Vật lý chất rắn

• - • • * », - ,

chưựH ^ trìnhnhà Nước

0IỆN TỬ - Tirl Nọc - VIỄN THÔNG KC - 01

g£ -> s. vũđình cự

VẠ TIA

CHAV ñAas

Chương I

TINH THỂ

Trong chương này- sẽ xét những khái niệm cơ bản vê đối xứng tin h

thể, liên quan giữa đối xứng tin h thể và tính dị hưởng của các tín h chất

vật lý trong tin h thể. Sau đó sẽ xét đến một số khái niệm chính của hóa

học tin h thể, chủ yếu là các loại liên kết trong tinh thể. Từ đây thấy

được mối liên quan giữa bản chất của các hạt (nguyên tử, iôn, phân tử )

tạo nên tin h thể. Cuối cùng sẽ xét đến một số dạng sai hỏng chính của

các tin h thể thực.

I- ĐỐI XỨNG TINH THỂ

1.1. M ạng tỉn h th ể

Tập hợp nhứng điểm mà vị trí đặc trưng bằng vectơ R n (gọi là vectơ

mạng) thỏa mãn điều kiện:

R n = n 1a 1 + n2a 2 + n3a 3 (1.1)

trong đó a j, a 2, a 3 là ba vectơ không ở trong cùng một m ặt phẳng và n j,

n2, n 3 là những số nguyên (= 0, ±1, ±2, ±3...), tạo thành mạng lý

tưởng. Những điểm này gọi là nút mạng, còn các vectơ a.ị gọi là các

v e c tơ cơ sở. Như vậy mạng lý tưởng là một khái niệm toán học, nó bao

trùm toàn bô khòng gian, và có tính tuần hoàn trong không gian đặc

trưng bằng (1.1). Từ công thức này ta thấy rằng chỉ cần biết các vectơ

cơ sở là có thể thực hiện được toàn mạng. Thực vậy từ ba vectơ cơ sở aj

có thể dựng nên hình hộp (nói chung là hình hộp xiẻn) có các cạnh song

song và dài bằng chúng. Hình hộp này, như vậy, chỉ có các điểm mạng ỡ

trên các đỉnh và được gọi là ô m ạ n g n g u y ê n th ủ y (hay là ô m ạ n g

đ ơ n g iản ). Chỉ việc tịnh tiến ô mạng này theo các phép tịnh tiến R n

với mọi giá trị của n (nj, n2, n3), ta sẽ thu được toàn mạng. Với một

mạng có nhiều cáclỊiỵChọn các vectơ cơ sô và ô nguyên thủy. Thí dụ với

mạng hai chiều trê li; hình vẽ 1.1, có nhiều cách chọn véctơ cơ sở.

N hư sẽ th ấ y sau này, tín h đối

xứng của ’m ạng nhiều khi không

được ph ản án h đày đù trên ô m ạng

nguyên th ủ y . Bởi vậy ngoài ô

nguyên thủy, người ta còn dùng ô

cơ bản, nó thể chứa các điểm mạng

ở ngoài các đỉnh (H .l.l). o cơ bản

thường phản ánh đầy đủ hơn tính

đối xứng của m ang tin h thể. Hình 1.1.

Một đường th ẳn g chứa các điểm nút mạng gọi là đường m ạng N hững

đ ư ờ n g m ạ n g song song với nhau ứng với mòt phư ơng m ạn g cua tin h

thể.

M ặt phẳng chứa các điểm nút mạng gọi là m ặt m ạng. N hững m ặt

m ạng song song với nhau có cùng m ật độ nút mạng

Nếu các nguyên tử (phân tử, iôn) thuộc một hay nhiều loại, đươc xếp

vào m ạng lý tưởng và tôn tại cân bằng với nhau, sao cho lân cân mỗi

điểm n ú t m ạng bất kỳ đều có một.nhóm các nguyên tử bố trí giông hêt

nhau (về vị trí, về loại v.v...) thì ta có một m ạn g tin h th ể ly t ư ở n g

N hư vậy m ạng tinh thể lý tưdng cũng chiếm đầy không gian như m ang

lý tưởng, nhưng không trống rỗng mà chứa vật chất. Mạng tin h thể lý

tưởng củng có tín h tuần hoàn, hay là tính đối xứng tịn h tiến nghĩa là

sẽ tự trù n g với nỏ khi thực hiện phép tịnh tiến R N (1 1 ). Cũng l ì tín h

dối xứng tịn h tiến này mà tấ t cả các điểm nút mạng tinh thể đều tương

đương. Điều đó có nghĩa là tất cả các tính chất vật lý của mạng tin h thể

xét lân cận một nút nào đó, sẽ không phụ thuộc vào vị trí cua nut

ấy. ■ ạng

M ạng tin h thể lý tưởng chỉ là hình ảnh trừu tượng hóa của cá c h

thể có thực trong tự nhiên hoặc nhân tạo. T inh th ể thự c t -C tm h

cấu trúc tuần hoàn, nhưng khác với mạng tinh thể lý tưởng ơ ch*g CÓ

hữu hạn, nghĩa là có kích thước xác định; sự bố trí các nhóm nguyê t°

à lân cận n út mạng không tuyệt đối giống hệt nhau mà ¿6 những ư

hỏng. N hững sai hỏng này có thể xảy ra trong phạm vi một nút hay môt

tập hợp nút; ngoài ra các nguyên tử không cố định mà thực hiện nhữ

dao động xung quanh vị trí cân bằng của chúng. ng

. Tuy nhiên, khái niệm mậng tinh thể lý tưởng giúp ta bước dầu hiểu

được bản chất dị hướng của các đặc trưng vật lý cũng như ảnh hưởng

của cấu trúc tuần hoàn lên các tính chất đó của tinh thể thực.

1.2. N hóm đ iểm tin h th ể

Dưói đây sẽ xét đến các tính chất đối xứng của cấu trúc tinh thê và

dựa vào đó để phân lớp chúng. Tinh thể xét ở đây là những m ạng tinh

thể lý tưởng.

Phép biến đổi R, khi tác dụng lên tinh thể (thí dụ làm quay tinh thể

quanh một trục hay làm tịnh tiến tinh thể v.v...) lại cho một tin h thê

trù n g với tin h thể ban đầu, gọi là p h ép b iến đổi đối xứ n g cùa tin h

thể đó.

Hãy xét một tinh thể mà A và B là hai phép biến đổi đối xứng cùa nó.

Nếu định nghĩa A.B là phép biến đổi thụ được bằng cách thực hiện lần

lượt B rồi A, thì rõ ràng c = A.B cũng là phép biến đổi đối xứng của

tin h thể trên. T ất nhiên phép đồng nhất E luôn luôn là phép biến đổi

đối xứng của tỉnh thể. Nếu dùng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm, coi E là

phần tử đơn vị và tích các phần tử được định nghĩa như trên, thì tập

hợp các phép biến đổi đối xứng của một tinh thể hợp thành một nhóm,

gọi là nh ốm đ ối 'xứng của nó. Mỗi cấu trúc tinh thể được đặc trưng

bằng nhóm đối xứng của nó.

Khi chưa để ý đến phép tịnh tiến (1.1), nhóm đối xứng của tinh thể

chỉ chứa các phép quay, phản chiếu và tổ hợp của hai loại phép này,

được gọi là nhóm điểm (các phép biến đổi đối xứng của nhóm điểm,

khi tác dụng lên tinh thể, giữ nguyên không làm dịch chuyển ít nhất

một điểm của tinh thể).

Những tỉnh thể của các chất khác nhau mà có cùng cấu trúc tin h thể,

nghĩa là có cùng nhómv điểm, sẽ thuộc vào một lớp tinh thể. Bởi vậy số

lớp tỉn h th ể chính là số nhóm điểm có thể có.

Dưói đây sẽ xét kỹ các nhóm điểm, trước hết xét các phép biến đổi

đối xứng của chúng như: quay, phản chiều, quay - phản chiếu, nghịch

đảo.

Để xác định một phép quay phải biết trục quay c và góc quay tp.

Trong inôi trường hoàn toàn đồng nhất và đẳng hướng thì góc quay <p có

th ể có giá trị tùy ý và phép quay quanh một trục luôn luôn là một phép

đối xứng. Nhưng vì tin h thể có cấu

trúc túần hoàn, nên muốn cho một

phép quay là môt phép đối xứng

th ì góc quay của nó chỉ có thể có

một số giá trị nào đó. Có thể tìm

được các giá trị cho phép ấy của ip.

Giả sử trục của phép quay đi qua

n út mạng M và thẳng góc với mặt

phẳng của hình 1.2, góc của phép

quay đó giả sử bằng <p. Nếu đó là

phép đối xứng, th ì sau khi thực

hiện nó điểm A dời đến A’ và A’ cũng phải là điểm mạng. Vì tín h chất

tương đương của các điểm nút mạng, nên tại A’ cũng có trục quay song

song với trục quay di qua M và cũng có phép quay với góc quay quanh

trục đi qua A’ này. Phép quay này cũng là phép đối xứng, nên sau khi

thực hiện nó, điểm M dời đến M’ với M’ cũng là điểm nút m ạng (H .l-2).

Vì A, M’ đều là điểm nút mạng, mà MA’ lại song song với AM', nên ta

có hệ thức:

AM’ = n MA’ = n.a

với n là số nguyên. Mặt khác, từ hình 1-2 dễ dàng thấy rằng:

AM’ = MA’ + 2a cos (ĩi — <p )

= a [l+ 2 cos (ĩt — <p )]

= a(l-2 cos<p )

So sánh hai biểu thức của AM’ ta được:

1-2 cosy) - n (1.2)

M A’

Hình 1.2.

Từ hệ thức này chúng ta thấy rằng chỉ có thể có các giá trị cho trong

bảng 1.1.

Bảng 1-i

<p 360° 180° 120°

ơ>

ằ 1

1 2 3 4 6

•p A □ . c = >

N hững số nguyên k =2ĩt/<p , tương ứng với các phép quay cho phép,

gọi là bậc của trụ c đối xứng, mà quanh nó thực hiện phép quay với góc

quay <p. N hư vậy tin h thể không thể có trục đối xứng với bậc khác các

giá tr ị 1, 2, 3, 4, 6. Chú ý rằn g khòng có trục đối xứng bậc không

nguyên, bậc 5 và bậc lốn hơn 6. Kết qủa này có thể chứng m inh được

bằng cách rấ t tổng quát nhờ lý thuyết biểu diễn của nhóm quaý. N hữ ng

phép quay với trục đối xứng bậc k thường được ký hiệu k (C^), còn trê n

h ìn h vẽ bậc của trục dối xứng thường được chỉ bằng các ký hiệu nh ư

trong bảng 1.1.

Phép phản chiếu đối xứng qua một m ặt phẳng được xác định bằng

m ặt phẳng đó, còn gọi là m ặt phẳng gương. Phép phản chiếu được ký

hiệu bằng m (hoặc ơ). Hiển nhiên m.m = m^ = E.

T rong m ột nhóm điểm có th ể có cả trục đối xứng và m ặt phẳng

gương. Ta xót trường hợp khi có một m ặt phẳng gương th ẳn g góc với

trục đối xứng. Khi đó tích của phép quay kíCịị.) và phép phản chiếu m h

tạo nên phép biến đổi đối xứng, ký hiệu là k (S^).

k = k .mjj

(chỉ số h để chỉ rằng m ặt gương vuồng góc với trục quay). N hững phép

đối xứng sk gọi là phép quay - phản chiếu. S2 chính là phép nghịch đảo

I. Phép nghịch đảo được đặc trưng bằng tâm đối xứng I là giao điểm của

trục bậc hai và m ặt gương vuông góc với nó.

Với các phần tử đối xứng như: trục dối xứng, m ặt phẳng gương, trục

đối xứng quay - phản chiếu, tâm đối xứng, ta có thể xây dựng nên các

nhóm điểm tin h thể có thể có. Sự rú t ra nhứng nhóm điểm tin h thế đó

không trìn h bày trong giáo trìn h này. Có cả thảy 32 nhóm điểm tin h

thể, ký hiệu cùa chúng (ký hiệu quốc tế và ký hiệu theo Schonílies) và

các phần tử đổi xứng của chúng cho trong bảng 1.2.

Bảng 1-2

thứ

:ự

Tinh hệ Ký hiệu

quốc tế :

Ký hiệi

ỉchonỉlii

1 Ba nghiêng 1 Ci

2 1 Ci

3 Một nghiêng m Cs

4 2 c 2

5 2/m C2h

6 Hè thoi 2mm C 2V

7 — 222 d2

8 mmm D2h

9 4 phương 4 c 4

10 4 S4

11 4/m C4h

12 4mm C 4V

13 42m D2d

14 422 D4

15 4/mrmn D4h

16 3 phương 3 c 3

17 5 C3i

18 3m C 3V

19 32 Ds

20 _____________ 3m Dm

21 6 phương 5 c 3h

22 — 6 C6

23 _______ _____ 6/tn Cgh

24 ------- ------------- 6m2 D3h

25 ------- ------------- 6mm Cfív

26 622 De

27 — 6/mmm Dôh

28 Lập phương 23 T

29 — m3 Th

30 4m3 Td

31 432 0

32 m3m Oh

Nhứng phần tử

đối xứng

SỐ

phần

tử

E ,I

h, mh

E, c 2

E, c 2,1, mh

E, C2, m’v, m”v

E, C2, C’2) C”2

E, c 2) C’2, C” 2, 1, mh, m’v, m’

E, 2C4, C2

E, 2S4, c 2

E, 2C4, c 2, 1, 2S4, mh

E ,2C4 C2 2m V 2m"v

E, c 2, C’2> C”2, 2S4, m’v xn”v

E, 2Õ4, c 2> 2C’2, 2C”2 ’

E, 2C4, Cạ, 2C’Ị, 2C”2, 1,

2S4, mh, 2m’v> 2m

E,2C3

E, 2ặ , I, 2S6

E, 2C3, Smy

E, 2C3, 3C2

E, 2C3, 3C2, 1, 2Sg, Sniy

E, 2C3, mjj, 2S3

E,2Cg, 2C3, C2

E, 2Cg, C2,2C3,I, 2S3)2S6j

E, 2C3, 3C2, mh, 3m’v, 2Ồ3

E, 2Cg, 2C3, C2) 3m’v, 3m”v

E, 2Cg, 2C3, c 2, 3C*2, 3C”2

E, 2Cệ, 2C3, C2, 3C 2, 3C”2

1, 2Sg, 2S3, mh( 3m’v, 3m”v

E, 8C3, 3C2

E, 8C3, 3C2,1, 8Sg, 3m

E, 8C31 3C2, 6m, 6S4

E, 8C3, 3C2, 6C’2, 6C4

E, 8C3, 3C2, 6C*2, 6C4,

I, 8SgI 3m’, 6m’ , 6S4

Trong ký hiệu quốc tế của các nhóm điểm chỉ rõ những phần tử đối

xứng chính và vị trí tương đối giữa chúng. Các trục đối xứng bậc k được

ký hiệu bằng số k, còn trục quay - phản chiếu bậ<K k ký hiệu bằng k.

Chữ m chỉ m ặt phẳng gương. Nếu nhóm có những m ặt gương không

tương đương với nhau, thì sẽ ký hiệu bằng nhiều chữ m. Khi trục bậc k

vuông gốc với m ặt gương m, ta ký hiệu bằng gạch dài giữa chúng (k/m).

Thí dụ 2/m là nhóm điểm tinh thể có trục bậc hai và m ặt gương vuồng

góc với trục đó; 42m là nhóm điểm- tinh thể có trục quay - phản chiếu

bậc 4, trục bậc hai và m ặt gương; 6mm là nhóm điểm tinh thể có trục

bậc 6 và hai hệ m ặt gương (đi qua trục bậc 6).

Trong bảng 1.2 các m ặt gương đi qua trục đối xứng chính ký hiệu

bằng chữ mv.

Chúng ta thâv rằng có cả thây 11 nhóm điểm tinh thể chỉ chứa các

phép quay (gọi là các nhóm điểm quay thúần túy): 1,2,3,4,6, 222, 32,

422, 622, 23,432. Có thể chứng m inh rằng đó là những nhóm quay

thuần túy có thể có của tinh thể, bằng nhận xét sau đây. Một nhóm

điểm tin h thể nếu là nhóm hữu hạn chỉ chứa các phép quay, thì nó có

thể sinh ra nhờ một số trục quay giao nhau tại một điểm. Hệ các trục

quay này phải là tự hợp, nghĩa là khi thực hiện phép quay quanh trục

này thì các trục khác sẽ đổi chỗ cho nhau mà không xuất hiện trục mới.

Nếu chú ý đến cả phép phản chiếu, quay - phản chiếu và nghịch đảo

ta sẽ thu dược các nhóm điểm tinh thể khác. Cần nhớ rằng mạng lý

tưởng luôn luôn có tâm đối xứng. Mạng tinh thể lý tưởng có được bằng

cách điền vào các nút của mạng lý tưởng các nhóm nguyên tử. Nếu các

nhóm nguyên tử này có đối xứng giống như hoặc cao hơn của mạng lý

tưởng, thì mạng tinh thể sẽ có nhóm điểm là nhóm điểm của mạng lý

tưởng. Bởi vậy nhóm điểm tinh thể có đối xứng tối đa là nhóm có chứa

phép nghịch đảo I. Muốn có nhóm điểm tinh thể có đối xứng tối đa này

ta xuất phát từ 11 nhóm điểm quay thuần túy ờ trên. Lấy các phần tử

của nhóm nậy đem nhân với phần tử I ta được các phần tử mới. Các

phần tử mới đó kết hợp với nhóm xuất phát lại tạo nên một nhóm và

chính đó là nhóm phải tìm. Theo ngôn ngữ của lý thuyết nhóm ta đã

thực hiện tích trực tiếp của nhóm ban đầu với nhóm (E, I). Thí dụ xuất

phát từ nhóm 32 ta được:

(32)<8>(E, I) = (E, 2C3j 3Ca)®( E, I)

— (E, 2C3, 3Ca, I, 2Sß, 3mv) — 3m

(chú ý rằn g C3.I = Cß.m = s6; C2 I = m). Làm như vậy cho 11 nhóm

điểm quay thuần túy, ta được 11 nhóm điểm tin h thể có đối xứng tối đa

và chứa I là:

T, 2/m, 3, 4/m, 6/m, mmm, 3m, 4/mmm, 6/mmm, m3, m3m *

Vì đây là nhóm có đối xứng tối đa n^u các nhóm điểm tin h thể quay

thuàn túy chính là những nhóm con, chỉ chứa các phép quay, của chúng.

. Thực vậy khi điền các nhóm nguyên tử vào các nút mạng lý tưởng, nếu

các nhóm* nguyên tử có đối xứng thấp hơn đối xứng của mạng lý tưởng,

th ì nhóm điểm tin h thể có được sẽ là nhóm con của nhóm điểm có dối

xứng tối đa. SỐ phần tử của nhóm con này phải có m ặt cả ở trong nhóm

đối xứng của nhóm nguyên tử. Ngoài các nhóm con này, nhóm điểm có

dối xứng tối đa còn còn các nhóm con khác, cụ thể là các nhóm con

không chứa phần tử I. Số nhóm con mới này suy từ 11 nhóm điểm tin h

thể có đối xứng tối đa là:

m, 2mm, 4, 4mm, 42m, 3m, 6, Sm2, 6mm, 43m

Như vậy có thêm 10 nhóm điểm tinh thể, tứ c'là có thể có 32 nhóm

điểm tin h thể như trong bảng 1.2. Chúng .ta cũng đã thấy quan hệ giữa

chúng nhờ một số khái niệm đơn giản của lý thuyết nhóm.

1.3. N hóm k h ô n g gian (Fedorov) và nhóm từ tín h (Schubnhỉkov)

Trong mục trên chúng ta chưa xét đến phép tịnh tiến. Như đã nói từ

đầu, bất kỳ tin h thể nào cũng thừa nhận những phép tịnh tiến R n =

n la l + n2a 2 + n 2a 3, v^i a l a2 a3 là rác vectơ cơ sở của mạng đó và ĩiị

ĨÍ2 , n 3 là các số nguyên, lậm các phép biến đổi' đối xứiig. Những phép

tịn h tiến này họp lại th àn h một nhóm, gọi là nhóm tịnh tiến. Thực vậy,

theo định nghĩa tích của hai phép biến đổi như trong mục trên, tích của

hai phép tịn h tiến là một phép tịnh tiến có vectơ dời bằng tổng các

vectơ dời của hai phép thành phần. Nhóm tịnh tiến là nhóm có số phần

tử vô hạn vì m ạng tin h thể là vố hạn. Nó cũng là nhóm giao hoán (abel)

vì tích cùa hai phép tịn h tiến không phụ thuộc thứ tự của chúng.

C húng ta có thể coi những vectơ cơ sở của mạng aj, a2, a3 là những

vectơ dời của các phép tịn h tiến cơ bản, mà mỗi phép tịn h tiến nào khác

đêu là một tổ hợp bậc nhất cả các phép tịn h tiến cơ bản này (với hệ số

là các số nguyên). Bởi vậy độ lớn và vị trí tương đối của các vectơ cơ sở,

hay là dạng của ò cơ bản, sẽ là đặc trưng cho nhóm tịn h tiến cùa m ạng

tin h thể.

Bây giờ ta tìm những quan hệ khác nhau có thể có giữa a^, a 2, a 3-

Trước h ết xuất phát từ trường hợp hai chiều với hai vectơ cơ sở là a.ị,

a 2. Chúng ta thấy có thể có 5 trường hợp khác nhau như sau:

_ i— ~ «n

~Y * 90 Y = 90

ai * a2

Y = 90°

Y =120°

Y * (90° ,120°)

trong đó aj, a2 nghiêng với nhau một góc bằng y. Để có mạng ba cliíều,

ta dựng thêm vào vectơ cơ sở thứ ba a3, không ở trong cùng m ặt phẳng

vói và a 2. Nếu &3 vuông góc vứi m ặt phẳng của a -1 và a 2, thì tương

ứng với (1.3) sẽ có 4 trường hợp khác nhau, vì trường hợp thứ năm có

thể đem về trường hợp thứ hai. Nếu không những a 3 vuông góc với a-1

và a2 mà chúng lại có độ dài bằng nhau aj = a2 = a3, thì ta 99 một

trường hợp mới (chú ý rằrig khi a3 = 8! 5* a2, thì ta không đựợc trường

'hợp mới). Cuối cùng nếu a3 nghiêng với m ặt phẳng (a1# a2), th ì ta Cv’

hai trường hợp mới: a3 có độ dài tùy ý và góc nghiêng tùy ý; 85 = 3 ! =

a2 và a= p =Y * (90°, 120°) ( a, ịì là các góc giữa a3, với a j và a 2). Tóm

lại có tất cả 7 trường hợp khác nhau cho trên bẩng 1.3. N hững ồ cơ bản

ứng với các trường hợp đó cho trên hình 1.3* 1-1* 3.7.

Bảhg 1.3

Tinh hệ Vectơ cơ 8Ở Góc giữa các vectơ cơ sở

Ba nghiêng

Một nghiêng

Hệ thoi

Bốn phương

Ba phương

Sáu phương

Lập phương

al> a2> a3

al ^ &2 ^ a3

al = a2 ^ a3

al = a2 = a3

al = a2> a3

al “ a2 = a3

a * /3 ĩ* Y

a = p = 90°; Y* 90°

a — ộ ~ Y - 90°

a = p = Y = 90°

a = ậ = Y ^ 90°

a = ậ = 90°; Y =120°

a — ậ = Y — 90°

' N hững m ạng tinh thể có cấu trúc cùng ứng vái một trong các trưông

h w trê n đây thuộc vào một tin h hệ. Tinh hệ có tên gọi thể hiện dạng

của ô cô bản. cho a cột thứ nhất cùa bâng 1.3 Cùng ứng V« một dạng Ô

co bàn, tùy ihùộc vảo nhóm đSi xứng của nhóm nguyên tủ x íp vào nút

_ _ CA nhóm điểm khác nhau. Những nhóm m ạng, m ạng tin h the có the co nnuiii

điểm thuộc cùng một tinh hệ chỉ ró trong bang 1.2.

N hu dã nói trước đây, ô những ô cd bân có thế có diêm nút mạng

ngoài các dinh. Bôi vậy những 6 cd bân « . 1 . 3 ; 1.1; 3'7) là " h a “ 8<>

nguyên thủy (đon giản). Từ những 6 dan giản này có th« thêm các điểm

,. _ . .. , V . J áv vào tâm của các mặt biên hay là vào tâm n ú t m ạng vào tâm của hai aay, vau uni ,

của à Khi dó ta duẶc các 6 gọi là tâm đáy tâm m ạt và tam khôl.

Chú ý rằng chi có thế thêm các điểm nút mạng vào các vị trí ê trên,

th i các diem n ü t mạng mái này kết hpp veil các diêm nút mạng cũ mái

tạo ra đưọc một mạng tinh thê thing nhít thao (1.1). Tuy n h ito không

phái vòi bất cứ loại mạng nào ta cũng có thể thêm dupe các điềm nút

m ạng’ Sự thêm vào phải sao cho mạng mOi có a íi xứng không thếp hon

dồi xứng của mạng ban đâu, và V« mọi cách chọn của các vécu, co sỏ

không thể nào dưa dũọc » mạng dó vê các loại 6 mạng dã xét Thi dụ vài

l m ạng ba n ghiêngijî.l.s.l), nếu thêm diễm nủt mạng tâm khôl thi ta có

thể chọn các vecw co sd mái d ỉ thu duọc 6 mạng mái là ò don giãn cũng

thuộc hệ ba nghiêng, voi » mạng lập phuongCH.l 3.7)kh£,ng thỂ tàm đáy

vi khi dó làm giâm dối xứng của mang ban dâu. Vdi ô bốn phưong

(H1.3.4)không thế them tóm dày vì khi dó cô thé dưa vè 0 don giản ban

đâu một cách dễ dàng. Tóm lại có cả thảy 14 loại ô m ạng cơ bản, thuộc 7

hệ tin h thể vối các nhóm tịn h tiến khác nhau. N hững m ạng tin h thể

này, ứng với 'các ô cơ bản trên gọi là m ạng B ra v ais.

Như vậy trong mục trên khi chỉ để ý đến phép quay và phản chiếu, ta

được 32 lớp tin h thể. Trong mục này khi chỉ để ý dến các phép tịn h

tiến nguyên (1.1), ta được 7 tinh hệ và 14 mạng Bravais. Giữa các m ạng

Bravais và các nhóm điểm có sự tương ứng như đã cho trên bảng 1 .2 .

Tuy nhiên đối vớí các mạng tinh thể, ngoài các phần tử đối xứng là

các phép tịn h tiến hoặc các phần tử thuộc nhóm điểm, ta còn có những

phép biến đổi đối xứng khác nữa. Khi để ý đến tất cả các phần tử của

nhóm điểm, nhóm tịn h tiến và phối hợp giữa chúng, ta được nhóm đối

xứng đầy đủ hơn của tinh thể gọi là nhóm không gian tin h thể, hay là

nhóm Fedorov. Mỗi nhóm không gian tương ứng với một loại m ạng

Bravais và một lớp linh th e xác dinh

1-------3?’

7 la 7b

Hỉnh 1.3 .

Nhưng ngược lại, biết mạng uravais và nhóm điểm chưa đủ để xác

định nhóm không gian.

Mỗi phép biến đổi đối xứng của nhóm không gian đều có thể biểu diễn

dưói dạng tích của một phép quay và phép tịn h tiến (nói chung không

phải là phép tịn h tiến nguyên). Phép quay ở đây hiểu theo nghĩa rộng,

nghĩa là bao gồm các phép quay thực và các phép quay kết hợp với phép

phản chiếu (hay nghịch đảo). Thường viết phần tử của nhóm không gian

dưới dạng:

{a Ị t} (1.4)

tro n g đó a là đặc trư ng cho phép quay thành phần, còn t là phép tịn h

tiến th àn h phần. Theo cách biểu diễn (1.4) {E I R n} là phép tịn h tiến

thuần, còn {a I 0} là phần tử của nhóm điểm. Từ (1.4) tích của hai

phần tử trong nhóm không gian sẽ có dạng:

{ữ! I t i ) {a2 I t 2í = {a 102 I tỊ + a xt 2}

Dưới đây không trìn h bày cách rú t ra 230 nhóm không gian tin h thể,

mà chỉ nói đến sự phân loại, ký hiệu và một số đặc điểm chính của các

nhóm đó.

Trong số 230 nhóm không gian tinh thể, có 73 nhóm có đặc tính sau

đây. Các phần tử của các nhóm đó đều có dạng {a I Rn }, nghĩa là phần tịnh

tiến luôn là một phép tịnh tiến nguyên. Những nhóm không gian này gọi

là những nhóm ximophic hay là nhóm không gian Bravais. Trohg 157

nhóm còn lại, mỗi phần tử của nhóm đều có dạng:

{ (X 11 + (a) + Rn } (1.4)’

Như vậy phần tịnh tiến gồm hai phần, một phần là phép tịnh tiến

nguyên còn phần kia phụ thuộc vào phần quay k ết hợp. t(a) phải

k h ác k h ông ít n h ấ t cho m ột phép quay, nêu không thì nhóm trỏ

th à n h nhóm không gian Bravais. N hững phần tử có t(a) ^ 0 chính la

ứng với những phép biến đổi đối xítng mới mà cho đến giờ chưa được xét đến.

Dó là n h ữ n g phép biến đổi đôi xứng

liên q u an với trụ c xoắn ốc và m ặt

trượt.. T inh th ể có trục xoắn ốc bậc n

k hi nao quay tin h thể đỏ xung

q u a n h trụ c đó m ột góc 2k/ 11, và tiêp

t heo tịn h tiến tin h thế song song với

trụ c đó đi một đoạn có độ dài a.m /n,

th ì tin h th ể lại tự trù n g với nó. a là

chu kỹ lặp lại của tin h thể theo

phương của trục xoán ốc. Tùy theo

ch iểu quay ta có trụ c xoan ôc p h ải

và trá i.' C ung lý lu ậ n tương tự như

(lối với các trục quay thông thường, sẽ

íịi 42 45

Hình 1.4.

T inh thể có phần tử đối xứng là m ặt trượt khi nào thực hiện phép

phản chiếu gương qua m ặt đó, rồi tiếp theo tịn h tiến tin h thể đi một

đoạn bằng c/2 và song song với một phương ở trong m ặt trượt, th ì tin h

thể lại tự trù n g với nó. c là chu kỳ lặp lại của tin h thể theo phương

trượt nói trên. Như vậy m ật trượt đặc trưng bằng môt m ặt phẳng và

phương trượt ở trong m ặt phẳng dó. Chú ý rằng đoạn dời chỉ có thể có

độ dài bằng c/2. Thực vậy, nếu thực hiện liên tiếp hai lần phép biến đổi

đối xứng qua m ặt trượt, thì độ dời tổng còng phải bằng đò dài của phép

tịn h tiến nguyên theo phương trượt, tức là c. Trên H.1.5 cho th í dụ về

m ặt trượt.

Vì tín h túần hoàn của mạng tinh

thể nhóm không gian là nhóm có số

ph ần tử vô hạn. Mỗi cấụ trúc tín h

thể ứng với m ột nhóm không gian

xác định, bửi vậy chỉ có 230 cấu trúc

tin h thể khác nhau.

è » •

Để ký hiệu những nhóm không

gian tinh thế dùng hệ thống ký hiệu Hình 1 5

quốc tế xây dựng như sau. Trước hết

dùng các chữ p, c, I, F để lan lượt chì loại ô mạng Bravais là đơn giãn,

tâm đáy, tâm khối hay tâm mặt. Tiếp theo là ký hiệu của nhóm điểm

tưong ứng. Trong trường hợp có trục xoắn ốc và m ặt trượt, phải thèm

vào đó ký hiệu của các phần tử đối xứng mới này.

Nếu trục xoắn ốc tương ứng với trục quay của nhóm điểm tương ứng,

thì chĩ việc thêm chi số vào ký hiệu của trục quay của nhóm điểm. Thí

dụ P 65 là nhóm không gian có trục bậc 6 xoắn ốc vói đoạn dời bằng 5/6

của chu kỳ mạng theo trục, ô Bravais là ô đơn giản. P2±2ị2ị là nhóm

không gian xuất phát từ nhóm điểm 2 22 , nó có ba trục xoắn ốc với đoạn

dời theo các trục đó bằng 1/2 của các chu kỳ tương ứng và ô Bravais

cũng là đơn giãn.

Những m ặt trượt tương ứng với những m ặt gương xác định của nhóm

điểm xuất phát, bởi vậy thay vào chữ m ký hiệu của các m ặt gương đó,

dùng các chữ a,b,c cho các trường hợp khi v.ectơ trượt lân lượt hướng

theo các vectơ cơ sở a lt a 2, a 3. Khi vectơ trượt hướng theo các đường

chéo của các m ặt bên của ô cơ bản thì dùng chữ m. Chữ d dùng khi

2- VLCR 17

vectơ trư ợt hướng theo phương xác định bởi vectơ (aị ± a-)/4 hay là (a x

— a 2 ± a 3^/4. Loại m ặt trượt cuối cùng này còn gọi là m ặt trượt kim

cương vì nó đặc trưng cho mạng tinh thể kim cương. Thí dụ xuất phát

từ nhóm diêm m3 có thê được nhóm không gian Ia3, nhóm này có m ặt

trư ợt với phương trượt theo trục a l, mạng Bravais là m ạng tâm khối.

Bang 1.4 cho danh sách cùa 230 nhóm không gian

Bảng 1-4

P2i

P2/m

P2 i/m

C2/m

P2/b

P 2 iì.

C2 I

P222

P222i

P 2 i2 i2

P 2 i2 i2 i

C222i

C222

F222

1222

I2i2i2i

Pnnn2

Pm c2i

Pcc2

P m a2

Pca2i

Pnc2

pniti2 i

Pba2

Pna2i

Pnn2

Cmra2

Cmc2i

Ceca

C’inm2

Cb’m2

C’ma2

C’ba2

Fmni2

Fdd2

Inim2

Iba2

Ima2

Pmmm

Pnnn

Pccm

Pban

P mma

Puna

Pinna

Peca

Pbam

Peen

P be m

Pnnni

Pmnin

Pben

Pbea

Puma

Cme m

Cmca

C mm ni

Ccem

C mma

Ceca

F111111111

Fddd

I mili 111

Ibam

Ibca

Imnia

P4i

P42

P4s

I4i

P4/m

P42/m

P4/11

P42/n

I4/m

I4i/a

P422

P42i2

P4i22

P4i2i2

P4v22

P422i2

P4;i22

P4:i2i2

1422

I4i22

P4mm

P4bm

P42C111

P42iim

P4cc P42/11C111 p g 2 Pa3

P4nc I4/mmm P6¡ Ia3

P42111C I4/mcm PG;i P432

P4‘A c I4i/amd PG P4i32

I4mm 14 i/acd PG/111 F432

I4cm — PG;i/m F4i32

I4imd P3 P622 1432

I4icii P3t PGi22 P4;i32

P42m P32 PG¡22 P4i32

P42c R3 PG222 I4i32

P42im P3 PG422 P43m

P42ic R3 P6h22 F43m

P4m P312 PCram I43m

P4c2 P321 PGcc P43n

P4b2 P 3 il2 PG;icm F43c

P4n2 P3i21 PG.mic I43d

I4m2 P3212 p6m2 Pm3jn

P4c2 P3221 PGc2 Pn3n

14 2 m R32 PƯ2111 Pni3n

I42d P3m l p62c Pn3m

P4/mmm P31m PG/mmni Fin3m

P4/111CC P3el PG/ncm V Fm3c

P4/nbm P31c PGa/mcni Fd3m

P4/nnc R3m PÜH/mmc Fd3c

P4/mbm R3c Ini3m

P4/mnc P3(lm P23 Ia3d

P4/nmm P3(lc F23

P4/11CC P3iiid 123

P42/mmc P3ed P2i3

P42/n\cm R3ni 1213

P42/nbc R3o pm3

P42/nnm — pn3

P42/mbc pG Ini3

P42/mnm pü] Fd3

P42/nmc p6j> Fmiỉ

Thư viện tri thức trực tuyến

Nội dung xem thử

Mô tả chi tiết

Tài liệu tương tự (6)