì hai phần đã chia không

phải là ảnh của nhau qua mặt gương P''. Điểm đối xứng của E

qua mặt P'' là E1 nằm ngoài hình chữ nhật ( hình 1.5 a).

Trong tinh thể lập phương có chứa 4 mặt đối xứng thẳng đứng,

một mặt nằm ngang, 4 mặt nằm nghiêng (9P) ( hình 1.5b).

A P B

P' E1

P''

E D

(a) (b)

Hình 1.5.Các mặt đối xứng trong (a) hình chữ nhật

(b) tinh thể lập phương

c. Trục đối xứng.

Trục đối xứng thường được ký hiệu Ln ( ký hiệu Quốc tế là n).

- Khi ta quay vật ( tinh thể )xung quanh một trục với một góc ( nào

đó, nếu vật trùng lại với chính nó thì trục quay được gọi là trục đối

9

xứng. Ví dụ: khi quay khối lập phương quanh trục đi qua tâm của

hai mặt đối diện một góc 900

, ta thấy khối trùng lại với chính nó

nghĩa là ta không thể phân biệt hình lập phương trước và sau khi

quay ( hình 1.6a).

-Góc quay bé nhất để tinh thể trùng lại với chính nó được gọi là góc

quay cơ sở. Ví dụ: Đối với hình lục giác đều các góc quay để hình

trùng lại với chính nó có thể là 600

, 1200

, 1800

, 3600

, trong đó góc

600

là góc quay cơ sở ( hình 1.6b).

-Số lần thực hiện phép quay để vật trùng lại với chính nó được gọi là

cấp ( bậc) của trục đối xứng và được xác định: n = 3600

/ (, n = 1,

2, 3, 4 ..... nghĩa là một vòng 3600

bao giờ cũng chứa một số

nguyên lần góc quay cơ sở ). Bậc của trục đối xứng cũng chính là

số lần hình trùng lại với chính nó khi ta quay đủ một vòng quanh

trục đã cho.

Hình 1.6. (a) khối lập phương (b) hình lục giác đều

-Khi n = 1, góc quay cơ sở ( = (3600

/ 1) = 3600

. Vậy một vật có

hình đạng méo mó bất kỳ khi quay quanh một đường thẳng bất kỳ

một góc 3600

bao giờ cũng trùng với chính nó. Do đó trục bậc 1

(L1) không mang một nội dung đối xứng nào.

(a) (b)

10

-Với n = 2 (L2) , = 1800

; n = 3 (L3) , = 1200

; n = 4(L4), = 900

n = 5 ( L5 ) , = 720

; n = 6 ( L6 ) , = 600

; ....n = (L ), = .

Các trục đi qua tâm các đa giác đều như tam giác , tứ giác, ngũ

giác, lục giác đều v.v là những ví dụ của các trục bậc 3, 4, 5, 6...

Như vậy trong hình học ta có vô số trục đối xứng với n = 1, 2, 3 ... .

Trong tinh thể thì sự việc đơn giản hơn nhiều, n và chỉ nhận

những giá trị xác định chứ không thể bất kỳ. Cụ thể trong tinh thể

chỉ có các trục đối xứng bậc 1, 2, 3, 4 và 6. Ta sẽ chứng minh

điều đó.

Ta đã biết mọi tinh thể đều được xây dựng từ nhưng hạt vật chất

(nguyên tử, phân tử, ion) phân bố một cách có trật tự trong không

gian tạo thành mạng tinh thể. Tính chất cơ bản nhất của mạng tinh

thể là tính tịnh tiến tuần hoàn : nếu gọi a là thông số mạng theo một

phương nào đó thì khoảng cách giữa hai nút mạng bất kỳ nằm trên

phương mạng đó sẽ bằng một số nguyên lần a. Chính tính chất này

đã hạn chế số trục quay trong tinh thể. Giả sử A , B là hai nút mạng

tương đương của một mạng tinh thể nào đó, nằm cạnh nhau cách

nhau một chu kỳ mạng a (hình 1. 7). Tinh thể có trục Ln với góc

quay cơ sở = (3600

/ n) . Qua A ta đặt một trục đối xứng bậc n

thẳng góc mặt phẳng hình vẽ. Khi quay mạng tinh thể quanh A một

góc thì mạng tinh thể trùng lại với chính nó, do đó B sẽ đến vị trí

B' và B' cũng phải là một nút mạng. Vì A và B tương đương nhau có

thể suy ra nhau bằng phép tịnh tiến a , do đó qua B cũng phải có

trục Ln thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ. Khi thực hiện phép quay

quanh trục qua B thì nút mạng A sẽ đến A' ( A' cũng là nút mạng ).

11

Hình 1. 7

Ta dễ dàng chứng minh được A' B' // A B và theo tính chất đã nêu

trên :

A' B' = k A B, với k là số nguyên.

Từ hình vẽ, ta có:

A' B' = IH + 2IB' = a + 2A B'sin( - /2 )

= a + 2 a sin ( - /2 ) = a[1-2sin( / 2- )]

A' B' = a[ 1 - 2cos ]

Suy ra : a (1 - 2 cos ) = ka , hay 2cos = 1 - k = N.

Vậy : cos = N / 2

Vì k là số nguyên nên N cũng phải là số nguyên, nhưng có thể

dương, âm. Ta có điều kiện:

cos 1, suy ra N / 2 1. Vậy N = 0, 1, 2.

Vì N chỉ nhận những giá trị 0, 1, 2 nên nhận các giá trị

900

, 600

,1200

, 1800

, 3600

. Ta có thể tổng kết lại ở bảng 1.1.

N Cos n

-2

-1

0

1

2

-1

-1/2

0

1/2

1

1800

1200

900

600

3600

2

3

4

6

1

A a B

B' I H A'

Bảng 1.1 Các giá trị của góc quay và trục quay n trong tinh thể.

12

Như vậy trong tinh thể chỉ có các trục quay bậc 1, 2, 3, 4, 6,

không có trục quay bậc 5 và lớn hơn 6.

Ví dụ : Hình lập phương có các trục đối xứng sau: 3L4 4L3 6L2 .

Trục L4 qua tâm và thẳng góc với mặt, trục L3 qua từng cặp đỉnh

đối nhau ( qua đường chéo khối ), trục L2 qua những trung điểm của

từng cặp cạnh đối nhau ( hình 1.8).

L4 L3

L4

L4

Hình 1.8. Các trục đối xứng 3L4 4L3 6L2 trong

tinh thể lập phương.

Tóm lại do tính tuần hoàn của mạng tinh thể, trong tinh thể chỉ

có các trục đối xứng bậc 1, 2, 3, 4, và 6. Điều này sẽ thấy rõ hơn

4L3

L2

6L2

3L4

13

trong mạng phẳng: với các hình có trục đối xứng bậc 2, 3, 4, 6 thì nó

sẽ xếp kín mặt phẳng, trái lại với các hình có trục đối xứng bậc 5 và

lớn hơn 6 sẽ không xếp kín mặt phẳng.

3. Tổ hợp các yêú tố đối xứng.

a. Tổ hợp của trục đối xứng Ln với tâm đối xứng C nằm trên

trục sẽ cho ta một yêú tố đối xứng mới là trục đảo, ký hiệu Lin ( ký

hiệu Quốc tế: n ). Chúng ta hiểu từ tổ hợp là phép tác động liên tiếp

hai phép biến đổi đối xứng. Như vậy trục đảo là một đường thẳng

mà khi quay quanh nó một góc quay xác định tương ứng với trục

quay và phản chiếu qua tâm đối xứng thì tinh thể sẽ trùng lại với

chính nó.

Ví dụ: Một đa diện có đạng lăng trụ thẳng với hai đáy là tam giác

đều, như vậy trong đa diện có chứa trục L3 đi qua tâm hai đáy và

thẳng góc hai mặt đáy. Nếu ta quay đa diện tinh thể quanh trục L3

Hình 1. 9. Trục đảo Li6

một góc 600

, ta thấy cạnh A B đi đến vị trí A1 B1 , tiếp đến phản

chiếu qua tâm C sẽ chồng nó với HE : hình lăng trụ trùng lại với

chính nó. Có cả thảy 6 lần trùng lặp khi quay đủ 3600

, như vậy trục

A

D1

B

B1

A1

C

H

E

D

G

G1

E1

H1

14

đối xứng L3 cũng chính là trục đảo Li6 ( hình 1.9). Tương ứng với 5

trục quay ta có 5 trục đảo : Li1 , Li2 , Li3 , Li4 , li6.

+Trường hợp trục quay là trục đối xứng bậc chẳn L2n thì tổ hợp

của nó với tâm đối xứng sẽ làm xuất hiện thêm một mặt đối xứng đi

qua tâm đối xứng và thẳng góc với trục đối xứng. Ta có thể biểu

diễn như sau : C L2 = P

+Tổ hợp của mặt đối xứng P với tâm đối xứng C nằm trong mặt

sẽ làm xuất hiện một trục đối xứng bậc chẳn.: C P = L2 (L2n ).

+ Khi trong tinh thể tồn tại một trục bậc chẳn L2n và một mặt đối

xứng thẳng góc với trục này thì trong tinh thể luôn luôn tồn tại một

tâm đối xứng C nằm ở giao điểm của trục quay và mặt đối xứng.

+ Khi trong tinh thể có tâm đối xứng C thì tổng số các trục bậc

chẳn sẽ bằng tổng số các mặt đối xứng và ngươc lại ( mỗi trục bậc

chẳn thẳng góc một mặt đối xứng).

Ví dụ: Trong tinh thể lập phương có các yêú tố đối xứng như

sau:3L44L36L29PC. Ta thấy tổng số các trục bậc chẳn bằng 9, tổng

số các mặt đối xứng cũng bằng 9.

b. Tổ hợp của trục quay với trục quay.

Nếu có hai trục quay cắt nhau thì tổ hợp của hai trục quay đó sẽ

làm xuất hiện một trục quay thứ ba đi qua giao điểm của chúng

( Định lý Euler).

Ta xét hai trục quay A (góc quay cơ sở ) và B ( góc quay cơ

sở ) cắt nhau ở tâm một hình cầu ( hình 1.10 ). Phép quay A sẽ

đưa điểm [ 1 ] đến điểm [ 2 ] và phép quay B sẽ đưa điểm [2] đến

[3]. Qua [1] và [3] ta dựng mặt phẳng xích đạo, cung [ 1 ] [3] xác

định một góc quay quanh một trục C thẳng góc mặt phẳng xích

đạo. Như vậy tác dụng liên tiếp của hai phép quay A , B tương