Vấn đề trong phân tích toán học 1

VẤN ĐỀ TRONG PHÂN TÍCH

TOÁN HỌC 1

Koczor

NHÀ XUẤT BẢN HÀ NỘI - 2002

MÙc lÙc

LÍi n„i Æ«u iii

C¸c k˝ hi÷u vµ kh¸i ni÷m vii

Bµi tÀp

1 SË th˘c 3

1.1 CÀn tr™n ÆÛng vµ cÀn d­Ìi ÆÛng cÒa tÀp c¸c sË th˘c. Li™n

ph©n sË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 MÈt sË b t ƺng th¯c s¨ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 D·y sË th˘c 19

2.1 D·y ƨn Æi÷u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 GiÌi h¹n. T›nh ch t cÒa d·y hÈi tÙ . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 ßfinh l˝ Toeplitz, Æfinh l˝ Stolz vµ ¯ng dÙng . . . . . . . . . 37

2.4 ßi”m giÌi h¹n. GiÌi h¹n tr™n vµ giÌi h¹n d­Ìi . . . . . . . . 42

2.5 C¸c bµi to¸n hÁn hÓp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 ChuÁi sË th˘c 63

3.1 TÊng cÒa chuÁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 ChuÁi d­¨ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3 D u hi÷u t›ch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4 HÈi tÙ tuy÷t ÆËi. ßfinh l˝ Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5 Ti™u chu»n Dirichlet vµ ti™u chu»n Abel . . . . . . . . . . . . 99

i

ii MÙc lÙc

3.6 T›ch Cauchy cÒa c¸c chuÁi v´ h¹n . . . . . . . . . . . . . . 102

3.7 Sæp x’p l¹i chuÁi. ChuÁi k–p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.8 T›ch v´ h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

LÍi gi¶i

1 SË th˘c 121

1.1 CÀn tr™n ÆÛng vµ cÀn d­Ìi ÆÛng cÒa tÀp c¸c sË th˘c. Li™n

ph©n sË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.2 MÈt sË b t ƺng th¯c s¨ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2 D·y sË th˘c 145

2.1 D·y ƨn Æi÷u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.2 GiÌi h¹n. T›nh ch t cÒa d·y hÈi tÙ . . . . . . . . . . . . . . 156

2.3 ßfinh l˝ Toeplitz, Æfinh l› Stolz vµ ¯ng dÙng . . . . . . . . . . 173

2.4 ßi”m giÌi h¹n. GiÌi h¹n tr™n vµ giÌi h¹n d­Ìi . . . . . . . . 181

2.5 C¸c bµi to¸n hÁn hÓp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

3 ChuÁi sË th˘c 231

3.1 TÊng cÒa chuÁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.2 ChuÁi d­¨ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3.3 D u hi÷u t›ch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3.4 HÈi tÙ tuy÷t ÆËi. ßfinh l˝ Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 291

3.5 Ti™u chu»n Dirichlet vµ ti™u chu»n Abel . . . . . . . . . . . . 304

3.6 T›ch Cauchy cÒa c¸c chuÁi v´ h¹n . . . . . . . . . . . . . . 313

3.7 Sæp x’p l¹i chuÁi. ChuÁi k–p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

3.8 T›ch v´ h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Tµi li÷u tham kh¶o 354

LÍi n„i Æ«u

B¹n Æang c„ trong tay tÀp I cÒa mÈt trong nh˜ng s¸ch bµi tÀp gi¶i t›ch

(theo chÛng t´i) hay nh t th’ giÌi .

Tr­Ìc Æ©y, h«u h’t nh˜ng ng­Íi lµm to¸n cÒa Vi÷t Nam th­Íng sˆ dÙng

hai cuËn s¸ch nÊi ti’ng sau (bªng ti’ng Nga vµ Æ· Æ­Óc dfich ra ti’ng Vi÷t):

1. "Bµi tÀp gi¶i t›ch to¸n h‰c"cÒa Demidovich (B. P. Demidovich;

1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu,

Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva)

vµ

2. "Gi¶i t›ch to¸n h‰c, c¸c v› dÙ vµ bµi tÀp"cÒa Ljaszko, Bojachuk,

Gai, Golovach (I. I. Lyashko, A. K. Boyachuk, YA. G. Gai, G. P.

Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh,

Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola).

Æ” gi¶ng d¹y hoÆc h‰c gi¶i t›ch.

C«n chÛ ˝ rªng, cuËn th¯ nh t chÿ c„ bµi tÀp vµ Ƹp sË. CuËn th¯ hai

cho lÍi gi¶i chi ti’t ÆËi vÌi ph«n lÌn bµi tÀp cÒa cuËn th¯ nh t vµ mÈt sË

bµi to¸n kh¸c.

L«n nµy chÛng t´i ch‰n cuËn s¸ch (bªng ti’ng Ba Lan vµ Æ· Æ­Óc dfich

ra ti’ng Anh):

3. "Bµi tÀp gi¶i t›ch. TÀp I: SË th˘c, D·y sË vµ ChuÁi sË"(W. J.

Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pier- 

wsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo

Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996),

4. "Bµi tÀp gi¶i t›ch. TÀp II: Li™n tÙc vµ Vi ph©n "(W. J. Kaczkor, M.

T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje 

iii

iv LÍi n„i Æ«u

Jednej Zmiennej{Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu 

Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998).

Æ” bi™n dfich nhªm cung c p th™m mÈt tµi li÷u tËt giÛp b¹n Ɖc h‰c vµ d¹y

gi¶i t›ch. Khi bi™n dfich, chÛng t´i Æ· tham kh¶o b¶n ti’ng Anh:

3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy￾sis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000.

4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy￾sis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001.

S¸ch nµy c„ c¸c ­u Æi”m sau:

• C¸c bµi tÀp Æ­Óc xæp x’p tı d‘ cho tÌi kh„ vµ c„ nhi“u bµi tÀp hay.

• LÍi gi¶i kh¸ Æ«y ÆÒ vµ chi ti’t.

• K’t hÓp Æ­Óc nh˜ng ˝ t­Îng hay gi˜a to¸n h‰c s¨ c p vµ to¸n h‰c

hi÷n ƹi. Nhi“u bµi tÀp Æ˘¨c l y tı c¸c t¹p ch› nÊi ti’ng nh­, Ameri￾can Mathematical Monthly (ti’ng Anh), Mathematics Today (ti’ng

Nga), Delta (ti’ng Balan). V× th’, s¸ch nµy c„ th” dÔng lµm tµi li÷u

cho c¸c h‰c sinh phÊ th´ng Î c¸c lÌp chuy™n cÚng nh­ cho c¸c sinh

vi™n ƹi h‰c ngµnh to¸n.

C¸c ki’n th¯c c¨ b¶n Æ” gi¶i c¸c bµi tÀp trong s¸ch nµy c„ th” t×m trong

5. Nguy‘n Duy Ti’n, Bµi Gi¶ng Gi¶i T›ch, TÀp I, NXB ß¹i H‰c QuËc

Gia Hµ NÈi, 2000.

6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil

Book Company, New York, 1964.

Tuy vÀy, tr­Ìc mÁi ch­¨ng chÛng t´i tr×nh bµy t„m tæt l˝ thuy’t Æ” giÛp

b¹n Ɖc nhÌ l¹i c¸c ki’n th¯c c¨ b¶n c«n thi’t khi gi¶i bµi tÀp trong ch­¨ng

t­¨ng ¯ng.

TÀp I vµ II cÒa s¸ch chÿ bµn Æ’n hµm sË mÈt bi’n sË (trı ph«n kh´ng

gian metric trong tÀp II). Kaczkor, Nowak chæc sœ cfln vi’t Bµi TÀp Gi¶i

T›ch cho hµm nhi“u bi’n vµ ph–p t›nh t›ch ph©n.

ChÛng t´i Æang bi™n dfich tÀp II, sæp tÌi sœ xu t b¶n.

LÍi n„i Æ«u v

ChÛng t´i r t bi’t ¨n :

- Gi¸o s­ Ph¹m Xu©n Y™m (Ph¸p) Æ· gˆi cho chÛng t´i b¶n gËc ti’ng

Anh tÀp I cÒa s¸ch nµy,

- Gi¸o s­ Nguy‘n H˜u Vi÷t H­ng (Vi÷t Nam) Æ· gˆi cho chÛng t´i b¶n

gËc ti’ng Anh tÀp II cÒa s¸ch nµy,

- Gi¸o s­ Spencer Shaw (M¸) Æ· gˆi cho chÛng t´i b¶n gËc ti’ng Anh

cuËn s¸ch nÊi ti’ng cÒa W. Rudin (n„i tr™n), xu t b¶n l«n th¯ ba, 1976,

- TS D­¨ng T t Thæng Æ· cÊ vÚ vµ t¹o Æi“u ki÷n Æ” chÛng t´i bi™n dfich

cuËn s¸ch nµy.

ChÛng t´i ch©n thµnh c¸m ¨n tÀp th” sinh vi™n To¸n - L˝ K5 H÷ ßµo

T¹o Cˆ Nh©n Khoa H‰c Tµi N®ng, Tr­Íng ßHKHTN, ßHQGHN, Æ· Ɖc

k¸ b¶n th¶o vµ sˆa nhi“u lÁi ch’ b¶n cÒa b¶n Ƹnh m¸y Æ«u ti™n.

ChÛng t´i hy v‰ng rªng cuËn s¸ch nµy sœ Æ­Óc Æ´ng ƶo b¹n Ɖc Æ„n

nhÀn vµ g„p nhi“u ˝ ki’n qu› b¸u v“ ph«n bi™n dfich vµ tr×nh bµy. R t mong

nhÀn Æ­Óc s˘ chÿ gi¸o cÒa qu˝ vfi b¹n Ɖc, nh˜ng ˝ ki’n g„p ˝ xin gˆi v“:

Chi Æoµn c¸n bÈ, Khoa To¸n C¨ Tin h‰c, tr­Íng ß¹i h‰c Khoa

h‰c T˘ nhi™n, ß¹i h‰c QuËc gia Hµ NÈi, 334 Nguy‘n Tr·i, Thanh

Xu©n, Hµ NÈi.

Xin ch©n thµnh c¶m ¨n.

Hµ NÈi, Xu©n 2002.

Nh„m bi™n dfich

ßoµn Chi

C¸c k˝ hi÷u vµ kh¸i ni÷m

• R - tÀp c¸c sË th˘c

• R+ - tÀp c¸c sË th˘c d­¨ng

• Z - tÀp c¸c sË nguy™n

• N - tÀp c¸c sË nguy™n d­¨ng hay c¸c sË t˘ nhi™n

• Q - tÀp c¸c sË h˜u t˚

• (a, b) - kho¶ng mÎ c„ hai Æ«u mÛt lµ a vµ b

• [a, b] - Æo¹n (kho¶ng Æ„ng) c„ hai Æ«u mÛt lµ a vµ b

• [x] - ph«n nguy™n cÒa sË th˘c x

• VÌi x ∈ R, hµm d u cÒa x lµ

sgn x =







1 vÌi x > 0,

−1 vÌi x < 0,

0 vÌi x = 0.

• VÌi x ∈ N,

n!=1 · 2 · 3 · ... · n,

(2n)!! = 2 · 4 · 6 · ... · (2n − 2) · (2n),

(2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 3) · (2n − 1).

• K˝ hi÷u ￾n

k

= n!

k!(n−k)! , n, k ∈ N, n ≥ k, lµ h÷ sË cÒa khai tri”n nhfi

th¯c Newton.

vi

viii C¸c k˝ hi÷u vµ kh¸i ni÷m

• N’u A ⊂ R kh¸c rÁng vµ bfi chÆn tr™n th× ta k˝ hi÷u sup A lµ cÀn

tr™n ÆÛng cÒa n„, n’u n„ kh´ng bfi chÆn tr™n th× ta quy ­Ìc rªng

sup A = +∞.

• N’u A ⊂ R kh¸c rÁng vµ bfi chÆn d­Ìi th× ta k˝ hi÷u inf A lµ cÀn

d­Ìi ÆÛng cÒa n„, n’u n„ kh´ng bfi chÆn d­Ìi th× ta quy ­Ìc rªng

inf A = −∞.

• D·y {an} c¸c sË th˘c Æ­Óc g‰i lµ ƨn Æi÷u t®ng (t­¨ng ¯ng ƨn Æi÷u

gi¶m) n’u an+1 ≥ an (t­¨ng ¯ng n’u an+1 ≤ an) vÌi m‰i n ∈ N. LÌp

c¸c d·y ƨn Æi÷u ch¯a c¸c d·y t®ng vµ gi¶m.

• SË th˘c c Æ­Óc g‰i lµ Æi”m giÌi h¹n cÒa d·y {an} n’u tÂn t¹i mÈt d·y

con {ank } cÒa {an} hÈi tÙ v“ c.

• Cho S lµ tÀp c¸c Æi”m tÙ cÒa d·y {an}. CÀn d­Ìi ÆÛng vµ cÀn tr™n

ÆÛng cÒa d·y , k˝ hi÷u l«n l­Ót lµ lim

n→∞

an vµ limn→∞an Æ­Óc x¸c Æfinh

nh­ sau

limn→∞an =







+∞ n’u {an} kh´ng bfi chÆn tr™n,

−∞ n’u {an} bfi chÆn tr™n vµ S = ∅,

sup S n’u {an} bfi chÆn tr™n vµ S 6= ∅,

lim

n→∞

an =







−∞ n’u {an} kh´ng bfi chÆn d­Ìi,

+∞ n’u {an} bfi chÆn d­Ìi vµ S = ∅,

inf S n’u {an} bfi chÆn d­Ìi vµ S 6= ∅,

• T›ch v´ h¹n Q

∞

n=1

an hÈi tÙ n’u tÂn t¹i n0 ∈ N sao cho an 6= 0 vÌi

n ≥ n0 vµ d·y {an0 an0+1 · ... · an0+n} hÈi tÙ khi n → ∞ tÌi mÈt giÌi

h¹n P0 6= 0. SË P = an0 an0+1 · ... · an0+n · P0 Æ­Óc g‰i lµ gi¸ trfi cÒa

t›ch v´ h¹n.

• Trong ph«n lÌn c¸c s¸ch to¸n Î n­Ìc ta tı tr­Ìc Æ’n nay, c¸c hµm

tang vµ c´tang cÚng nh­ c¸c hµm ng­Óc cÒa chÛng Æ­Óc k˝ hi÷u

lµ tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo c¸ch k˝ hi÷u cÒa c¸c s¸ch c„

nguÂn gËc tı Ph¸p vµ Nga, tuy nhi™n trong c¸c s¸ch to¸n cÒa M¸

vµ ph«n lÌn c¸c n­Ìc ch©u ¢u, chÛng Æ­Óc k˝ hi÷u t­¨ng t˘ lµ

tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuËn s¸ch nµy chÛng t´i sœ

sˆ dÙng nh˜ng k˝ hi÷u nµy Æ” b¹n Ɖc lµm quen vÌi nh˜ng k˝ hi÷u

Æ· Æ­Óc chu»n ho¸ tr™n th’ giÌi.

Bµi tÀp

Ch­¨ng 1

SË th˘c

T„m tæt l˝ thuy’t

• Cho A lµ tÀp con kh´ng rÁng cÒa tÀp c¸c sË th˘c R = (−∞,∞).

SË th˘c x ∈ R Æ­Óc g‰i lµ mÈt cÀn tr™n cÒa A n’u

a 6 x, ∀x ∈ A.

TÀp A Æ­Óc g‰i lµ bfi chÆn tr™n n’u A c„ ›t nh t mÈt cÀn tr™n.

SË th˘c x ∈ R Æ­Óc g‰i lµ mÈt cÀn d­Ìi cÒa A n’u

a ≥ x, ∀a ∈ A.

TÀp A Æ­Óc g‰i lµ bfi chÆn d­Ìi n’u A c„ ›t nh t mÈt cÀn d­Ìi.

TÀp A Æ­Óc g‰i lµ bfi chÆn n’u A vıa bfi chÆn tr™n vµ vıa bfi chÆn d­Ìi.

R‚ rµng A bfi chÆn khi vµ chÿ khi tÂn t¹i x > 0 sao cho

|a| 6 x, ∀a ∈ A.

• Cho A lµ tÀp con kh´ng rÁng cÒa tÀp c¸c sË th˘c R = (−∞,∞).

SË th˘c x ∈ R Æ­Óc g‰i lµ gi¸ trfi lÌn nh t cÒa A n’u

x ∈ A, a 6 x, ∀a ∈ A.

Khi Æ„, ta vi’t

x = max{a : a ∈ A} = max a a∈A .

3

4 Ch­¨ng 1. SË th˘c

SË th˘c x ∈ R Æ­Óc g‰i lµ gi¸ trfi b– nh t cÒa A n’u

x ∈ A, a ≥ x, ∀a ∈ A.

Khi Æ„, ta vi’t

x = min{a : a ∈ A} = min a a∈A .

• Cho A lµ tÀp con kh´ng rÁng cÒa tÀp c¸c sË th˘c R = (−∞,∞). Gi¶

sˆ A bfi chÆn tr™n.

SË th˘c x ∈ R Æ­Óc g‰i lµ cÀn tr™n ÆÛng cÒa A, n’u x lµ mÈt cÀn

tr™n cÒa A vµ lµ cÀn tr™n b– nh t trong tÀp c¸c cÀn tr™n cÒa A. T¯c lµ,

a 6 x, ∀a ∈ A,

∀ > o, ∃a ∈ A, a > x − .

Khi Æ„, ta vi’t

x = sup{a : a ∈ A} = sup a a∈A

.

Cho A lµ tÀp con kh´ng rÁng cÒa tÀp c¸c sË th˘c R = (−∞,∞). Gi¶

sˆ A bfi chÆn d­Ìi.

SË th˘c x ∈ R Æ­Óc g‰i lµ cÀn d­Ìi ÆÛng cÒa A, n’u x lµ mÈt cÀn

d­Ìi cÒa A vµ lµ cÀn tr™n lÌn nh t trong tÀp c¸c cÀn d­Ìi cÒa A. T¯c lµ,

a ≥ x, ∀a ∈ A,

∀ > o, ∃a ∈ A, a < x + .

Khi Æ„, ta vi’t

x = inf{a : a ∈ A} = inf a a∈A .

• Ti™n Æ“ v“ cÀn tr™n ÆÛng n„i rªng n’u A lµ tÀp con kh´ng rÁng,

bfi chÆn tr™n cÒa tÀp c¸c sË th˘c, th× A c„ cÀn tr™n ÆÛng (duy nh t).

Ti™n Æ“ tr™n t­¨ng Æ­¨ng vÌi: n’u A lµ tÀp con kh´ng rÁng, bfi chÆn

d­Ìi cÒa tÀp c¸c sË th˘c, th× A c„ cÀn d­Ìi ÆÛng (duy nh t).

Tı Æ„ suy ra rªng A lµ tÀp con kh´ng rÁng, bfi chÆn cÒa tÀp c¸c sË th˘c,

th× A c„ cÀn tr™n ÆÛng, vµ c„ cÀn d­Ìi ÆÛng.

• N’u tÀp A kh´ng bfi chÆn tr™n, th× ta qui ­Ìc sup A = +∞; N’u tÀp

A kh´ng bfi chÆn d­Ìi, th× ta qui ­Ìc inf A = −∞;

T„m tæt l˝ thuy’t 5

• Cho hai sË nguy™n a, b. Ta n„i rªng b chia h’t cho a hoÆc a chia b,

n’u tÂn t¹i sË nguy™n c, sao cho b = a.c. Trong tr­Íng hÓp Æ„ ta n„i a lµ

­Ìc cÒa b (hoÆc b lµ bÈi cÒa a) vµ vi’t a|b.

Cho hai sË nguy™n a1, a2. SË nguy™n m Æ­Óc g‰i lµ ­Ìc chung cÒa

a1, a2 n’u m|a1, m|a2. SË nguy™n m Æ­Óc g‰i lµ bÈi chung cÒa a1, a2

n’u a1|m, a2|m.

¶Ìc chung m ≥ 0 cÒa a1, a2 c„ t›nh ch t lµ chia h’t cho b t k˙ ­Ìc

chung nµo cÒa a1, a2) Æ­Óc g‰i lµ ­Ìc chung lÌn nh t cÒa a1, a2 vµ

ÆuÓc k˝ hi÷u lµ (a1, a2).

BÈi chung m ≥ 0 cÒa a1, a2 c„ t›nh ch t lµ ­Ìc cÒa b t k˙ bÈi chung

nµo cÒa a1, a2 Æ­Óc g‰i lµ bÈi chung nh· nh t cÒa a1, a2 vµ ÆuÓc k˝

hi÷u lµ [a1, a2].

N’u (a, b)=1 th× ta n„i a, b nguy™n tË cÔng nhau.

SË nguy™n d­¨ng p ∈ N Æ­Óc g‰i lµ sË nguy™n tË, n’u p chÿ c„ hai

­Ìc (t«m th­Íng) lµ 1 vµ p.

Gÿa sˆ m lµ sË nguy™n d­¨ng. Hai sË nguy™n a, b Æ­Óc g‰i lµ ÆÂng d￾theo modulo m, n’u m|(a − b). Trong tr­Íng hÓp Æ„ ta vi’t

a = b (mod m).

• Ta g‰i r lµ sË h˜u t˚ (hay ph©n sË), n’u tÂn t¹i p, q ∈ Z sao cho

r = p/q. Ph©n sË nµy lµ tËi gi¶n n’u (p, q)=1.

SË v´ t˚ lµ sË th˘c nh­ng kh´ng ph¶i lµ sË v´ t˚. TÀp hÓp c¸c sË

h˜u t˚ trÔ mÀt trong tÀp c¸c sË th˘c, t¯c lµ, gi˜a hai sË th˘c kh¸c

nhau b t k˝ (a<b) tÂn t¹i ›t nh t mÈt sË h˜u t˚ (r: a<r<b).

• Ph«n nguy™n cÒa sË th˘c x, Æ­Óc k˝ hi÷u lµ [x], lµ sË nguy™n (duy

nh t) sao cho x − 1 < [x] 6 x. Ph«n lŒ cÒa sË th˘c x, Æ­Óc k˝ hi÷u lµ

{x}, lµ sË th˘c x¸c Æfinh theo c´ng th¯c {x} = x − [x].

• C¸c hµm sË s¨ c p ax, loga x,sin x, cos x, arcsin x, arccos x Æ­Óc Æfinh

ngh‹a theo c¸ch th´ng th­Íng. Tuy nhi™n, c«n chÛ ˝ rªng, tµi li÷u nµy dÔng

c¸c k˝ hi÷u ti™u chu»n quËc t’ sau

tan x = sin x/ cos x, cot x = cos x/ sin x,

cosh x = ex + e−x

2 , sinh x = ex − e−x

2 ,

tanh x = sinh x/ cosh x, coth x = cosh x/ sinh x.

T­¨ng t˘ ta c„ c¸c k˝ hi÷u v“ hµm ng­Óc arctan x, arccot x.

6 Ch­¨ng 1. SË th˘c

1.1 CÀn tr™n ÆÛng vµ cÀn d­Ìi ÆÛng cÒa tÀp c¸c

sË th˘c. Li™n ph©n sË

1.1.1. Ch¯ng minh rªng

sup{x ∈ Q : x > 0, x2 < 2} = √

2.

1.1.2. Cho A ⊂ R kh¸c rÁng. ßfinh ngh‹a −A = {x : −x ∈ A}. Ch¯ng

minh rªng

sup(−A) = − inf A,

inf(−A) = − sup A.

1.1.3. Cho A, B ⊂ R lµ kh´ng rÁng. ßfinh ngh‹a

A + B = {z = x + y : x ∈ A, y ∈ B} ,

A − B = {z = x − y : x ∈ A, y ∈ B} .

Ch¯ng minh rªng

sup(A + B) = sup A + sup B,

sup(A − B) = sup A − inf B.

Thi’t lÀp nh˜ng c´ng th¯c t­¨ng t˘ cho inf(A + B) vµ inf(A − B).

1.1.4. Cho c¸c tÀp kh´ng rÁng A vµ B nh˜ng sË th˘c d­¨ng, Æfinh ngh‹a

A · B = {z = x · y : x ∈ A, y ∈ B} ,

1

A =



z = 1

x

: x ∈ A



.

Ch¯ng minh rªng

sup(A · B) = sup A · sup B,

vµ n’u inf A > 0 th×

sup  1

A



= 1

inf A,

khi inf A = 0 th× sup ￾ 1

A

= +∞. H¨n n˜a n’u A vµ B lµ c¸c tÀp sË th˘c bfi

chÆn th×

sup(A · B)

= max {sup A · sup B, sup A · inf B, inf A · sup B, inf A · inf B}